高二数学上册 82《向量的数量积》教案2 沪教版.docx

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高二数学上册82《向量的数量积》教案2沪教版

2019-2020年高二数学上册8.2《向量的数量积》教案

（2）沪教版

教学目标设计

1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；

2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；

3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；

4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．

教学重点及难点

重点：

向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；

难点：

向量的夹角公式的应用.

教学用具准备

直尺，投影仪

教学过程设计

一．情景引入：

1．复习回顾

（1）两个非零向量的夹角的概念：

对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．

（2）平面向量数量积（内积）的定义：

如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与任何向量的数量积为0．

（3）“投影”的概念：

定义：

叫做向量在方向上的投影．

投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0︒时投影为；当θ=180︒时投影为．

（4）向量的数量积的几何意义：

数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．

（5）向量的数量积的运算性质：

对于，有

（1）当且仅当时，＝

（2）

（3）

（4）

２．分析思考：

（1）类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？

学生通过讨论，回答：

一般不成立

（2）如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？

分析：

设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为，则由知

二．学习新课:

1.向量的夹角公式:

在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足

因此,当时,,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,所以可得：

两个向量垂直的充要条件是．

２.例题分析

例1：

化简:

．（课本P66例2）

解:

=

=

=

例2:

已知,且与的夹角为,求．（课本P66例3）

解:

所以

例3：

已知,垂直,求的值．（课本P66例4）

解：

因为垂直，所以

化简得

即

由已知，可得

解得．

所以，当时，垂直．

例4：

已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．

解：

由

①

②

两式相减：

代入①或②得：

设、的夹角为θ，则

∴θ=60︒

３.问题拓展

例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．

证明：

设AB是⊙O直径，半径为r

设,则;,则

则

，即∠ACB是直角．

三．巩固练习

1已知,

（1）若∥,求；

（2）若与的夹角为60°，求；

（3）若与垂直，求与的夹角．

2已知,向量与的位置关系为（）

A．平行B．垂直C．夹角为D．不平行也不垂直

3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）

A．2B．2C．6D．12

4已知与是非零向量，则是与垂直的（）

A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

四．课堂小结

1．向量的数量积及其运算性质；

２．两向量的夹角公式；

３．两个向量垂直的充要条件；

4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．

五．作业布置

练习8.2

（1）P67T2、T3、T4；P35T3、T4

思考题

1已知向量与的夹角为，,则|+|·|-|=．

2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么=．

3已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝______．

4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．

5求证：

平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

教学设计说明及反思

本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．

2019-2020年高二数学上册8.2《向量的数量积》教案（3）沪教版

一、教学目标设计

理解和掌握向量数量积的坐标表示；会根据坐标求两个向量的夹角；能把向量垂直关系转化为坐标关系，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件.通过学习，体会坐标化的过程和意义，发展数学思维能力.

二、教学重点及难点

向量数量积的坐标表示、垂直向量的坐标关系、利用坐标求两个向量的夹角.

数形结合思想方法在解题中的运用.

教学用具准备

三角板，直尺（作图用,也可用多媒体作图）.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

引入问题已知、是基本单位向量,则

（1）的坐标是________，的坐标是________.

（2）________；________.

（3）若，，则与的位置关系是________，所以________.

[说明]本题要求学生写出基本单位向量的坐标,并根据它们的位置关系,计算与的数量积.问题设计的目的,一是复习巩固向量的数量积和向量的坐标表示,二是加深学生对向量坐标的意义的理解,为进一步探究两个向量的数量积与它们坐标之间的关系作好准备.

二、学习新课

1.探究与、之间的关系

已知两个向量，,试用和的坐标表示

由向量坐标的意义可知:

，

根据数量积运算性质,得

又，，

所以

这就是说：

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即

例1已知，，求⋅

解：

.

[说明]通过此例熟悉公式.

[问题延伸]可否在上述条件下求出与的夹角呢?

（课本p68例7）

[说明]当向量的坐标给出后,向量的方向就惟一确定了（除零向量）,那么它们的夹角也就确定了,所以我们能够求出夹角.我们可以联想到上节课利用向量的数量积求两个向量夹角的方法,当我们根据坐标计算出两个向量的数量积时,意味着只要能根据坐标求出向量的模,问题就迎刃而解了.

解:

.

因为，

所以

[说明]注意两个向量夹角的取值范围.

2.两个向量的夹角公式

显然,对于任意两个非零向量，我们都可以根据它们的坐标求得它们的夹角.

一般地,设两个非零向量,的夹角为,则

[说明]把向量的度量计算转化为坐标计算，这不仅揭示了向量身兼几何与代数双重身份的本质,又深刻体现了几何代数化的数学思想,这也是引入向量处理几何问题的根本所在.

