高三数学导数的综合应用教案18.docx

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高三数学导数的综合应用教案18

高三数学导数的综合应用教案18

11．5导数的综合应用

一、明确复习目标

了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；

二．建构知识网络

1．函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；

2．利用导数解不等式问题：

（高考中的一类新题型）

（1）利用导数确定函数的单调性，

（2）利用单调性研究不等式。

三、双基题目练练手

1．已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是

A．0B．1C．2D．3

2．函数f（x）=sin（3x－）在点（,）处的切线方程是（）

A．3x+2y+－=0,B．3x－2y+－=0

C．3x－2y－－=0,D．3x+2y－－=0

3．（2006湖北）若的大小关系（）

A．B．C．D．与x的取值有关

4．（2006江西）对于上可导的任意函数f（x）,若满足（x－1）f′（x）≥0,则必有（）

A．f（0）+f

（2）C．f（0）+f

（2）≥2f

（1）D．f（0）+f

（2）>2f

（1）

5．若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．

6．方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根．

简答:

1－4．DBDC；

5．y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0．答案：

b>0

6．设f（x）=x3－3x+c，则（x）=3x2－3=3（x2－1）．

当x∈（0，1）时，（x）∴f（x）在（0，1）上单调递减．

∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点．

因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．

四、经典例题做一做

【例1】证明：

当x>0时，有

证明：

设f（x）=x-sinx,于是f（0）=0．

∵f/（x）=1-cosx（仅在x=2kπ（k∈Z）处f/（x）=0

∴当x>0时，f（x）单调递增，从而有f（x）>f（0）

即x-sinx>0,x>sinx（x>0）

为证不等式，设

g（x）=sinx-x+,则g（0）=0,

于是g/（x）>0,∴g（x）在x>0时递增，从而有g（x）>g（0）=0

即

故当x>0时有

提炼方法：

证不等式的依据I：

（1）若函数f（x）在x>a可导，且递增，则f（x）>f（a）;

（2）若函数f（x）在x>a可导，且递减，则f（x）《f（a）;

关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左÷右等。

【例2】已知

求证：

函数f（x）图像上的点不可能在函数g（x）图像的上方。

证明：

设F（x）=（2-x）ex-1,（x∵F/（x）=（1-x）ex-1,

当x0,当1∴x=1时，F（x）有极大值，也就是最大值。

∴F（x）≤F

（1）=1,又x∴

∴函数f（x）图像上的点不可能在函数g（x）图像的上方。

提炼方法：

证不等式的依据II：

（1）若函数f（x）在某一范围内有最小值m,则f（x）≥m．

（2）若函数f（x）在某一范围内有最大值M，则f（x）≤m．

【例3】（2006全国Ⅰ）已知函数

（Ⅰ）设a>0，讨论y=f（x）的单调性；

（Ⅱ）若对任意x∈（0,1）恒有f（x）>1，求a的取值范围

解（Ⅰ）f（x）的定义域为（－∞,1）∪（1,+∞）。

对f（x）求导数得f'（x）=ax2+2－a（1－x）2e－ax

（ⅰ）当a=2时,f'（x）=2x2（1－x）2e－2x,f'（x）在（－∞,0）,（0,1）和（1,+∞）均大于0,所以f（x）在（－∞,1）,（1,+∞）为增函数；

（ⅱ）当00,f（x）在（－∞,1）,（1,+∞）为增函数；

（ⅲ）当a>2时,0当x变化时,f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

x（-∞,-）

（-,）

（,1）

（1,+∞）

f'（x）＋－＋＋

f（x）↗↘↗↗

f（x）在（－∞,－）,（,1）,（1,+∞）为增函数,f（x）在（－,）为减函数。

（Ⅱ）（ⅰ）当0f（0）=1

（ⅱ）当a>2时,取x0=12∈（0,1）,则由（Ⅰ）知f（x0）（ⅲ）当a≤0时,对任意x∈（0,1）,恒有1+x1－x>1且e－ax≥1,得

f（x）=1+x1－xe－ax≥1+x1－x>1综上当且仅当a∈（－∞,2]时,对任意x∈（0,1）恒有f（x）>1。

特别提示：

对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。

【例4】（2006全国Ⅰ）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）的最小值。

解:

椭圆方程可写为:

y2a2+x2b2=1式中a>b>0,且a2－b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:

x2+y24=1（x>0,y>0）y=21－x2（0设P（x0,y0）,因P在C上,有0y=－4x0y0（x－x0）+y0设A（x,0）和B（0,y）,由切线方程得x=1x0,y=4y0

