精品小学奥数图形问题.docx
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精品小学奥数图形问题
图形问题
教学目标：
运用所学知识解决三角形、圆形等图形问题
教学重点：
运用公式与辅助线
教学难点：
在适当的地方做辅助线
★三角形
1、知识点：
等底等高的三角形或平行四边形面积相等；
2、如果两个长方形的长（或宽）相等，那么它们面积之比等于它们的宽（或长）之比；
3、如果两个三角形（或平行四边形）的底（或高）相等，那么它们的面积比等于它们的高（或底）之比。
于是我们可以得出以下情形：
典型例题：
例1：
如图所示，已知△ABC面积为36，M为AB上的点，且BM:
MA=1:
2，MD∥EC，则△EBD的面积是多少？
（甘肃省第十届小学数学冬令营试题）
提示：
连接辅助线CM，将△EBD的面积转化为等底等高的三角形的面积即可求解。
变式练习：
如图所示，已知平行四边形ABCD的面积为7.2平方厘米，E为BC的中点，图中的阴影部分的面积是多少平方厘米？
（甘肃省第十届小学数学冬令营试题）
例2：
如下图，在三角形ABC中，BD=5DC，AM=MD，AE与EC的长度之比是多少？
提示：
连接辅助线DE或CM，求出AE和EC对应的等高三角形面积之比即可求解。
变式练习：
如下图所示，在三角形ABC中，BD=2DC，AE=2DE，FC=7，那么，AF是多少？
（2003年小学数学奥林匹克预赛）
例3：
如下图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？
（2001年小学数学奥林匹克试题）
提示：
连接辅助线GF将四边形BGHF分割成两个三角形，分别求出面积即可求解。
变式练习：
如下图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，则FC的长度。
（2002年小学数学奥林匹克模拟试题）
随堂练习：
1.如下图，AE=
AC，CD=
BC，BF=
AB，求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积之比。
2.如下图，在梯形ABCD中，AD∶BE=4∶3，BE∶EC=2∶3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米，梯形ABCD的面积是多少面积？
3.如下图，在三角形ABC中，AE=
AB，DC=
BD，EF=
CE，求AF等于FD的几分之几？
4.如下图，在平行四边形ABCD中，AE=
AB，BF=
BC，AF与CE相交于O点。
已知BC的长是16厘米，BC边上的高是9厘米，那么四边形AOCD的面积是多少平方厘米？
Homework：
A级
1.如图，三角形ABC的面积是1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BED的面积。
2.如图所示，正方形ABCD的面积为49平方厘米，AE=
AB，G为AC与DE的交点，求△DGC的面积。
B级
3.如图所示，长方形ABCD的面积是120平方厘米，BE=3AE，BF=2FC，求四边形EGFB的面积。
（2002年“祖冲之杯”数学竞赛）
4.在下图中，三角形ABC被分成四块，其中三块的面积分别是4、6、12平方厘米，四边形AEOF的面积是多少？
（2002年数学奥林匹克模拟试题）
C级
5.如图，在三角形ABC中，AD=2，BD=3，四边形DBEF的面积等于三角形ABE的面积，若三角形ABC的面积为10，则四边形DBEF的面积是多少？
（2001年全国奥数总决赛试题）
★圆形
分析：
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。
有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。
在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。
例题1。
如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】
解法一：
阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×
－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：
以等腰三角形底的中点为中心点。
把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×
－（20÷2）2×
＝107（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
1、如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米）
2、
如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。
求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
例题2。
如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
【思路导航】
解法一：
先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。
如图20－7所示。
3.14×62×
－（6×4－3.14×42×
）＝16.82（平方厘米）
解法二：
把阴影部分看作
（1）和
（2）两部分如图20－8所示。
把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影
（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×
+3.14×62×
－4×6＝16.28（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2
1、如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：
厘米）。
2、如图20－10所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。
以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。
求图中阴影部分的面积。
3、如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。
求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
20－12
20－13
20－14
【思路导航】
解法一：
先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图20－13所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：
10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：
10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：
把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3
求下面各图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
例题4。
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。
求阴影部分的面积。
【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。
但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。
根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。
这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：
6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：
18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4
1、如图20－19、20－20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
2、如图20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。
求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。
例题5。
在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。
求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。
可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。
我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。
这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×
－30＝17.1（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是17.1平方厘米。
家庭作业
1、如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
2、如图20－25所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
3、
20－24
O
B
C
D
A
20－25
C
B
A
O
20－26
45○
如图20－26所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
答案：
练1
1、如图答20－1所示，因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面积是：
62×3.14×
－6×（6÷2）×
＝5.13平方厘米
2、如图答20－2所示，将红色直角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：
49×29×
＝710.5平方厘米
练2
1、如图答20－3所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面积。
（2÷2）2×3.14×
×2－2×2×
＝1.14平方厘米
2、思路与第一题相同
（4÷2）2×3.14×
+（2÷2）2×3.14×
－4×2×
＝3.85平方厘米
3、如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的面积是：
【（82+62）×3.14×
－8×5.2】×2＝21
平方厘米
练3
1、如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：
（10÷2）2×3.14×
×4－10×10＝57平方厘米
2、如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即：
102×3.14×
+（10÷2）2×3.14×
－10×10×
＝28.5平方厘米
3、如图答20－7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：
（4÷2）2×3.14×
+（3÷2）2×3.14×
+4×3×
－（5÷2）2×3.14×
＝6平方厘米
练4
1、
（1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的
，所以阴影部分的面积是
（50÷4）×3.14＝39.25平方厘米
（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是
50－50×3.14×
＝1075平方厘米
2、提示：
仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。
10×（10÷2）×3.14×
×2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米
练5
1、如图答20－8所示，连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所以，阴影部分的面积是100÷2×3.14×
－100×
＝14.25平方厘米
2、如图答20－9所示，
（1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14×
＝70.65平方厘米
（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的2倍，所以大圆的面积的
是45×2×3.14×
＝70.65平方厘米
（3）弓形AB的面积是70.65－45＝25.65平方厘米
（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米
3、如图答20－10所示，
（1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米
（2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米
（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
（4）阴影部分的面积是80×3.14×
－20＝11.4平方厘米
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