知识讲解 导数及其应用全章复习与巩固基础理.docx
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知识讲解导数及其应用全章复习与巩固基础理
《导数及其应用》全章复习与编稿：
李霞审稿：
张林娟
【学习目标】
1.会利用导数解决曲线的切线的问题.2.会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3.会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.
4.能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：
例如利润最大、用料最省、效率最高等问题
【知识络】
【要点梳理】
要点一：
有关切线问题
直线与曲线相切，我们要抓住三点：
①切点在切线上；
②切点在曲线上；
③切线斜率等于曲线在切点处的导数值.
要点诠释：
通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.
要点二：
有关函数单调性的问题
设函数（）yfx?
在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有'（）0fx?
，则函数（）fx在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有'（）0fx?
，则函数（）fx在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有'（）0fx?
，则函数（）fx在（a，b）内为常数函数.要点诠释：
（1）若函数（）fx在区间（a，b）内单调递增，则'（）0fx?
，若函数（）fx在（a，b）内单调递减，则'（）0fx?
.
（2）'（）0fx?
或'（）0fx?
恒成立，求参数值的范围的方法：
①分离参数法：
（）mgx?
或（）mgx?
.
②若不能隔离参数，就是求含参函数（,）fxm的最小值min（,）fxm，使min（,）0fxm?
.（或是求含参函数（,）fxm的最大值max（,）fxm，使max（,）0fxm?
）
要点三：
函数极值、最值的问题
函数极值的问题
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数）（xf?
；
（3）求方程0）（?
?
xf的根；
（4）检查'（）fx在方程根左右的值的符，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f（x）在这个根处取得极小值.（最好通过列表法）要点诠释：
①先求出定义域
②一般都要列表：
然后看在每个根附近导数符的变化：
若由正变负，则该点为极大值点；若由负变
正，则该点为极小值点.
注意：
无定义的点不用在表中列出
③根据表格给出结论：
注意一定指出在哪取得极值.函数最值的问题
若函数（）yfx?
在闭区间],[ba有定义，在开区间（,）ab内有导数，则求函数（）yfx?
在],[ba上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数）（xf在）,（ba内的导数）（xf?
；
（2）求方程0）（?
?
xf在）,（ba内的根；
（3）求在）,（ba内所有使0）（?
?
xf的的点的函数值和）（xf在闭区间端点处的函数值）（af，）（bf；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数（）yfx?
在闭区间],[ba上的最大值，最小者为函数（）yfx?
在闭区间],[ba上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
②若）（xf在开区间）,（ba内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.要点四：
优化问题
在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.
利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式（）yfx?
；
（2）求函数的导数'（）fx，解方程'（）0fx?
；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值．
要点诠释：
①解决优化问题的方法：
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究建立数学模型相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
②得出变量之间的关系（）yfx?
后，必须由实际意义确定自变量x的取值范围；
③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'（）0fx?
的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．
④在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
要点五：
定积分的概念
如果函数=（）yfx在区间?
?
ab，上连续，用分点0121iinaxxxxxxb?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
将区间?
?
ab，等分成n个小区间，在每个小区间?
?
1,iixx?
上取点?
?
1,2,,iin?
?
，作和式：
11（）（）nnniiiibaSfxfn?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
．当n?
?
?
时，上述和式nS无限趋近于常数，那么称该常数为函数（）fx在区间[,]ab上的定积分，记作：
（）bafxdx?
，即+1（）lim（）nbianibafxdxfn?
?
?
?
?
?
?
要点诠释：
（1）定积分（）bafxdx?
是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n?
?
?
时），记为（）bafxdx?
，而不是nS．
（2）定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（）（）（）bbbaaafxdxfuduftdt?
?
?
?
?
?
（称为积分形式的不变性），另外定积分（）（）bafxdx?
与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120
（1）xdx?
?
与320
（1）xdx?
?
的值就不同．
要点六：
定积分的几何意义解决数学模型
作答用函数表示的数学问题优化问题
用导数解决数学问题优化问题的答案
要点诠释：
（1）当（）0fx?
时，由（）yfx?
