∴四边形APQC的面积不能等于172mm2.
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2（a＞0）的图象与性质
01 基础题
知识点1 二次函数y＝ax2（a>0）的图象
1．下列各点在二次函数y＝4x2图象上的点是（C）
A．（2，2）B．（4，1
）
C．（1，4）D．（－1，－4）
2．二次函数y＝3x2的图象是（B）
AB
CD
3．画二次函数y＝2x2的图象．
解：
列表：
x
…
－2
－1
－0.5
0
0.5
1
2
…
y＝2x2
…
8
2
0.5
0
0.5
2
8
…
描点、连线：
知识点2 二次函数y＝ax2（a＞0）的性质
4．二次函数y＝x2的图象的开口方向是（A）
A．向上B．向
下
C．向左D．向右
5．对于函数y＝
x2，下列结论正确的是（D）
A．当x取任何实数时，y的值总是正数
B．y的值随x的增大而增大
C．y的值随x的增大而减小
D．图象关于y轴对称
6．在同一坐标系中，作出y＝x2、y＝2x2、y＝
x2的图象，它们的共同特点是（D）
A．都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都是关于原点对称，顶点都是原点
C．都是关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都是关于y轴对称，顶点都是原点
7．如果抛物线y＝（m－1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．
8．二次函数y＝
x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．
9．画二次函数y＝
x2的图象，并回答下列问题：
（1）当x＝6时，函数值y是多少？
（2）当y＝6时，x的值是多少？
（3）当x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（4）当x>0时，y随x的增大怎样变化？
当x<0时呢？
解：
如图：
（1）当x＝6时，y＝
×62＝54.
（2）当y＝6时，
x2＝6，解得x＝±2.
（3）当x＝0时，y有最小值，最小值是0.
（4）当x>0时，y随x的增大而增大；
当x<0时，y随x的增大而减小．
02 中档题
10．已知y＝mx（m2＋1）的图象是经过第一、二象限的抛物线，则m＝（A）
A．1B．－1
C．±1D．2
11．已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（D）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y1
12．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝
x2；③y＝
x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是（B）
A．①②③B．①③②
C．②③①D．②①③
第12题图 第13题图
13．函数y＝mx2的图象如图所示，则m＞0；在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；顶点坐标是（0，0），是抛物线的最低点；函数在x＝0时，有最小值，为0．
14．已知函数y＝（m＋2）xm2＋m－4是关于x的二次函数．
（1）求满足条件的m值；
（2）m为何值时，二次函数的图象有最低点？
求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：
（1）m＝2或m＝－3.
（2）当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为（0，0），且当x>0时，y随x的增大而增大．
15．已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，请写出S与C之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．
解：
由题意，得S＝
C2（C＞0）．
列表：
C
2
4
6
8
…
S＝
C2
1
4
…
描点、连线，图象如图所示．
03 综合题
16．已知点A（2，a）在抛物线y＝x2上．
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？
若存在，写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵点A（2，a）在抛物线y＝x2上，
∴a＝22＝4.
∴A点的坐标为（2，4）．
（2）分下列3种情况：
①当OA＝OP时，点P的坐标：
P1（－2
，0），P2（2
，0）；
②当OA＝AP，点P的坐标：
（4，0）；
③当OP＝AP时，如图，过点A作AE⊥x轴于点E.在△AEP′中，AE2＋P′E2＝AP′2，设AP′＝x，则42＋（x－2）2＝x2.解得x＝5.
