高三数学导数的综合应用教案18.docx

1、高三数学导数的综合应用教案18高三数学导数的综合应用教案18115导数的综合应用一、明确复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；二建构知识网络1函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；2利用导数解不等式问题：（高考中的一类新题型）（1）利用导数确定函数的单调性，（2）利用单调性研究不等式。三、双基题目练练手1已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是A0B1C2D32函数f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线方程是（）A3x+2y+=0,B3x2y+=0C3x2y=0,D3x+2y=03(

2、2006湖北)若的大小关系（）ABCD与x的取值有关4（2006江西）对于上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有（）Af(0)+f(2)Cf(0)+f(2)2f(1)Df(0)+f(2)2f(1)5若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_6方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根简答:14DBDC；5y=4x2+b，若y值有正、有负，则b0答案：b06设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）当x（0，1）时，（x）f（x）在（0，1）上单调递减f（x）的图象与x轴最多有一个交点因此方程x33x+c=0在0，1）上至多有一实根四、经典例题

3、做一做【例1】证明：当x0时，有证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0f/(x)=1-cosx(仅在x=2k(kZ)处f/(x)=0当x0时，f(x)单调递增，从而有f(x)f(0)即x-sinx0,xsinx(x0)为证不等式，设g(x)=sinx-x+,则g(0)=0,于是g/(x)0,g(x)在x0时递增，从而有g(x)g(0)=0即故当x0时有提炼方法：证不等式的依据I：（1）若函数f(x)在xa可导，且递增，则f(x)f(a);（2）若函数f(x)在xa可导，且递减，则f(x)f(a);关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左右等。【例2】已知求证：函数f(x)图像

4、上的点不可能在函数g(x)图像的上方。证明：设F(x)=(2-x)ex-1,(xF/(x)=(1-x)ex-1,当x0,当1x=1时，F(x)有极大值，也就是最大值。F(x)F(1)=1,又x函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。提炼方法：证不等式的依据II：(1)若函数f(x)在某一范围内有最小值m,则f(x)m(2)若函数f(x)在某一范围内有最大值M，则f(x)m【例3】(2006全国）已知函数（）设a0，讨论y=f(x)的单调性；（）若对任意x(0,1)恒有f(x)1，求a的取值范围解()f(x)的定义域为(,1)(1,+)。对f(x)求导数得f(x)=ax2+2a(1

5、x)2eax()当a=2时,f(x)=2x2(1x)2e2x,f(x)在(,0),(0,1)和(1,+)均大于0,所以f(x)在(,1),(1,+)为增函数；()当00,f(x)在(,1),(1,+)为增函数；()当a2时,0当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(-,-)(-,)(,1)(1,+)f(x)f(x)f(x)在(,),(,1),(1,+)为增函数,f(x)在(,)为减函数。()()当0f(0)=1()当a2时,取x0=12(0,1),则由()知f(x0)()当a0时,对任意x(0,1),恒有1+x1x1且eax1,得f(x)=1+x1xeax1+x1x1综上当且仅当a

6、(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例4】(2006全国)在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值。解:椭圆方程可写为:y2a2+x2b2=1式中ab0,且a2b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+y24=1(x0,y0)y=21x2(0设P(x0,y0),因P在C上

7、,有0y=4x0y0(xx0)+y0设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=1x0,y=4y0由OM=OA+OB得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:1x2+4y2=1(x1,y2)()|OM|2=x2+y2,y2=411x2=4+4x21,|OM|2=x21+4x21+54+5=9且当x21=4x21,即x=31时,上式取等号故|OM|的最小值为3【研讨欣赏】(2006湖北)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xR)的一个极值点（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；（2）设0，=（）若存在使得|解：（1）由f(3)

8、=0得所以令f(x)=0得由于x=3是f(x)的极值点，故x1x2，即a-4当时，故f(x)在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数当a4时，x1x2，故f(x)在(,a1上为减函数，在a1,3上为增函数，在3,+)上为减函数（2）当a0时，a1因此f(x)在0,4上的值域为而在0,4上为增函数，所以值域为注意到，故由假设知解得故的取值范围是考查知识：函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力五提炼总结以为师1利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题；2利用导数证明不等式有两种方法：3导数是研究函数问题的工具，注意它在其它数学问题中

9、的综合与应用。同步练习115导数的综合应用【选择题】1某物体作s=2（1t）2的直线运动，则t=08s时的瞬时速度为()A4B4C48D082已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有A3个B2个C1个D0个3若f(x)是在（L，L）内的可导的偶函数，且不恒为0，则（）（A）必定是（L，L）内的偶函数（B）必定是（L，L）内的奇函数（C）必定是（L，L）内的非奇非偶函数（D）可能是（L，L）内的奇函数，可能是偶函4已知的值是（）AB0C8D不存在【填空题】5曲线y=上的点到直线2xy+3=0的最短距离为6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时

10、，底面边长为_简答提示：14DDBC;2（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）0，f（x）在1，2上单调递增f（x）f（1）=7f（x）=0在1，2上无根答案：D3由f(x)=f(x)，求导得4，5;6设底面边长为x，则高为h=，S表=3x+2x2=+x2S=+x令S=0，得x=答案：【解答题】7已知xR,求证：exx+1证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1当x=0时，f（x）=0,f（x）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数f（x）f（0）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=0对xR都有f（x）0exx+18（200

11、6江西）已知函数在与时都取得极值（1）求、的值及函数f(x)的单调区间;（2）若对x-1,2,不等式f(x)解:f/(x)=3x2x2=(3x2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表：f/(x)f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间为与;递减区间为9（2006重庆）已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,cR为常数。（）若b24(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；（）若，且，试证：。解（I）求导得f/(x)=x2+(b+2)x+b+eexb24(c-1)故方程f/(x)=0即x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根令f/(x)0,解得xx2又令f/(x)故当x(,x1)

12、时，f(x)是增函数，x(x2,+)时，f(x)也是函数，当x(x1,x2)时，f(x)是减函数。（II）易知由已知条件得解得10(2006浙江)已知函数f(x)=x+x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行（如图）求证：当n时，()x（）证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故【探索题】已知函数f(x)=f(x)的导函数是对任意两个不相等的正数，证明：当时，证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立设，则令得，列表如下：极小值对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得是两个不相等的正数设，则，列表：极小值即即对任意两个不相等的正数，恒有