、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分（）dbafxx?
在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[（）]d（）bbaaSfxxfxS?
?
?
?
?
?
?
?
，即（）dbafxxS?
?
?
，如图（b）
（2）当（）fx在区间[a，b]上有正有负时，积分（）dbafxx?
在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x轴上方面积取正，x轴下方面积取负）．在如图（c）所示的图象中，定积分132（）dbafxxSSS?
?
?
?
．
要点七：
定积分的运算性质
性质1：
（）d（）bbaakfxxkfxkS?
?
?
?
；
性质2：
[（）g（）]d（）g（）dbbbaaafxxxfxxx?
?
?
?
?
?
；
性质3：
定积分关于积分区间具有可加性。
如右图：
（）d（）d（）dbcbaacfxxfxxfxx?
?
?
?
?
（其中acb?
?
）
性质4．设（）fx在[a，b]上连续：
①当（）fx是奇函数，（）0aafxdx?
?
?
；
②当（）fx是偶函数，0（）2（）aaafxdxfxdx?
?
?
?
．
要点八：
求定积分的基本方法
①定义法（极限观点）
一般步骤：
分割，近似代替，求和，取极限．从几何上看，如果在区间?
?
ab上函数（）fx连续且恒有（）0fx?
，那么定积分?
?
bafxdx?
表示由直线,（）,0xaxbaby?
?
?
?
和曲线（）yfx?
所围成的曲边梯形（如图a中的阴影部分）的面积.
②公式法（微积分基本定理）
微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：
如果'（）（）Fxfx?
，且（）fx在[a，b]上可积，则（）d（）（）bafxxFbFa?
?
?
．
③利用定积分的几何意义，转化为规则图形（如三角形、四边形、圆等）的面积．
④利用奇（偶）函数在对称区间上的性质（要点三运算性质4）。
要点诠释：
对于这几种计算定积分的方法，要合理的利用：
一般先看积分区间[a，b]，如果是对称区间，就利用对称区间上积分的性质来化简（方法④），接着分析被积函数（）fx的特点，如果是有理函数，就利用微积分基本定理计算（方法②），如果是无理函数，则利用定积分的几何意义计算（方法③）．而利用定积分的定义求积分（）dbafxx?
的值时，除了几个特殊的情况需要求积分比较困难，一般很少用．
要点九：
定积分的应用
平面图形的面积
求平面图形的面积，主要是利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．
不分割型图形的面积
由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
求由曲线围成图形面积的一般步骤：
（1）根据题意画出图形；
（2）找出范围，确定积分上、下限（联立?
?
yfx?
与?
?
gyx?
，解方程组得?
?
xabab?
?
，）；
（3）确定被积函数（上曲线-下曲线：
?
?
?
?
gfxx?
）；
（4）将面积用定积分表示（?
?
?
?
dbafxgxx?
?
?
?
?
?
）；
（5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
分割型图形面积的求解
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
要将所求的曲面面积分割成几个不分割图形面积的形式．
求分割型图形面积的一般步骤：
（1）根据题意画出图形；
（2）先求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化；
（3）确定相应区间的被积函数（上曲线-下曲线）；
（4）将各细分区间的不分割平面图形的面积分别用定积分表示，则所求图形面积表示为若干定积分和的形式；
（5）利用微积分基本定理计算定积分得出结果．
简单旋转体的体积
旋转体可以看作是由连续曲线（）yfx＝、直线=xa、xb?
及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．利用定积分也可以求出一些简单的旋转体的体积，体积公式为?
?
2dbaVfxx?
?
?
?
?
?
＝
【典型例题】
类型一：
利用导数解决有关切线问题
例1.已知函数33yxx?
?
，过点016A（，）作曲线（）yfx?
的切线，求此切线方程．
【思路点拨】因为点A不在曲线上，故应先设出切点并求出切点．
【解析】曲线方程为33yxx?
?
，点（016）A，不在曲线上．
设切点为00（）Mxy，，
则点M的坐标满足30003yxx?
?
．
因200（）3
（1）fxx?
?
?
，
故切线的方程为20003
（1）（）yyxxx?
