名校大联考 高考数学全真模拟测试82.docx

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名校大联考高考数学全真模拟测试82

名校大联考2016年高考数学全真模拟测试

（8-2）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=（　　）

A.（0,2]B.（1,2）

C.[1,2）D.（1,4）

2.已知复数z=2-i,则z·的值为（　　）

A.5B.

C.3D.

3.（2015河北唐山一模,3）已知抛物线的焦点F（a,0）（a<0）,则抛物线的标准方程是（　　）

A.y2=4ax

B.y2=2ax

C.y2=-4ax

D.y2=-2ax

4.（2015广东广州一模,3）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图）,其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的中位数是（　　）

A.91B.91.5

C.92D.92.5

5.已知cos2θ=,则sin4θ-cos4θ的值为（　　）

A.B.-

C.D.-

6.（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,4）执行如图所示的程序框图,则输出的结果为（　　）

A.20B.30C.40D.50

7.已知等比数列{an},且a4+a8=2,则a6（a2+2a6+a10）的值为（　　）

A.4B.6

C.8D.10

8.已知x,y满足约束条件则z=2x+4y的最小值是（　　）

A.5B.10

C.-6D.-10

9.设函数f（x）=（x-1）x（x+1）,则满足f'（x）dx=0的实数a有（　　）

A.3个B.2个C.1个D.0个

10.正三棱锥S-ABC内接于球O,其底面边长是2,侧棱长是4,则球O的体积是（　　）

A.B.

C.D.

11.（2015四川资阳三模,7）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示,下列说法正确的是（　　）

A.f（x）的图象关于直线x=-对称

B.f（x）的图象关于点对称

C.将函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象

D.若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是（-2,-]

12.已知函数f（x）=x3+ax2-x+c（x∈R）,下列结论错误的是（　　）

A.函数f（x）一定存在极大值和极小值

B.若函数f（x）在（-∞,x1）,（x2,+∞）上是增函数,则x2-x1≥

C.函数f（x）的图象是中心对称图形

D.函数f（x）在点（x0,f（x0））（x0∈R）处的切线与f（x）的图象必有两个不同的公共点

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13.（2015广东广州一模,11）已知随机变量X服从正态分布N（2,1）.若P（1≤X≤3）=0.6826,则P（X>3）等于　　　　　. 

14.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为　　　　　. 

15.（2015云南弥勒一模,14）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　　　　　. 

16.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,16）定义:

如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a,b]上存在x0（a

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）（2015河北唐山一模,19）如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.

（1）求证:

AB1⊥CC1;

（2）若AB1=,求二面角C-AB1-A1的余弦值.

18.（本小题满分12分）学校设计了一个实验学科的考查方案:

考生从6道备选题中一次随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:

在抽取的3道题中,至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都为,且每题正确完成与否互不影响.

（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望;

（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大?

19.（本小题满分12分）已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1,n∈N*.

（1）求a2的值;

（2）求数列{an}的通项公式;

（3）是否存在正整数k,使ak,S2k-1,a4k成等比数列?

若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.

20.（本小题满分12分）（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,20）设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到x轴的距离是3.

（1）求抛物线的标准方程;

（2）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P,使得过点P的直线交抛物线于另一点Q,满足PF⊥QF,且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直?

并请说明理由.

21.（本小题满分12分）（2015河南商丘二模,17）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x（a∈R）.

（1）当a=时,求函数y=f（x）的单调区间;

（2）若对任意实数b∈（1,2）,当x∈（-1,b]时,函数f（x）的最大值为f（b）,求a的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）（2015云南弥勒一模,22）如图所示,圆O的两弦AB和CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.

（1）求证:

△DEF∽△EAF;

（2）如果FG=1,求EF的长.

23.（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ.

（1）求曲线C的参数方程;

（2）当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.

24.（本小题满分10分）已知函数f（x）=|2x-a|+a,a∈R,g（x）=|2x-1|.

（1）若当g（x）≤5时,恒有f（x）≤6,求a的最大值;

（2）若当x∈R时,恒有f（x）+g（x）≥3,求a的取值范围.

教师用卷参考答案（8-2）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=（　　）

A.（0,2]B.（1,2）

C.[1,2）D.（1,4）

解析:

由已知可得A={x|0

又∵B={x|1≤x≤4},∴A∩B={x|1≤x<2}.

答案:

C

2.已知复数z=2-i,则z·的值为（　　）

A.5B.

C.3D.