由OM→=OA→+OB→得M的坐标为（x,y）,由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

1x2+4y2=1（x>1,y>2）

（Ⅱ）|OM→|2=x2+y2,y2=41－1x2=4+4x2－1,

∴|OM→|2=x2－1+4x2－1+5≥4+5=9且当x2－1=4x2－1,即x=3>1时,上式取等号

故|OM→|的最小值为3

【研讨欣赏】（2006湖北）设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点．

（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；

（2）设>0，=（）．若存在使得||解：

（1）

由f′（3）=0得

所以

令f′（x）=0得

由于x=3是f（x）的极值点，故x1≠x2，即a≠-4

当时，，故f（x）在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数

当a>4时，x1>x2，故f（x）在（－∞,－a－1]上为减函数，在－a－1,3]上为增函数，在3,+∞）上为减函数．

（2）当a>0时，－a－1因此f（x）在0,4]上的值域为

而在0,4]上为增函数，所以值域为

注意到，

故由假设知解得

故的取值范围是

考查知识：

函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

五．提炼总结以为师

1．利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题；

2．利用导数证明不等式有两种方法：

3．导数是研究函数问题的工具，注意它在其它数学问题中的综合与应用。

同步练习11．5导数的综合应用

【选择题】

1某物体作s=2（1－t）2的直线运动，则t=0．8s时的瞬时速度为（）

A．4B．－4C－4．8D－0．8

2．已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有

A．3个B．2个C．1个D．0个

3．若f（x）是在（－L，L）内的可导的偶函数，且不恒为0，则（）

（A）必定是（－L，L）内的偶函数

（B）必定是（－L，L）内的奇函数

（C）必定是（－L，L）内的非奇非偶函数

（D）可能是（－L，L）内的奇函数，可能是偶函

4．已知的值是（）

A．B．0C．8D．不存在

【填空题】

5．曲线y=上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为

6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________

简答．提示：

1－4．DDBC;

2．（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>0，

∴f（x）在［1，2］上单调递增．∴f（x）≥f

（1）=7．

∴f（x）=0在［1，2］上无根．答案：

D

3．由f（－x）=f（x），求导得．

4．，

5．;6．设底面边长为x，则高为h=，

∴S表=3×x+2×x2=+x2

∴S′=－+x令S′=0，得x=．答案：

【解答题】

7．已知x∈R,求证：

ex≥x+1．

证明:

设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1．

∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．

当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．

当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．

∴对x∈R都有f（x）≥0．∴ex≥x+1．

8．（2006江西）已知函数在与时都取得极值．

（1）求、的值及函数f（x）的单调区间;

（2）若对x∈-1,2],不等式f（x）解:

f/（x）=3x2－x－2=（3x－2）（x-1）,函数f（x）的单调区间如下表：

f/（x）

f（x）

极大值

极小值

所以函数f（x）的递增区间为与;

递减区间为．

9．（2006重庆）已知函数f（x）=（x2+bx+c）ex，其中b,c∈R为常数。

（Ⅰ）若b2>4（c-1），讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）若，且，试证：

。

解（I）求导得f/（x）=x2+（b+2）x+b+e]ex

∵b2>4（c-1）故方程f/（x）=0即x2+（b+2）x+b+e=0有两个实根

令f/（x）>0,解得xx2．

又令f/（x）故当x∈（－∞,x1）时，f（x）是增函数，x∈（x2,+∞）时，f（x）也是函数，当x∈（x1,x2）时，f（x）是减函数。

（II）易知

∴

∴由已知条件得

解得

10．（2006浙江）已知函数f（x）=x+x，数列｜x｜（x＞0）的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：

曲线x=f（x）在处的切线与经过（0，0）和（x,f（x））两点的直线平行（如图）．

求证：

当n时，

（Ⅰ）x

（Ⅱ）

证明：

（I）因为

所以曲线在处的切线斜率

因为过和两点的直线斜率是

所以．

（II）因为函数当时单调递增，

而，

所以，即

因此

又因为令则

因为所以

因此故

【探索题】已知函数f（x）=f（x）的导函数是对任意两个不相等的正数，证明：

当时，

证法一：

由，得

∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立

即证成立

∵

设，则

令得，列表如下：

极小值

∴

∴对任意两个不相等的正数，恒有

证法二：

由，得

∴

∵是两个不相等的正数

∴

设，

则，列表：

极小值

∴即

∴

即对任意两个不相等的正数，恒有