?
?
?
．
点（016）A，在切线上，则有32000016（3）3
（1）（0）xxxx?
?
?
?
?
．
化简得308x?
?
，解得02x?
?
．
所以，切点为（22）M?
?
，，切线方程为9160xy?
?
?
．
【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.
举一反三：
【变式1】（2015梅州三模）已知函数3（）3fxxx?
?
，若过点A（0,16）的直线方程为16yax?
?
，与曲线（）yfx?
相切，则实数a的值是（）
A.3?
B.3C.6D.9
【答案】设切点为3000（,3）Pxxx?
，3（）3fxxx?
?
，'2（）33,fxx?
?
?
3（）3fxxx?
?
?
在点3000（,3）Pxxx?
处的切线方程为3200003（33）（）yxxxxx?
?
?
?
?
，把点A（0,16）代入，得320000163（33）（0）xxxx?
?
?
?
?
，解得02x?
?
，?
过点A（0,16）的切线方程为916,yx?
?
2a?
?
。
故选D
【变式2】求过点（20），且与曲线1yx?
相切的直线方程．
【答案】
设00（）Pxy，为切点，则切线的斜率为0201xxyx?
?
?
?
|
∴切线方程为00201（）yyxxx?
?
?
?
，即020011（）yxxxx?
?
?
?
．
又已知切线过点（20），
，把它代入上述方程，得020011
（2）xxx?
?
?
?
．
解得000111xyx?
?
?
，，即20xy?
?
?
．
【变式3】（2016全国Ⅱ）若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝_______
【答案】1-ln2
对函数y＝lnx+2
求导得1yx?
?
，对y＝ln（x+1）
求导得11yx?
?
?
，设直线y＝kx+b与函数y＝lnx+2相切于点P1（x1，y1），与函数y＝ln（x+1）相切于点P2（x2，y2），则y1＝lnx2+2，y2＝ln（x2+1），则点P1（x1，y1）
在切线上得1111（ln2）（）yxxxx?
?
?
?
，由P2（x2，y2）
在切线上得2221ln
（1）（）1yxxxx?
?
?
?
?
，这两条直线表示同一条直线，所
以122211111ln
（1）ln1xxxxxx?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，解之
得112x?
，∴
1112ln211ln2kbxx?
?
?
?
?
?
?
，
类型二：
利用导数解决有关函数单调性的问题
【高清课堂：
导数的应用综合370878例题3】
例2.已知函数f（x）=
2ln
（1）2kxxx?
?
?
（k≥0）.
（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间.
【思路点拨】（Ⅱ）
求出导数
（1）'（）1xkxkfxx?
?
?
?
后，主要根据
（1）xkxk?
?
的正负进行分类讨论.
【解析】（I）当2k?
时，2（）ln
（1）fxxxx?
?
?
?
，1'（）121fxxx?
?
?
?
由于
（1）ln2f?
，3'
（1）2f?
，
所以曲线（）yfx?
在点（1,
（1））f处的切线方程为
3ln2
（1）2yx?
?
?
即322ln230xy?
?
?
?
（II
）
（1）'（）1xkxkfxx?
?
?
?
，（1,）x?
?
?
?
.
当0k?
时，'（）1xfxx?
?
?
.
所以，在区间（1,0）?
上，'（）0fx?
；在区间（0,）?
?
上，'（）0fx?
.故（）fx得单调递增区间是（1,0）?
，单调递减区间是（0,）?
?
.
当01k?
?
时，由
（1）'（）01xkxkfxx?
?
?
?
?
，得10x?
，210kxk?
?
?
所以，在区间（1,0）?
和1（,）kk?
?
?
上，'（）0fx?
；
在区间1（0,）kk?
上，'（）0fx?
故（）fx得单调递增区间是（1,0）?
和1（,）kk?
?
?
，单调递减区间是1（0,）kk?
.
当1k?
时，2'（）1xfxx?
?
故（）fx得单调递增区间是（1,）?
?
?
.
当1k?
时，
（1）'（）01xkxkfxx?
?
?
?
?
