高考数学第十一章 概率 第3讲 几何概型.docx

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高考数学第十一章概率第3讲几何概型

第3讲　几何概型

一、选择题

1．在区间[－2,3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为

（　　）

A.B.C.D.

解析　在区间[－2,3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为P＝.

答案　B

2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是

（　　）

A.B．πC．2πD．3π

解析　设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得＝，则S＝3π.

答案　D

3．（2015·山东卷）在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为

（　　）

A.B.C.D.

解析　由－1≤log≤1，

得≤x＋≤2，

解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的

概率为＝，故选A.

答案　A

4．（2017·陕西师大附中检测）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）

A.B.C.D.

解析　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P（A）＝＝＝.

答案　B

5．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为

（　　）

A.B．1－C.D．1－

解析　设“点P到点O的距离大于1”为事件A.

则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部．

∴V正方体＝23＝8，V半球＝π·13×＝π.

∴P（A）＝＝1－.

答案　B

6．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为

（　　）

A.B.

C.D.

解析　

如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE（不包含B，E点）上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF（不包含C，F点）上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.

答案　C

7．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（　　）

A.B.

C.D.

解析　

如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.故选D.

答案　D

8．（2017·华师附中联考）在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为

（　　）

A.B.

C.D.

解析　

由x，y∈[0,4]知（x，y）构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分．

易知A（4,2），S正方形＝16，

S阴影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.

答案　D

9．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是

（　　）

A.B.C.D.

解析　当点P到底面ABC的距离小于时，

VP－ABC＜VS－ABC.

由几何概型知，所求概率为P＝1－3＝.

答案　A

10．设复数z＝（x－1）＋yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为

（　　）

A.＋πB.＋C.－D.－

解析　

因为复数z＝（x－1）＋yi（x，y∈R）且|z|≤1，所以|z|＝≤1，即（x－1）2＋y2≤1，

即点（x，y）在以（1,0）为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y＝x左上方的部分（图中阴影弓形），所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，

即P＝＝－.

答案　D

二、填空题

11．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m.

当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．

当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.

答案　3

12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．

解析　因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，故所求概率为＝.

答案　

13．（2016·山东卷）在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为________．

解析　直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交的充要条件是圆心（5,0）到直线y＝kx的距离小于3.

则＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率P＝＝.

答案　

14．（2017·唐山模拟）如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________．

解析　顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于（）2－4＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于＝－1.

答案　－1

15．在区间[－1,4]内取一个数x，则2x－x2≥的概率是

（　　）

A.B.C.D.

解析　由2x－x2≥，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.

∴所求事件的概率P＝＝.

答案　D

16．如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为

（　　）

A.B.

C.D.

解析　根据几何概型公式，小于3km的圆环面积为π（32－22）＝5π；圆环总面积为π（42－22）＝12π，所以点P与点O的距离小于3km的概率为P（A）＝＝.

答案　B

17．已知平面区域D＝{（x，y）|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx（k∈R）下方的概率为

（　　）

A.B.C.D.

解析　由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.

答案　A

18．（2017·合肥质检）在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈的概率为

（　　）

A.B.C.D.

解析　由0≤sinx≤，且x∈[0，π]，

解之得x∈∪.

故所求事件的概率P＝＝.

答案　C

19．（2017·成都诊断）如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为

（　　）

A.B.C.D.

解析　∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝＝.

答案　B

20．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为

（　　）

A.B.C.D.

解析　V圆柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，＝，故点P到O的距离大于1的概率为.

答案　A

21．（2015·湖北卷）在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则

（　　）

A．p1

C.

解析　（x，y）构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤的区域如图1中阴影部分所示，所以p1＝＝，满足xy≤的区域如图2中阴影部分所示，所以p2＝＝＞，

所以p1＜＜p2，故选D.

答案　D

22．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为

（　　）

A．1－B．1－

C．1－D．1－

解析　

由函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝（2a2）－4（－b2＋π2）≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，（a，b）可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为

Ω＝{（a，b）|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝（2π）2＝4π2.

事件A表示函数f（x）有零点，

所构成的区域为M＝{（a，b）|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，

故P（A）＝＝＝1－.

答案　B

23．（2017·安徽江南名校联考）AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是________．

解析　依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于＝，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.

答案　

24．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．

解析　由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.

答案　

25．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

解析　∵去看电影的概率P1＝＝，

去打篮球的概率P2＝＝，

∴不在家看书的概率为P＝＋＝.

答案　

26．随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为________．

解析　由0＜y＜（a＞0）．

得（x－a）2＋y2＜a2.

因此半圆域如图所示．

设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于”，由几何概型的概率计算公式得P（A）＝＝＝＋.

答案　＋