1、精品小学奥数图形问题图形问题教学目标:运用所学知识解决三角形、圆形等图形问题教学重点:运用公式与辅助线教学难点:在适当的地方做辅助线三角形1、 知识点:等底等高的三角形或平行四边形面积相等;2、 如果两个长方形的长(或宽)相等,那么它们面积之比等于它们的宽(或长)之比;3、 如果两个三角形(或平行四边形)的底(或高)相等,那么它们的面积比等于它们的高(或底)之比。于是我们可以得出以下情形: 典型例题:例1:如图所示,已知ABC面积为36,M为AB上的点,且BM:MA=1:2,MDEC,则EBD的面积是多少? (甘肃省第十届小学数学冬令营试题)提示:连接辅助线CM,将EBD的面积转化为等底等高的
2、三角形的面积即可求解。变式练习:如图所示,已知平行四边形ABCD的面积为7.2平方厘米,E为BC的中点,图中的阴影部分的面积是多少平方厘米?(甘肃省第十届小学数学冬令营试题)例2:如下图,在三角形ABC中,BD=5DC,AM=MD,AE与EC的长度之比是多少?提示:连接辅助线DE或CM,求出AE和EC对应的等高三角形面积之比即可求解。变式练习:如下图所示,在三角形ABC中,BD=2DC,AE=2DE,FC=7,那么,AF是多少?(2003年小学数学奥林匹克预赛)例3:如下图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是多少平方厘米?(2001年小
3、学数学奥林匹克试题)提示:连接辅助线GF将四边形BGHF分割成两个三角形,分别求出面积即可求解。变式练习:如下图,在平行四边形ABCD中,AB=16,AD=10,BE=4,则FC的长度。(2002年小学数学奥林匹克模拟试题) 随堂练习:1.如下图,AE=AC,CD=BC,BF=AB,求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积之比。 2. 如下图,在梯形ABCD中,ADBE=43,BEEC=23,且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米,梯形ABCD的面积是多少面积? 3.如下图,在三角形ABC中,AE=AB,DC=BD,EF=CE,求AF等于FD的几分之几?4.如下图,在平行四边形ABCD中,
4、AE=AB,BF=BC,AF与CE相交于O点。已知BC的长是16厘米,BC边上的高是9厘米,那么四边形AOCD的面积是多少平方厘米?Homework:A级1. 如图,三角形ABC的面积是1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BED的面积。2.如图所示,正方形ABCD的面积为49平方厘米,AE=AB,G为AC与DE的交点,求DGC的面积。B级3. 如图所示,长方形ABCD的面积是120平方厘米,BE=3AE,BF=2FC,求四边形EGFB的面积。(2002年“祖冲之杯”数学竞赛)4.在下图中,三角形ABC被分成四块,其中三块的面积分别是4、6、12平方厘米,四边形AEOF的面积是多少?(2002
5、年数学奥林匹克模拟试题)C级5. 如图,在三角形ABC中,AD=2,BD=3,四边形DBEF的面积等于三角形ABE的面积,若三角形ABC的面积为10,则四边形DBEF的面积是多少?(2001年全国奥数总决赛试题)圆形分析:对于一些比较复杂的组合图形,有时直接分解有一定的困难,这时,可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转,化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时,可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。例题1。如图201所示,求图中阴影部分的面积。【思路导航】解法一:阴影部分的一半,可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形(如图202),等腰直角三
6、角形的斜边等于圆的半径,斜边上的高等于斜边的一半,圆的半径为20210厘米 【3.1410210(102)】2107(平方厘米) 答:阴影部分的面积是107平方厘米。解法二:以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后,阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中,减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。 (202)2(202)2107(平方厘米) 答:阴影部分的面积是107平方厘米。练习11、 如图204所示,求阴影部分的面积(单位:厘米)2、 如图205所示,用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片,一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片,一张黄色的正方形
7、纸片,拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少?例题2。 如图206所示,求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。 【思路导航】解法一:先用长方形的面积减去小扇形的面积,得空白部分(a)的面积,再用大扇形的面积减去空白部分(a)的面积。如图207所示。 3.1462(643.1442)16.82(平方厘米)解法二:把阴影部分看作(1)和(2)两部分如图208所示。把大、小两个扇形面积相加,刚好多计算了空白部分和阴影(1)的面积,即长方形的面积。 3.1442+3.14624616.28(平方厘米) 答:阴影部分的面积是16.82平方厘米。练习21、 如图209所示,ABC是等腰直角三
8、角形,求阴影部分的面积(单位:厘米)。2、 如图2010所示,三角形ABC是直角三角形,AC长4厘米,BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆,两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。3、 如图2011所示,图中平行四边形的一个角为600,两条边的长分别为6厘米和8厘米,高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。例题3。在图2012中,正方形的边长是10厘米,求图中阴影部分的面积。201220132014【思路导航】解法一:先用正方形的面积减去一个整圆的面积,得空部分的一半(如图2013所示),再用正方形的面积减去全部空白部分。 空白部分的一半:1010(102)23.1421.5(平方厘米