3.两个向量垂直的充要条件的坐标表示

根据我们上节课学习的两个向量垂直的充要条件和上述坐标化的夹角公式，我们不难得到两个向量垂直的充要条件的坐标表示.

已知，，那么的充要条件是.

[说明]把之前学习的两个向量垂直的充要条件坐标化，渗透着数形结合的思想.简洁的形式,使之成为判断两个向量垂直最常用的方法.

4.应用与深化

例2已知，，，求：

（1）；

（2）

（课本p67例5）

解：

（1）

，

.

（2）

，

.

[说明]①此例可以帮助学生进一步熟悉两个向量数量积的坐标运算，让学生体会数量积和实数与向量乘积的坐标运算结果的区别;②引导学生观察思考,得出结论:

在一般情况下,.

例3在中,已知A、B、C三点的坐标分别为、、，求证：

是直角三角形.（课本p68例6）

解：

因为，，

所以，即是直角三角形.

[说明]此题根据三角形的三个顶点坐标,通过坐标运算,将坐标关系转化为位置关系.本题解法多样,可用两个向量垂直的充要条件、勾股定理或解析几何相关知识解答.在教学中可充分调动学生的积极性,引导学生得出多种解法,在此基础上,启发学生比较各种解法的优劣,体会应用代数方法进行几何证明的优越性.

[问题变式]以原点和A（5,2）为顶点作等腰直角△OAB，使∠B=90︒，求点B和向量的坐标.

解：

设B点坐标（x,y），则=（x,y），=（x-5,y-2）

∵⊥∴x（x-5）+y（y-2）=0,即x2+y2-5x-2y=0

又∵||=||∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2,即10x+4y=29

由

∴当点B坐标为时,=

当点B坐标为时,=.

[说明]本题与例3对应,需将度量关系转化为坐标关系解决问题.要注意,仅有垂直关系,点B不是唯一确定的,事实上点B的轨迹是以OA为直径的圆（除去O、A两点）.实质上，该问题的几何意义是求以OA为直径的圆（除去O、A两点）与线段OA的中垂线的交点坐标,所以有两解.

例4已知，，求的值，使垂直于.

（课本p68例8）

解:

因为垂直于,所以,

解得:

.

所以当时,垂直于.

[说明]根据垂直向量的坐标关系求解.

[探究问题]

已知四边形ABCD中=（6,1）,=（x,y），=（-2,-3）,

（1）若∥,试探究x与y间的关系式；

（2）满足

（1）问的同时又有⊥,试求x,y的值及四边形ABCD的面积.

解:

（1）因为,,∥,

所以,可得:

.

（2）因为,,⊥,

所以

即

解

可得:

或

所以

.

[说明]①本题有一定的综合性,渗透着数形结合思想,要求位置关系、坐标关系和度量关系的灵活转化.解题时先将平行与垂直关系转化为坐标关系,再利用求得坐标计算长度和面积；②本题可视教学的实际情况采用.

三、巩固练习

1.已知，，，则，=.（课本p69练习8.2

（2）第1题）

2.已知,,则；；与的夹角

.（课本p69练习8.2

（2）第2题）

3.若=（-4,3）,=（5,6）,则3||２－４＝（）（补充题）

A.23B.57C.63D.83

4.已知A（1,2）,B（2,3）,C（-2,5），则△ABC为（）（补充题）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

5.在中,已知三点A（-2,3）、B（0,-1）、C（1,k），若是直角.求k的值.（课本p69练习8.2

（2）第3题）

6.已知,，，且，求实数k的值和向量.

参考答案：

（课本p69练习8.2

（2）第4题）

1.8，-2；2.5，13，；3.D；4.A5.0或26.1，.

四、课堂小结

1、向量的数量积的坐标表示;两个向量的夹角公式;向量垂直的充要条件的坐标表示.

2、求两个向量的数量积时，注意数量积的结果是数，而实数与向量乘法的结果是向量,要加以区别.

3、利用向量的双重身份（代数性和几何性）,将向量的度量计算（两个向量的夹角、长度）和位置关系（平行与垂直）判断转化为坐标运算，使几何可能计算，问题更加简洁和形式化、机械化，体现了现代几何学的发展方向---几何代数化.

五、作业布置

一、练习册8.2P35T6、T7、T8.

二、补充题（根据教学实际情况选用）

1.已知点A（1，2）和B（4，-1），问能否在y轴上找到一点C，使，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.

2在△ABC中，=（2,3），=（1,k），且△ABC的一个内角为直角，求k值.

3.已知，，求x，y的值，使且.

解析:

利用方程的思想求解

由题:

解得:

[说明]①本题有两个待