∴点P的坐标：
（5，0）．
综上所述：
使△OAP是等腰三角形的P点坐标为：
（－2
，0），（2
，0），（4，0），（5，0）．
第2课时 二次函数y＝ax2（a＜0）的图象与性质
01 基础题
知识点1 二次函数y＝ax2（a＜0）的图象
1．如图所示的图象对应的函数表达式可能是（B）
A．y＝
x2
B．y＝－
x2
C．y＝3x
D．y＝－
2．函数y＝－2x2，当x＞0时图象位于（D）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．画二次函数y＝－x2的图象．
解：
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝－x2
…
－9
－4
－1
0
－1
－4
－9
…
描点、连线，如图所示：
知识点2 二次函数y＝ax2（a＜0）的性质
4．抛物线y＝－3x2的顶点坐标是（D）
A．（－3，0）B．（－2，0）
C．（－1，0）D．（0，0）
5．二次函数y＝－
x2的最大值是（D）
A．x＝－
B．x＝0
C．y＝－
D．y＝0
6．若函数y＝－4x2的函数值y随x的增大而减少，则自变量x的取值范围是（A）
A．x＞0B．x＜0
C．x＞4D．x＜－4
7．抛物线y＝－2x2不具有的性质是（D）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．函数有最小值
8．两条抛物线y＝4x2与y＝－4x2在同一坐标系中，下列说法中不正确的是（D）
A．顶点坐标相同B．对称轴相同
C．开口方向相反D．都有最小值
9．二次函数y＝（2m＋1）x2的图象开口向下，则m的取值范围是m＜－
．
10．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．
抛物线
开口方向
对称轴
顶点
坐标
最值
y＝x2
向上
y轴
（0，0）
最小值0
y＝－x2
向下
y轴
（0，0）
最大值0
y＝
x2
向上
y轴
（0，0）
最小值0
y＝－
x2
向下
y轴
（0，0）
最大值0
02 中档题
11．下列说法错误的是（C）
A．二次函数y＝3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B．二次函数y＝－6x2中，当x＝0时，y有最大值0
C．抛物线y＝ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
12．（毕节中考）抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝
x2共有的性质是（B）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．都有最低点
D．y随x的增大而减小
13．已知点A（－1，y1），B（－
，y2），C（－2，y3）在函数y＝－x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（A）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3
14．（长沙中考）函数y＝
与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（D）
15．已知抛物线y＝ax2经过点（1，－3）．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
解：
（1）∵抛物线y＝ax2经过点（1，－3），
∴a×1＝－3.∴a＝－3.
（2）把x＝3代入抛物线y＝－3x2，得
y＝－3×32＝－27.
（3）抛物线的开口向下；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而减小；抛物线的图象有最高点，当x＝0时，y有最大值，是y＝0等．
16．已知抛物线y＝kxk2＋k中，当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求k的值；
（2）作出函数的图象．
解：
（1）∵抛物线y＝kxk2＋k中，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴
解得k＝－2.
∴函数的表达式为y＝－2x2.
（2）列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y＝－2x2
…
－8
－2
0
－2
－8
…
描点、连线，画出函数图象如图所示．
03 综合题
17．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，如图所示，其中A（－1，－1），求△OAB的面积．
视频讲解
解：
∵点A（－1，－1）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，也在直线y＝kx－2上，
∴－1＝a·（－1）2，－1＝k·（－1）－2.
解得a＝－1，k＝－1.
∴两函数的表达式分别为y＝－x2，y＝－x－2.
由
解得
∴点B的坐标为（2，－4）．
∵y＝－x－2与y轴交于点G，则G（0，－2）．
∴S△OAB＝S△OAG＋S△OBG＝
×（1＋2）×2＝3.
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象与性质
01 基础题
知识点1 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象的平移
1．（上海中考）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的表达式是（C）
A．y＝x2－1B．y＝x2＋1
C．y＝（x－1）2D．y＝（x＋1）2
2．（海南中考）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x＋2）2，则这个平移过程正确的是（A）
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
知识点2 画二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象
3．已知二次函数y＝－
（x＋1）2.
（1）完成下表；
x
…
－7
－5
－3
－1
1
3
5
…
y
…
－9
－4
－1
0
－1
－4
－9
…
（2）在下面的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
解：
（1）如表．
（2）如图所示．
知识点3 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象与性质
4．对称轴是x＝1的二次函数是（D）
A．y＝x2B．y＝－2x2
C．y＝（x＋1）2D．y＝（x－1）2
5．在函数y＝（x＋1）2中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为（C）
A．x＞－1B．x＞1
C．x＜－1D．x＜1
6．（沈阳中考改编）在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x－2）2（a≠0）的图象可能是（D）
7．对于抛物线y＝
（x＋4）2，下列结论：
①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝4；③顶点坐标为（－4，0）；④x＞－4时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（B）
A．1B．2C．3D．4
8．
（1）抛物线y＝3（x－1）2的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，0）；
（2）抛物线y＝－3（x－1）2的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，0）．
9．抛物线y＝－（x＋3）2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小．
10．如果二次函数y＝a（x＋3）2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0.