解析:

z·=（2-i）·（2+i）=22-i2=4-（-1）=5,故选A.

答案:

A

3.（2015河北唐山一模,3）已知抛物线的焦点F（a,0）（a<0）,则抛物线的标准方程是（　　）

A.y2=4ax

B.y2=2ax

C.y2=-4ax

D.y2=-2ax

解析:

以F（a,0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=4ax.

答案:

A

4.（2015广东广州一模,3）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图）,其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的中位数是（　　）

A.91B.91.5

C.92D.92.5

解析:

由茎叶图知:

这组数据的中位数是=91.5,故选B.

答案:

B

5.已知cos2θ=,则sin4θ-cos4θ的值为（　　）

A.B.-

C.D.-

解析:

sin4θ-cos4θ=（cos2θ+sin2θ）（sin2θ-cos2θ）

=sin2θ-cos2θ=-cos2θ=-.

答案:

B

6.（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,4）执行如图所示的程序框图,则输出的结果为（　　）

A.20B.30C.40D.50

解析:

0>1不成立,执行循环体,S=7,i=3,T=3;3>7不成立,执行循环体,S=13,i=6,T=9,9>13不成立,执行循环体,S=19,i=9,T=18,18>19不成立,执行循环体,S=25,i=12,T=30,30>25成立,退出循环体,输出T=30,故答案为B.

答案:

B

7.已知等比数列{an},且a4+a8=2,则a6（a2+2a6+a10）的值为（　　）

A.4B.6

C.8D.10

解析:

a6（a2+2a6+a10）=a6·a2+2a6·a6+a6·a10=+2a4·a8+=（a4+a8）2=4,故答案为A.

答案:

A

8.已知x,y满足约束条件则z=2x+4y的最小值是（　　）

A.5B.10

C.-6D.-10

解析:

作出不等式组所表示的平面区域如图,当目标函数z=2x+4y经过点A（3,-3）时取得最小值,最小值为2×3+4×（-3）=-6,故选C.

答案:

C

9.设函数f（x）=（x-1）x（x+1）,则满足f'（x）dx=0的实数a有（　　）

A.3个B.2个C.1个D.0个

解析:

f'（x）dx=f（a）=0,得a=0或1或-1,又由积分性质知a>0,故a=1,选C.

答案:

C

10.正三棱锥S-ABC内接于球O,其底面边长是2,侧棱长是4,则球O的体积是（　　）

A.B.

C.D.

解析:

如图,作BD⊥AC,SE⊥BD,垂足分别为D,E,设正三棱锥S-ABC的外接球O的半径为R,∵正三棱锥S-ABC的底面边长是2,侧棱长是4,∴AB=BC=AC=2,SA=SB=SC=4,BD=3,BE=2,SE=2,

R2=（2-R）2+22,R=,

∴球O的体积是,故选D.

答案:

D

11.（2015四川资阳三模,7）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示,下列说法正确的是（　　）

A.f（x）的图象关于直线x=-对称

B.f（x）的图象关于点对称

C.将函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象

D.若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是（-2,-]

解析:

∵T=4=π,∴ω=2.

令2×+φ=,则φ=.

显然A=2,∴f（x）=2sin.

对于A,f（x）的图象的对称轴方程为x=（k∈Z）,故不关于直线x=-对称,错.

对于B,由2x+=kπ得x=（k∈Z）,所以f（x）的图象的对称中心为（k∈Z）,所以不关于点对称,错.

对于C,函数y=sin2x-cos2x=2sin,将它的图象向左平移个单位得y=2sin=2sin≠f（x）,错.

对于D,由-≤x≤0得-≤2x+,结合函数y=2sinx的图象可知,-2

答案:

D

12.已知函数f（x）=x3+ax2-x+c（x∈R）,下列结论错误的是（　　）

A.函数f（x）一定存在极大值和极小值

B.若函数f（x）在（-∞,x1）,（x2,+∞）上是增函数,则x2-x1≥

C.函数f（x）的图象是中心对称图形

D.函数f（x）在点（x0,f（x0））（x0∈R）处的切线与f（x）的图象必有两个不同的公共点

解析:

对于A,f'（x）=3x2+2ax-1,Δ=4a2+12>0,因此函数f'（x）=3x2+2ax-1恒有两个相异零点x3,x4（其中x3

函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象关于点.对于D,取a=c=0,得f（x）=x3-x,f（0）=0,f'（0）=-1,此时f（x）=x3-x的图象在点（0,0）处的切线方程是y=-x,注意到方程组有唯一实数解,即此时f（x）=x3-x的图象在点（0,0）处的切线与f（x）的图象有唯一公共点,因此选项D不正确.综上所述,选D.