，得11（1,0）kxk?
?
?
?
，20x?
.
所以在区间1（1,）kk?
?
和（0,）?
?
上，'（）0fx?
；
在区间1（,0）kk?
上，'（）0fx?
故（）fx得单调递增区间是1（1,）kk?
?
和（0,）?
?
，单调递减区间是1（,0）kk?
【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式'（）0fx?
或'（）0fx?
，若'（）fx中含有参数，须分类讨论.
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域.
举一反三：
【变式1】若xaxxf?
?
3）（恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间.【答案】
13）（2?
?
?
axxf
（1）当0?
a时，则（）10fx?
?
?
（）xR?
，此时）（xf只有一个增区间）,（?
?
?
?
，与题设矛盾；
（2）当0?
a时，则（）10fx?
?
?
，此时）（xf只有一个增区间）,（?
?
?
?
，与题设矛盾；
（3）当0?
a
时，则2111（）3（）3（）（）333fxaxaxxaaa?
?
?
?
?
?
?
?
由0）（?
?
xf
得axax3131?
?
?
?
?
或，
由0）（?
?
xf
，得axa3131?
?
?
?
?
∴综上可知，当0?
a时，）（xf恰有三个单调区间：
减区间）,31（）,31,（?
?
?
?
?
?
?
aa；增区间）31,31（aa?
?
?
【高清课堂：
导数的应用综合370878例题1】
【变式2】函数（）2sin2?
?
xfxx的图象大致是（）
ABCD【答案】C
首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C.类型三：
利用导数解决函数极值、最值的问题
例3.设函数2（）（）fxxxa?
?
?
（x?
R），其中a?
R．
（Ⅰ）当1a?
时，求曲线（）yfx?
在点（2
（2））f，处的切线方程；
（Ⅱ）当0a?
时，求函数（）fx的极大值和极小值.【解析】
（Ⅰ）当1a?
时，232（）
（1）2fxxxxxx?
?
?
?
?
?
?
，得
（2）2f?
?
，且
2（）341fxxx?
?
?
?
?
，
（2）5f?
?
?
．
所以，曲线2
（1）yxx?
?
?
在点（22）?
，处的切线方程是25
（2）yx?
?
?
?
，整理得
580xy?
?
?
．
（Ⅱ）2322（）（）2fxxxaxaxax?
?
?
?
?
?
?
22（）34（3）（）fxxaxaxaxa?
?
?
?
?
?
?
?
?
．
令（）0fx?
?
，解得3ax?
或xa?
．
由于0a?
，以下分两种情况讨论．
（1）若0a?
，当x变化时，（）fx?
的正负如下表：
x3a?
?
?
?
?
?
?
∞，3a3aa?
?
?
?
?
?
，a（）a?
，∞
（）fx?
?
0?
0?
因此，函数（）fx在3ax?
处取得极小值3af?
?
?
?
?
?
，且34327afa?
?
?
?
?
?
?
?
；
函数（）fx在xa?
处取得极大值（）fa，且（）0fa?
．
（2）若0a?
，当x变化时，（）fx?
的正负如下表：
x?
?
a?
∞，a3aa?
?
?
?
?
?
，3a3a?
?
?
?
?
?
?
，∞
（）fx?
?
0?
0?
因此，函数（）fx在xa?
处取得极小值（）fa，且（）0fa?
；
函数（）fx在3ax?
处取得极大值3af?
?
?
?
?
?
，且34327afa?
?
?
?
?
?
?
?
．
【总结升华】
1.导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法.
2.列表能比较清楚的看清极值点.
3.写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚.举一反三：
【高清课堂：
导数的应用综合370878例题2】
【变式1
】设函数1（）ln（0）,3fxxxx?
?
?
则（）yfx?
（）
A在区间1（,1）,（1,）ee内均有零点.
B
在区间1（,1）,（1,）ee内均无零点.
C
在区间1（,1）e内有零点，在区间（1,）e内无零点.
D
在区间1（,1）e内无零点，在区间（1,）e内有零点.
【答案】D
由题得xxxxf33131）`（?
?
?
?
