知识讲解 导数及其应用全章复习与巩固基础理.docx

1、知识讲解 导数及其应用全章复习与巩固基础理导数及其应用全章复习与编稿：李 霞 审稿： 张林娟 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【知识络】 【要点梳理】 要点一：有关切线问题 直线与曲线相切，我们要抓住三点： 切点在切线上； 切点在曲线上； 切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释： 通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组. 要点二

2、：有关函数单调性的问题 设函数()yfx?在区间（a，b）内可导， （1）如果恒有()0fx?，则函数()fx在（a，b）内为增函数； （2）如果恒有()0fx?，则函数()fx在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有()0fx?，则函数()fx在（a，b）内为常数函数. 要点诠释： （1）若函数()fx在区间（a，b）内单调递增，则()0fx?，若函数()fx在（a，b）内单调递减，则()0fx?. （2）()0fx?或()0fx?恒成立，求参数值的范围的方法： 分离参数法：()mgx?或()mgx?. 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)fxm 的最小值min(,)fxm ，使min(,)

3、0fxm?. （或是求含参函数(,)fxm 的最大值max(,)fxm ，使max(,)0fxm?） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题 （1）确定函数的定义域； （2）求导数)(xf?； （3）求方程0)(?xf的根； （4）检查()fx在方程根左右的值的符，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： 先求出定义域 一般都要列表：然后看在每个根附近导数符的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点. 注意：无定义的点不用在表中列出 根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函

4、数最值的问题 若函数()yfx?在闭区间,ba有定义，在开区间(,)ab内有导数，则求函数()yfx?在,ba上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(xf在),(ba内的导数)(xf?； （2）求方程0)(?xf在),(ba内的根； （3）求在),(ba内所有使0)(?xf的的点的函数值和)(xf在闭区间端点处的函数值)(af，)(bf； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()yfx?在闭区间,ba上的最大值，最小者为函数()yfx?在闭区间,ba上的最小值. 要点诠释： 求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.

5、若)(xf在开区间),(ba内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题 在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤： (1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()yfx?； (2) 求函数的导数()fx，解方程()0fx?； (3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最

6、大(小)值 要点诠释： 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究建立数学模型 相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具 利用导数解决优化问题的基本思路： 得出变量之间的关系()yfx?后，必须由实际意义确定自变量x的取值范围； 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0fx?的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实

7、际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去 要点五：定积分的概念 如果函数=()yfx在区间?ab，上连续，用分点0121iinaxxxxxxb?将区间?ab，等分成n个小区间，在每个小区间?1,iixx?上取点?1,2,iin?，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn?当n?时，上述和式nS无限趋近于常数，那么称该常数为函数()fx在区间,ab上的定积分，记作：()bafxdx?，即+1()lim()nbianibafxdxfn? 要点诠释： （1）定积分()bafxdx?是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n?时），记为()bafxdx?，而不是nS (2) 定积分是一个数值（极限值

8、），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaafxdxfuduftdt?（称为积分形式的不变性），另外定积分()()bafxdx?与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)xdx?与320(1)xdx?的值就不同 要点六：定积分的几何意义 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 要点诠释： （1）当()0fx?时，由()yfx?、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分()dbafxx?在几何上表示上述曲边梯形面积的

9、相反数（负数）所以()d()bbaaSfxxfxS?，即()dbafxxS?，如图（b） （2）当()fx在区间a，b上有正有负时，积分()dbafxx?在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x轴上方面积取正，x轴下方面积取负）在如图（c）所示的图象中，定积分132()dbafxxSSS? 要点七：定积分的运算性质 性质1：()d()bbaakfxxkfxkS?； 性质2：()g()d()g()dbbbaaafxxxfxxx?； 性质3：定积分关于积分区间具有可加性。 如右图：()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx?（其中acb?） 性质4 设()fx在a，b上连续： 当()fx是