答案:

D

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13.（2015广东广州一模,11）已知随机变量X服从正态分布N（2,1）.若P（1≤X≤3）=0.6826,则P（X>3）等于　　　　　. 

解析:

因为随机变量X服从正态分布N（2,1）,

所以P（X>3）=P（X<1）,

因为P（X<1）+P（1≤X≤3）+P（X>3）=1,

所以P（X>3）=（1-0.6826）=0.1587.

答案:

0.1587

14.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为　　　　　. 

解析:

由题可得a=10,b=8,c=6.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=20,①

∵PF1⊥PF2,由勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=144,②

①2-②,得2|PF1|·|PF2|=400-144=256,

∴|PF1|·|PF2|=128,

∴|PF1|·|PF2|=×128=64.

答案:

64

15.（2015云南弥勒一模,14）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　　　　　. 

解析:

由三视图可知,该几何体是四棱柱,底面积S=（2+3）×2=5,高h=2,该几何体的体积V=S·h=2×5=10.

答案:

10

16.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,16）定义:

如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a,b]上存在x0（a

解析:

根据平均值函数的定义,若函数f（x）=x3+mx是[-1,1]上的平均值函数,则关于x的方程x3+mx=在区间（-1,1）内有解,即关于x的方程x3+mx-m-1=0在区间（-1,1）内有解,即关于x的方程m=-x2-x-1在区间（-1,1）内有解.

因为函数g（x）=-x2-x-1=-在区间[-1,1]上,当x=-时,取得最大值-,当x=1时取得最小值-3,所以函数g（x）=-x2-x-1=-在区间（-1,1）上的值域为,所以实数m的取值范围是.

答案:

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）（2015河北唐山一模,19）如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.

（1）求证:

AB1⊥CC1;

（2）若AB1=,求二面角C-AB1-A1的余弦值.

（1）证明:

连接AC1,CB1,则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.

取CC1中点O,连接OA,OB1,

则CC1⊥OA,CC1⊥OB1.

因为OA∩OB1=O,

所以CC1⊥平面OAB1.

因为AB1⊂平面OAB1,

所以CC1⊥AB1.

（2）解:

由

（1）知,OA=OB1=,又AB1=,

所以OA⊥OB1.如图所示,

分别以OB1,OC1,OA为正方向建立空间直角坐标系,

则C（0,-1,0）,B1（,0,0）,A（0,0,）,

设平面CAB1的法向量为m=（x1,y1,z1）,

因为=（,0,-）,=（0,-1,-）,

所以

取m=（1,-,1）.

设平面A1AB1的法向量为n=（x2,y2,z2）.

因为=（,0,-）,=（0,2,0）,

所以

取n=（1,0,1）.

则cos=,

因为二面角C-AB1-A1为钝角,

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-.

18.（本小题满分12分）学校设计了一个实验学科的考查方案:

考生从6道备选题中一次随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:

在抽取的3道题中,至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都为,且每题正确完成与否互不影响.

（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望;

（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大?

解:

（1）设考生甲正确完成的题目个数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,

P（ξ=1）=,

P（ξ=2）=,

P（ξ=3）=,

所以,考生甲正确完成题目个数的分布列为

ξ

1

2

3

P

所以E（ξ）=1×+2×+3×=2.

（2）设考生乙正确完成的题目个数为η,

因为η~B,

所以P（η=k）=,k=0,1,2,3,

所以E（η）=3×=2.

又因为D（ξ）=（1-2）2×+（2-2）2×+（3-2）2×,

D（η）=3×,

所以D（ξ）

又因为P（ξ≥2）==0.8,P（η≥2）=≈0.74,

所以P（ξ≥2）>P（η≥2）.

①从做对题数的数学期望来看,两人水平相当;从做对题数的方差来看,甲较稳定;

②从至少完成2题的概率来看,甲通过考查的可能性大.

因此,可以判断甲的实验操作能力强.

19.（本小题满分12分）已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1,n∈N*.

（1）求a2的值;

（2）求数列{an}的通项公式;

（3）是否存在正整数k,使ak,S2k-1,a4k成等比数列?

若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.

解:

（1）∵a1=1,an+1=2+1,

∴a2=2+1=2+1=3.

（2）方法一:

由an+1=2+1,

得Sn+1-Sn=2+1,

故Sn+1=（+1）2.