11．已知抛物线y＝2x2和y＝2（x－1）2，请至少写出两条它们的共同特征．
解：
答案不唯一，如：
开口方向相同，开口大小相同，顶点均在x轴上等．
02 中档题
12．抛物线y＝－3（x＋1）2不经过的象限是（A）
A．第一、二象限B．第二、四象限
C．第三、四象限D．第二、三象限
13．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a（x＋c）2的图象大致为（B）
14．已知A（－4，y1），B（－3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝－2（x＋2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y315．若函数y＝a（x＋m）2的图象是由函数y＝5x2的图象向左平移
个单位长度得到的，则a＝5，m＝
.
16．某一抛物线和y＝－3x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标是（－1，0），则此抛物线的表达式是y＝－3（x＋1）2.
17．已知二次函数y＝2（x－1）2.
（1）当x＝2时，函数值y是多少？
（2）当y＝4时，x的值是多少？
（3）当x在什么范围内时，随着x值的增大，y值逐渐增大？
当x在什么范围内时，随着x值的增大，y值逐渐减少？
（4）这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？
这时x的值是多少？
解：
（1）当x＝2时，y＝2×（2－1）2＝2.
（2）当y＝4时，2（x－1）2＝4，解得x＝1±
.
（3）当x>1时，随着x值的增大，y值逐渐增大；
当x<1时，随着x值的增大，y值逐渐减小．
（4）这个函数有最小值，最小值是0，这时x＝1.
18．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x－1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x－1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
解：
（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x－1）2上的点，∴a＝a（m－1）2.解得m＝2或m＝0.
∵点P在第一象限内，∴m＝2.
（2）∵a的值为3，
∴二次函数的表达式为y＝3（x－1）2.
∵点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y＝3（x－1）2＝3.
∴点P的坐标为（2，3）．
∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x－1）2于点Q，
∴3＝3（x－1）2.解得x＝2或x＝0.
∴点Q的坐标为（0，3）．∴PQ＝2.
∴S△PQO＝
×3×2＝3.
03 综合题
19．已知一条抛物线y＝a（x－h）2的顶点与抛物线y＝－（x－2）2的顶点相同，且与直线y＝3x－13的交点A的横坐标为3.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）把这条抛物线向右平移4个单位长度后，求所得的抛物线的表达式．
解：
（1）由题意可知：
A（3，－4）．
∵抛物线y＝a（x－h）2的顶点与抛物线y＝－（x－2）2的顶点相同，
∴h＝2.
由题意，把点A的坐标（3，－4）代入y＝a（x－2）2，得－4＝a（3－2）2.
∴a＝－4.
∴这条抛物线的表达式为y＝－4（x－2）2.
（2）把抛物线y＝－4（x－2）2向右平移4个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y＝－4（x－6）2.
第4课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象与性质
01 基础题
知识点1 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象的平移
1．（成都中考）将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（A）
A．y＝（x＋2）2－3B．y＝（x＋2）2＋3
C．y＝（x－2）2＋3D．y＝（x－2）2－3
2．抛物线y＝－3（x－2）2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是（C）
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
知识点2 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象与性质
3．（呼伦贝尔中考）二次函数y＝（x＋2）2－1的图象大致为（D）
4．（湘潭中考）抛物线y＝2（x－3）2＋1的顶点坐标是（A）
A．（3，1）B．（3，－1）
C．（－3，1）D．（－3，－1）
5．抛物线y＝－（x＋2）2－5的图象上有两点A（－4，y1），B（－3，y2），则y1，y2的大小关系是（C）
A．y1＞y2B．y1＝y2
C．y1＜y2D．不能确定
6．（哈尔滨中考）二次函数y＝2（x－3）2－4的最小值为－4．
7．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－4（x＋3）2＋5
向下
直线x＝－3
（－3，5）
y＝3（x＋1）2－2
向上
直线x＝－1
（－1，－2）
y＝（x－5）2－7
向上
直线x＝5
（5，－7）
y＝－2（x－2）2＋6
向下
直线x＝2
（2，6）
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