10、奇函数，()0aafxdx?； 当()fx是偶函数，0()2()aaafxdxfxdx? 要点八：求定积分的基本方法 定义法（极限观点） 一般步骤：分割，近似代替，求和，取极限 从几何上看，如果在区间?,ab上函数()fx连续且恒有()0fx?，那么定积分?bafxdx?表示由直线,(),0xaxbaby?和曲线()yfx?所围成的曲边梯形(如图a中的阴影部分)的面积. 公式法（微积分基本定理） 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：如果()()Fxfx?，且()fx在a，b上可积，则()d()()bafxxFbFa? 利用定积分的几何意义，转化为规则图形（如三角形、四边形、圆等）的面积 利用

11、奇（偶）函数在对称区间上的性质（要点三运算性质4）。 要点诠释： 对于这几种计算定积分的方法，要合理的利用：一般先看积分区间a，b，如果是对称区间，就利用对称区间上积分的性质来化简（方法），接着分析被积函数()fx的特点，如果是有理函数，就利用微积分基本定理计算（方法），如果是无理函数，则利用定积分的几何意义计算（方法）而利用定积分的定义求积分()dbafxx?的值时，除了几个特殊的情况需要求积分比较困难，一般很少用 要点九：定积分的应用 平面图形的面积 求平面图形的面积，主要是利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题

12、不分割型图形的面积 由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限（联立?yfx?与?gyx?，解方程组得?xabab?，）； (3)确定被积函数（上曲线-下曲线：?gfxx?）； (4)将面积用定积分表示（?dbafxgxx?）； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果 分割型图形面积的求解 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？要将所求的曲面面积分割成几个不分割图形面积的形式 求分割型

13、图形面积的一般步骤： （1）根据题意画出图形； （2）先求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化； （3）确定相应区间的被积函数（上曲线-下曲线）； （4）将各细分区间的不分割平面图形的面积分别用定积分表示，则所求图形面积表示为若干定积分和的形式； （5）利用微积分基本定理计算定积分得出结果 简单旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线()yfx、直线=xa、xb?及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等利用定积分也可以求出一些简单的旋转体的体积，体积公式为?2dbaVfxx? ? 【典型例题】 类型一： 利用导数解决有关切线问题 例1. 已知函数33

14、yxx?，过点016A（，）作曲线()yfx?的切线，求此切线方程 【思路点拨】因为点A不在曲线上，故应先设出切点并求出切点 【解析】曲线方程为33yxx?，点(016)A，不在曲线上 设切点为00()Mxy， 则点M的坐标满足30003yxx? 因200()3(1)fxx?， 故切线的方程为20003(1)()yyxxx? 点(016)A，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)xxxx? 化简得308x?，解得02x? 所以，切点为(22)M?，切线方程为9160xy? 【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切

15、的三个关系列方程组，从而求得参数值. 举一反三： 【变式1】（2015 梅州三模）已知函数3()3fxxx?，若过点A（0,16） 的直线方程为16yax? ，与曲线()yfx?相切，则实数a的值是（ ） A.3? B.3 C.6 D.9 【答案】设切点为3000(,3)Pxxx? ，3()3fxxx? ? ，2()33,fxx? 3()3fxxx? 在点3000(,3)Pxxx?处的切线方程为3200003(33)()yxxxxx? ，把点A（0,16）代入，得320000163(33)(0)xxxx?，解得02x?，? 过点A（0,16）的切线方程为916,yx? 2a?。故选D 【变式2

16、】求过点(20)，且与曲线1yx?相切的直线方程 【答案】 设00()Pxy，为切点，则切线的斜率为0201xxyx?| 切线方程为00201()yyxxx? ，即020011()yxxxx? 又已知切线过点(20)， ，把它代入上述方程，得020011(2)xxx? 解得000111xyx?，即20xy? 【变式3】(2016 全国)若直线ykx+b是曲线ylnx+2的切线，也是曲线yln(x+1)的切线，则b_ 【答案】1-ln2 对函数ylnx+2 求导得1yx?，对yln(x+1) 求导得11yx?，设直线ykx+b与函数ylnx+2相切于点P1(x1，y1)，与函数yln(x+1)相