∵an>0,∴Sn>0.

∴+1.

∴数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列.

∴=1+（n-1）=n.

∴Sn=n2.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1,

又a1=1适合上式,

∴an=2n-1.

方法二:

由an+1=2+1,

得（an+1-1）2=4Sn,

当n≥2时,（an-1）2=4Sn-1,

∴（an+1-1）2-（an-1）2=4（Sn-Sn-1）=4an.

∴-2an+1-2an=0.

∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0.

∵an>0,

∴an+1-an=2.

∴数列{an}从第2项开始是以a2=3为首项,公差为2的等差数列.

∴an=3+2（n-2）=2n-1（n≥2）.

∵a1=1适合上式,

∴an=2n-1.

（3）由

（2）知an=2n-1,Sn==n2.

假设存在正整数k,使ak,S2k-1,a4k成等比数列,

则=ak·a4k.

即（2k-1）4=（2k-1）（8k-1）.

∵k为正整数,

∴2k-1≠0.

∴（2k-1）3=8k-1.

∴8k3-12k2+6k-1=8k-1.

化简得4k3-6k2-k=0.

∵k≠0,

∴4k2-6k-1=0,

解得k=,与k为正整数矛盾.

∴不存在正整数k,使ak,S2k-1,a4k成等比数列.

20.（本小题满分12分）（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,20）设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到x轴的距离是3.

（1）求抛物线的标准方程;

（2）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P,使得过点P的直线交抛物线于另一点Q,满足PF⊥QF,且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直?

并请说明理由.

解:

（1）设抛物线的方程是x2=2py（p>0）,A（xA,yA）,B（xB,yB）,

由抛物线定义可知yA+yB+p=8.

又AB中点到x轴的距离为3,所以yA+yB=6.所以p=2.

所以抛物线的标准方程是x2=4y.

（2）设P（x1,y1）,x1≠0,Q（x2,y2）,则x2=4y在P处的切线方程是y=x-y1,

直线PQ:

y=-x+2+y1代入x2=4y得x2+x-4（2+y1）=0,

故x1+x2=-,x1x2=-8-4y1,

所以x2=--x1,y2=+y1+4.

而-2y1--7=0.

则-2-7y1-4=0（y1>0）,

得（y1+1）2（y1-4）=0,

所以y1=4,存在点P（±4,4）.

21.（本小题满分12分）（2015河南商丘二模,17）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x（a∈R）.

（1）当a=时,求函数y=f（x）的单调区间;

（2）若对任意实数b∈（1,2）,当x∈（-1,b]时,函数f（x）的最大值为f（b）,求a的取值范围.

解:

（1）当a=时,f（x）=ln（x+1）+x2-x,

则f'（x）=x-1=（x>-1）,

令f'（x）>0,得-11;

令f'（x）<0,得0

所以函数f（x）的单调递增区间为（-1,0）和（1,+∞）,单调递减区间为（0,1）.

（2）由题意f'（x）=（x>-1）,

①当a≤0时,函数f（x）在（-1,0）上单调递增,在（0,+∞）上单调递减,此时,不存在实数b∈（1,2）,使得当x∈（-1,b]时,函数f（x）的最大值为f（b）.

②当a>0时,令f'（x）=0,有x1=0,x2=-1,

（ⅰ）当a=时,函数f（x）在（-1,+∞）上单调递增,显然符合题意;

（ⅱ）当-1>0,即0

在上单调递减,f（x）在x=0处取得极大值,且f（0）=0,要使对任意实数b∈（1,2）,当x∈（-1,b]时,函数f（x）的最大值为f（b）,

只需f

（1）≥0,解得a≥1-ln2,

又0

所以此时实数a的取值范围是1-ln2≤a<.

（ⅲ）当-1<0,

即a>时,函数f（x）在和（0,+∞）上单调递增,

在上单调递减,要存在实数b∈（1,2）,使得当x∈（-1,b]时,函数f（x）的最大值为f（b）,

需f≤f

（1）,

代入化简得ln2a++ln2-1≥0,*

令g（a）=ln2a++ln2-1,

因为g'（a）=>0恒成立,

故恒有g（a）>g=ln2->0,

所以a>时,*式恒成立,

综上,实数a的取值范围是[1-ln2,+∞）.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）（2015云南弥勒一模,22）如图所示,圆O的两弦AB和CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.

（1）求证:

△DEF∽△EAF;

（2）如果FG=1,