9、) 阴影部分的面积:101021.5257(平方厘米)解法二:把图中8个扇形的面积加在一起,正好多算了一个正方形(如图2014所示),而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。 (102)23.142101057(平方厘米) 答:阴影部分的面积是57平方厘米。练习3求下面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。例题4。在正方形ABCD中,AC6厘米。求阴影部分的面积。【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知,这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出,AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知,斜边上的高等于斜边的一半(如图2018所示),我们可以求出等腰直角三角形ACD
10、的面积,进而求出正方形ABCD的面积,即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出,但可以求出半径的平方,也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。既是正方形的面积,又是半径的平方为:6(62)218(平方厘米)阴影部分的面积为:18183.1443.87(平方厘米) 答:阴影部分的面积是3.87平方厘米。练习41、 如图2019、2020所示,图形中正方形的面积都是50平方厘米,分别求出每个图形中阴影部分的面积。2、 如图2021所示,正方形中对角线长10厘米,过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积(试一试,你能想出几种办法)。例题5。在图2022的扇形中,正方形的面积
11、是30平方厘米。求阴影部分的面积。【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知,又无法求出,所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形(如图2023所示),从图中可以看出,新正方形的面积是30260平方厘米,即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出,但能求出半径的平方,再把半径的平等直接代入公式计算。 3.14(302)3017.1(平方厘米) 答:阴影部分的面积是17.1平方厘米。家庭作业1、 如图2024所示,平行四边形的面积是100平方厘米,求阴影部分的面积。2、 如图2025所示,O是小圆的圆心,CO垂
12、直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米,求阴影部分的面积。3、 2024OBCDA2025CBAO202645如图2026所示,半圆的面积是62.8平方厘米,求阴影部分的面积。答案:练11、 如图答201所示,因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半,所以阴影部分的面积是:623.146(62)5.13平方厘米2、 如图答202所示,将红色直角三角形纸片旋转900,红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形,因此,所求的面积为: 4929710.5平方厘米练21、 如图答203所示,可以看做两个半圆重叠在一起,从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面
13、积。 (22)23.142221.14平方厘米2、 思路与第一题相同 (42)23.14+(22)23.14423.85平方厘米3、 如图答204所示,用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积,即得到阴影部分的一半,因此阴影部分的面积是: 【(82+62)3.1485.2】221平方厘米练31、 如图答205所示,阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积,即: (102)23.144101057平方厘米2、 如图答206所示,阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和,减去一个三角形的面积,即:1023.14+(102)23.141010 28.5平方厘米3、 如图答207所示,整个
14、图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积,用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积,即: (42)23.14+(32)23.14+43(52)23.146平方厘米练41、 (1)因为圆的半径的平方等于正方形面积的,所以阴影部分的面积是(504)3.1439.25平方厘米 (2)因为扇形半径的平方等于正方形的面积,所以,阴影部分的面积是 50503.141075平方厘米2、 提示:仔细阅读例4,仿照例4先求扇形半径的平方,然后设法求出阴影部分的面积。 10(102)3.14210(102)28.5平方厘米练51、 如图答208所示,连结AC可以看出平行四边形面积的一半等
15、于圆半径的平方,所以,阴影部分的面积是10023.1410014.25平方厘米2、 如图答209所示,(1)因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方,所以小圆的面积的一半是453.1470.65平方厘米(2)因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的2倍,所以大圆的面积的是4523.1470.65平方厘米(3)弓形AB的面积是70.654525.65平方厘米(4)阴影部分的面积是70.6525.6545平方厘米3、 如图答2010所示,(1)半圆半径的平方是62.82+3.1440平方厘米 (2)三角形AOB的面积是40220平方厘米 (3)阴影部分所在圆的半径的平方是40280平方厘米 (4)阴影部分的面积是803.142011.4平方厘米
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