黄浦区高三二模数学Word版附解析可编辑修改word版.docx

1、黄浦区高三二模数学Word版附解析可编辑修改word版上海市黄浦区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1.已知集合 A = 1, 2, 3，B = 1, m ，若3 - m A ，则非零实数m 的数值是 2.不等式|1- x | 1的解集是 3.若函数 f (x) =是偶函数，则该函数的定义域是 4.已知ABC 的三内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c ，若 a2 = b2 + c2 - 2bc sin A ， 则内角 A 的大小是 5.已知向量 a 在向量b 方向上的投影为-2 ，

2、且| b | = 3 ，则 a b = （结果用数值表示）6. 方程log (3 2x + 5) - log (4x +1) = 0 的解 x = 7.已知函数 f (x) =2 sin x-cos 2x，则函数 f (x) 的单调递增区间是 1 cos x8.已知 是实系数一元二次方程 x2 - (2m -1)x + m2 +1 = 0 的一个虚数根，且| | 2 ，则实数 m 的取值范围是 9.已知某市 A 社区 35 岁至 45 岁的居民有 450 人，46 岁至 55 岁的居民有 750 人，56 岁至65 岁的居民有 900 人为了解该社区 35 岁至 65 岁居民的身体健康状况，社

3、区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从 46 岁至 55 岁的居民中随机抽取了 50 人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人10.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 5 次，则恰好有 3 次出现正面向上的概率是 （结果用数值表示）n11.已知数列 an 是共有 k 个项的有限数列，且满足 an+1 an-1n(n = 2, , k -1) ，若a1 = 24 ， a2 = 51， ak = 0 ，则 k = 12.已知函数 f (x) = ax2 + bx + c(0 2a 0) ， D.在平面 上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量 a 、b 、c 、 d ，使得其中任意两

4、个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.在四棱锥 P-ABCD 中， PA 平面ABCD ，ABAD，BCAD， BC = 1 ， CD = ，CDA = 45 .（1）画出四棱锥 P-ABCD 的主视图；（2）若 PA = BC ，求直线 PB 与平面 PCD所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形 OAD 挖去扇形 OBC 后构成的）. 已知OA = 10 米， OB = x 米， 0 x 10 ，线段 BA、线段 CD

5、 与弧 BC、弧 AD 的长度之和为 30 米，圆心角为 弧度.（1）求 关于 x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为 y ，试问 x 取何值时， y 的值最大？并求出最大值19.已知动点 M (x, y) 到点 F (2,0) 的距离为 d1 ，动点 M (x, y) 到直线 x = 3 的距离为 d2 ，且d1 = 6 .d2 3（1）求动点 M (x, y) 的轨迹C 的方程；（2）过点 F 作直线l : y = k (x - 2) (k 0) 交曲线 C 于 P、Q 两点，若OPQ 的面积SOPQ =( O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.-2x, -1 x 0,20. 已知函数

6、 f (x) = x2 -1, 0 x 1.（1）求函数 f (x) 的反函数 f -1(x) ；（2）试问：函数 f (x) 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程 f (x) + 2 1 - x2 + | f (x) - 2| -2ax - 4 = 0 的三个实数根 x1、x2、x3 满足x1 x2 0 ， d 0 ，且c= cn + dn， n N* ，则称数n n n n n+1列dn 是数列cn的“伴随数列”.已知数列bn 是an 的伴随数列，解答下列问题：（1）若b = a (n N* ) ， b = ，求数列a 的通项公式

7、 a ；n n 1 n n（2）若bn+1= 1 + bnan(n N* ) ， b1 为常数，求证：数列a1( bnan)2是等差数列；（3）若b =(n N* ) ，数列a 是等比数列，求 a 、b 的数值.n+1nn 1 1参考答案一. 填空题1 22 (-, 0) (2, +)3-2, 24 45 -66 23 7k - , k + , k Z8 88 (- 3 , 34914010 51611 5012 3二. 选择题13. A 14. B 15. D 16. D三. 解答题17 解：视图如下：（2）根据题意，可算得 AB = 1, AD = 2 .又 PA = BC = 1 ，按如

8、图所示建立空间直角坐标系， 可得， A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,1,0), D(0, 2,0), P(0,0,1) . 于是，有 PB (1,0, 1),CD ( 1,1,0), PD (0, 2, 1) . n CD = 0,-x + y = 0,设平面 PCD 的法向量为 n = (x, y, z) ，则 n PD = 0,即2 y - z = 0. 令 z = 2 ，可得 y = 1, x = 1 ，故平面 PCD 的一个法向量为 n = (1,1, 2) . | n PB | 3设直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 ，则sin = = .| n | PB |