，令0）`（?
xf得3?
x；令0）`（?
xf得30?
?
x；0）`（?
xf得3?
x，故知函数）（xf在区间）3,0（上为减函数，在区间）,3（?
?
为增函数，在点3?
x处有极小值03ln1?
?
；又?
?
0131）1（,013,31）1（?
?
?
?
?
?
?
eefeeff，故选择D.【变式2】
已知函数cbxxaxxf?
?
?
44ln）（（x>0）在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间并求极值；
【答案】
（1）由题意知
（1）3fc?
?
?
，因此3bcc?
?
?
?
，从而3b?
?
．
又对（）fx求导得
34
31（）4ln4fxaxxaxbxx?
?
?
?
3（4ln4）xaxab?
?
?
．
由题意
（1）0f?
?
，因此40ab?
?
，解得12,3ab?
?
?
．
（2）由
（1）知3（）48lnfxxx?
?
（0x?
），令（）0fx?
?
，解得1x?
．
当01x?
?
时，（）0fx?
?
，此时（）fx为减函数；
当1x?
时，（）0fx?
?
，此时（）fx为增函数．
所以（）fx有极小值
（1）3fc?
?
?
.
因此（）fx的单调递减区间为（01），，而（）fx的单调递增区间为
（1）?
，∞,当1x?
时，（）fx取极小值3c?
?
.
例4.已知函数（）lnfxaxx?
?
（a为常数）.（Ⅰ）当1?
a时，求函数（）fx的单调区间；（Ⅱ）求函数（）fx在?
?
?
?
1上的最值.
【思路点拨】（Ⅱ）求导后可采用求根法求出极值点，再讨论增减性以确定最值.
【解析】（Ⅰ）当1a?
时，函数（）fx=lnxx?
，函数的定义域为（0,）x?
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?
由?
?
011?
?
?
?
xxf得1?
x，∴函数（）fx的单调增区间为（1,）?
?
；
由?
?
011?
?
?
?
xxf得10?
?
x，∴函数（）fx的单调减区间为（0,1）.
（Ⅱ）∵1'（）fxax?
?
①若0a?
，则对任意的[1,）x?
?
?
都有'（）0fx?
，∴函数（）fx在[1,）?
?
上为减函数，
∴（）fx在[1,）?
?
上有最大值，没有最小值，（）
（1）fxfa?
?
最大值；
②若0a?
，令'（）0fx?
得1xa?
，
当01a?
?
时，11a?
，∴当1（1,）xa?
时'（）0fx?
，函数（）fx在1（1,）a上为减函数，当1（,）xa?
?
?
时'（）0fx?
，函数（）fx在1（,）a?
?
上为增函数；
∴1xa?
时，函数（）fx有最小值，11（）（）1lnfxfaa?
?
?
最小值，
当1a?
时，11a?
，在[1,）?
?
恒有'（）0fx?
，∴函数（）fx在[1,）?
?
上为增函数，（）fx在[1,）?
?
有最小值，（）
（1）fxfa?
?
最小值.
【总结升华】求含参函数在某区间上的最值问题，首先要通过对参数分类讨论，确定出函数的单调区间，
其次要善于对极值和端点值进行比较，此时往往需要继续分类讨论.
举一反三：
【高清课堂：
导数的应用综合370878例题4】
【变式】已知函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a.
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【答案】
（1）f′（x）＝－3x2＋6x＋9.
令f′（x）<0，解得x<－1，或x>3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（2）∵f（－2）＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f
（2）＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f
（2）>f（－2）．
∵在（－1,3）上f′（x）>0，
∴f（x）在（－1,2]上单调递增．
又由于f（x）在[－2，－1）上单调递减，
∴f（－1）是f（x）的极小值，且f（－1）＝a－5.
∴f
（2）和f（－1）分别是f（x）在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.∴f（x）＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f（－1）＝a－5＝－7，
即函数f（x）在区间[－2,2]上的最小值为－7.类型四：
利用导数解决优化问题
例5.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：
1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？
最大体积是多少？
【思路点拨】选取一个控制变量，建立体积的
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