17、切于点P2(x2，y2)，则y1lnx2+2，y2ln(x2+1)，则点P1(x1，y1) 在切线上得1111(ln2)()yxxxx?，由P2(x2，y2) 在切线上得2221ln(1)()1yxxxx?，这两条直线表示同一条直线，所 以122211111ln(1)ln1xxxxxx?，解之 得112x?， 1112ln211ln2kbxx?， 类型二： 利用导数解决有关函数单调性的问题 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3】 例2.已知函数f(x)= 2ln(1)2kxxx? (k0). ()当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； ()求f(x)的单调区

18、间. 【思路点拨】() 求出导数(1)()1xkxkfxx?后，主要根据(1)xkxk?的正负进行分类讨论. 【解析】（I）当2k?时，2()ln(1)fxxxx? ，1()121fxxx? 由于(1)ln2f?，3(1)2f?， 所以曲线()yfx?在点(1,(1)f处的切线方程为 3ln2(1)2yx? 即 322ln230xy? （II ）(1)()1xkxkfxx?，(1,)x?. 当0k? 时，()1xfxx?. 所以，在区间(1,0)?上，()0fx?；在区间(0,)?上，()0fx?. 故()fx得单调递增区间是(1,0)?，单调递减区间是(0,)?. 当01k?时，由(1)()

19、01xkxkfxx?，得10x? ，210kxk? 所以，在区间(1,0)? 和1(,)kk?上，()0fx?； 在区间1(0,)kk?上，()0fx? 故()fx得单调递增区间是(1,0)? 和1(,)kk? ，单调递减区间是1(0,)kk?. 当1k?时，2()1xfxx? 故()fx得单调递增区间是(1,)?. 当1k?时，(1)()01xkxkfxx? ，得11(1,0)kxk?，20x?. 所以在区间1(1,)kk?和(0,)?上，()0fx?； 在区间1(,0)kk?上，()0fx? 故()fx得单调递增区间是1(1,)kk?和(0,)?，单调递减区间是1(,0)kk? 【总结升华

20、】 （1）解决此类题目，关键是解不等式()0fx?或()0fx?，若()fx中含有参数，须分类讨论. （2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域. 举一反三： 【变式1】 若xaxxf?3)(恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间. 【答案】 13)(2?axxf （1）当0?a时，则()10fx?()xR?，此时)(xf只有一个增区间),(?，与题设矛盾； （2）当0?a时，则()10fx?，此时)(xf只有一个增区间),(?，与题设矛盾； （3）当0?a 时，则2111()3()3()()333fxaxaxxaaa? 由0)(?xf 得axax3131?或， 由

21、0)(?xf ，得axa3131? 综上可知，当0?a时，)(xf恰有三个单调区间： 减区间),31(),31,(?aa；增区间)31,31(aa? 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】 【变式2】函数()2sin2?xfxx的图象大致是（ ） A B C D 【答案】C 首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C. 类型三：利用导数解决函数极值、最值的问题 例3.设函数2()()fxxxa?（x?R），其中a?R （）当1a?时，求曲线()yfx?在点(2(2)f，处的切线方程； （）当0a?时，求函数()fx的极大值和极小值. 【

22、解析】 （）当1a?时，232()(1)2fxxxxxx?，得(2)2f?，且 2()341fxxx?，(2)5f? 所以，曲线2(1)yxx?在点(22)?，处的切线方程是25(2)yx?，整理得 580xy? （）2322()()2fxxxaxaxax? 22()34(3)()fxxaxaxaxa? 令()0fx? ，解得3ax?或xa? 由于0a?，以下分两种情况讨论 （1）若0a?，当x变化时，()fx?的正负如下表： x 3a?， 3a 3aa?， a ()a?， ()fx? ? 0 ? 0 ? 因此，函数()fx在3ax?处取得极小值3af?，且34327afa?； 函数()fx在