9、6所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为arcsin 3 .618解：（1）根据题意，可算得弧 BC = x ( m )，弧 AD = 10 ( m ).又 BA + CD + 弧BC + 弧CD = 30 ，于是，10 - x +10 - x + x +10 = 30 ，2x +10所以， =x +10(0 x 10) .（2）依据题意，可知 y = S扇OAD-S扇OBC= 1 102 - 1 x22 2化简，得 y = -x2 + 5x + 50 = -(x - 5 )2 + 2252 4于是，当 x = 5 （满足条件0 x 0于是，弦| PQ |= ，| 2k |点O 到直线

10、l 的距离 d = .由 SOPQ = ，1+ k 21 | 2k | 2 1 + k 2= ，化简得 k 4 - 2k 2 +1 = 0 ，解得 k = 1 ，且满足 0 ，即 k = 1 都符合题意.因此，所求直线的方程为 x - y - 2 = 0或x + y - 2 = 0 .-2x, -1 x 0,20 解：（1） f (x)= x2 -1, 0 x 1.当-1 x 0 时， f (x) = -2x, 且0 f (x) 2 .由 y = -2x ，得 x = - 1 y ，互换 x与y ，可得 f -1(x) = - 1 x(0 x 2) .2 2当0 x 1时， f (x) = x

11、2 -1, 且- 1 f (x) 0 .由 y = x2 -1，得 x =，互换 x与y ，可得 f -1(x) =1+x (-1 x 0) .- 1 x, 0x 2, f -1(x) = 21+ x ,-1 x 0.（2）函数图像上存在两点关于原点对称.设点 A(x0 , y0 )(0 x0 1)、B(-x0 , - y0 ) 是函数图像上关于原点对称的点，则 f (x ) + f (-x ) = 0 ，即 x2 -1+ 2x = 0 ，0 0 0 0解得 x0 = -1(x0 = - -1, 舍去) ，且满足0 x 1 .因此，函数图像上存在点 A(-1, 2 - 2 2)和B(1-2,

12、2-2) 关于原点对称.（3）考察函数 y =f (x) 与函数 y = 2的图像，可得当-1 x -2 时，有 f (x) 22，原方程可化为-4x - 2ax - 4 = 0 ，解得 x = -2 ，且由-1 - 2 -2 ，得0 a 2- 2 .a+2a+2 2当- 2 x 1时，有 f (x) 22，原方程可化为4- 2ax - 4 = 0 ，化简得(a2 + 4)x2 + 4ax = 0 ，解得 x=0，或x = -4a a2 +4（当0 a 2- 2 时， -2 -24a a2 + 4 0 ）.于是， x1= - 2a + 2, x2= - 4a a2 + 4, x3= 0 .由

13、x - x = 2(x - x ) ， 得 4a=2( -4a +2 ) ，解得 a = -3 17 .3 2 2 1a2 +4a2 + 4a + 2 2因为 a = -3 -217 -1，故 a = -3 -217 不符合题意，舍去；0 a = -3+ 17 0, b0, 且a= an + bn，n N* .n n n+1由b = a(n N*) ， b =，得 a= an + an =2, a= b =， n N* .n n所以 an =1， n N* n+1 1 1（2） b = 1+ bn (n N*) ， a 0, b 0, 且a= an + bn，n N* ，n+1nbnn n n

14、+11+ a b b an+1= n = n+1 ， n+1 =an+1， n N* b 2 b 2 b2 b 2 n+1 - n = 1， n N* 数列 n 是首项为 1 、公差为1的等差数列 an+1 an an a1 （3） b =(n N* ) ， a0, b0, 且a= an + bn，n N* ，n+1由 an n n+1n+ b 2 , n N* ，得1 0 ，设公比为 r(r 0) ，则 a= a rn-1(n N* ) .当r 1，即lim an + ，与1 an+1 nn当0 r 1，即lim a 0 ，与1 1不成立.矛盾因此， 0 r 1不成立. r = 1，即数列a

15、n 是常数列，于是， an = a1 (1 0，b0 ，数列b 也是等比数列，设公比为 q(q 0) ，有b= b qn .n a =1an+1 + bn+1n，可化为n+1 1n+22n+12n+11 1 1 1 1 1 1b2 (a2 -1)q2n - 2a b qn + a2 (a2 -1) = 0(1 0, 2a b 0, a2 (a2 -1) 0, = 4a4b2 (2 - a2 ) 0 ，1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1关于 x 的一元二次方程b2 (a2 -1)x2 - 2a b x + a2 (a2 -1) = 0 有且仅有两个非负实数根.1 1 1 1 1 1一方面， qn ( n N* )是方程b2 (a2 -1)x2 - 2a b x + a2 (a2 -1) = 0 的根；另一方面，若 q 1(q 0) ，则无穷多个互不相等的 q, q2 , q3, q4 , , qn , 该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！都是该二次方程的根.这与 q = 1，即数列b 也是常数列，于是， b= b ， n N* . 由bn+1 =n n 1(n N* ) ，得 a = .=an把 a =，代入 a= an + bn，解得b =. a1 = 2,1 n+11 b1 2.