23、xa?处取得极大值()fa，且()0fa? （2）若0a?，当x变化时，()fx?的正负如下表： x ?a?， a 3aa?， 3a 3a?， ()fx? ? 0 ? 0 ? 因此，函数()fx在xa?处取得极小值()fa，且()0fa?； 函数()fx在3ax?处取得极大值3af?，且34327afa? 【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法. 2. 列表能比较清楚的看清极值点. 3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚. 举一反三： 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题2】 【变式1 】设函数1()ln

24、(0),3fxxxx?则()yfx?（ ） A在区间1(,1),(1,)ee内均有零点. B 在区间1(,1),(1,)ee内均无零点. C 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点. D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点. 【答案】D 由题得xxxxf33131)(?，令0)(?xf得3?x；令0)(?xf得30?x；0)(?xf得3?x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(?为增函数，在点3?x处有极小值03ln1?；又? ?0131)1(,013,31)1(?eefeeff，故选择D. 【变式2】 已知函数cbxxaxxf?44ln)

25、(x0)在x = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数. （1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间并求极值； 【答案】 （1） 由题意知(1)3fc?，因此3bcc?，从而3b? 又对()fx求导得 34 31()4ln4fxaxxaxbxx?3(4ln4)xaxab? 由题意(1)0f?，因此40ab?，解得12,3ab? （2）由（1）知3()48lnfxxx?（0x?），令()0fx?，解得1x? 当01x?时，()0fx?，此时()fx为减函数； 当1x?时，()0fx?，此时()fx为增函数 所以()fx有极小值(1)3fc?. 因此()fx的单调递减区间为(

26、01)，而()fx的单调递增区间为(1)?，,当1x?时，()fx取极小值3c?. 例4. 已知函数()lnfxaxx? (a为常数). （）当1?a时，求函数()fx的单调区间； （）求函数()fx在?,1上的最值. 【思路点拨】（）求导后可采用求根法求出极值点，再讨论增减性以确定最值. 【解析】（）当1a?时，函数()fx=lnxx?，函数的定义域为(0,)x? 由? ?011?xxf得1?x，函数()fx的单调增区间为(1,)?； 由? ?011?xxf得10?x，函数()fx的单调减区间为(0,1). （）1()fxax?, 若0a?，则对任意的1,)x?都有()0fx?，函数()fx

27、在1,)?上为减函数， ()fx在1,)?上有最大值，没有最小值，()(1)fxfa?最大值； 若0a?，令()0fx?得1xa?， 当01a?时，11a?，当1(1,)xa?时()0fx?，函数()fx在1(1,)a上为减函数，当1(,)xa?时()0fx?，函数()fx在1(,)a?上为增函数； 1xa?时，函数()fx有最小值，11()()1lnfxfaa?最小值， 当1a?时，11a?，在1,)?恒有()0fx?，函数()fx在1,)?上为增函数，()fx在1,)?有最小值，()(1)fxfa?最小值. 【总结升华】求含参函数在某区间上的最值问题，首先要通过对参数分类讨论，确定出函数的

28、单调区间，其次要善于对极值和端点值进行比较，此时往往需要继续分类讨论. 举一反三： 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题4】 【变式】已知函数f(x)x33x29xa. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 【答案】 (1)f(x)3x26x9. 令f(x)0，解得x3， 函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，) (2)f(2)81218a2a， f(2)81218a22a， f(2)f(2) 在(1,3)上f(x)0， f(x)在(1,2上单调递增 又由于f(x)在2，1)上单调递减， f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5. f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2. f(x)x33x29x2. f(1)a57， 即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7. 类型四： 利用导数解决优化问题 例5. 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 【思路点拨】选取一个控制变量，建立体积的