八年级数学第三章 第56节 它们是怎样变过来的简单的图案设计北师大版知识精讲.docx

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八年级数学第三章第56节它们是怎样变过来的简单的图案设计北师大版知识精讲

初二数学第三章第5－6节它们是怎样变过来的；简单的图案设计北师大版

【本讲教育信息】

一、教学内容

图案的分析与设计

1、图形之间一般变换关系的基本类型

2、利用各种变换关系观察图形的形成

3、简单的图案设计

二、教学目标

1、探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）

2、了解图案最常见的构图方式：

轴对称、平移、旋转……，理解简单图案设计的意图。

3、认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用，能够灵活运用轴对称、平移、旋转的组合，设计出简单的图案。

三、知识要点分析

1、图形之间一般变换关系的基本类型

（这是重点）①平移变换；②旋转变换；③轴对称变换；④以上三种变换之间的组合。

（可以两两组合，也可以三种变换同时组合）

各类基本变换的分析要点

①平移变换：

分析变换的次数与变换的方向和距离。

②旋转变换：

分析变换的次数与变换的旋转中心、旋转方向和旋转角度。

③轴对称：

分析以某条直线为对称轴进行轴对称变换。

2、利用各种变换关系观察图形的形成

（这是重难点）这里所说的利用各种变换关系观察图形的形成，主要是指从平移、旋转、轴对称这三种变换进行分析，以下面的图案为例来进行说明。

3、简单的图案设计（这是重、难点）

图案设计除了上述所使用的变换类型和一般过程外，还需明确两点：

一是图案设计是一个开放性问题，答案往往不唯一；二是判断一个图案设计的好坏，除了看是否正确使用了图形变换，还要看图案是否很好地体现了设计意图，设计意图是否独具创意，寓意深刻.能够灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的形成分析和图案设计.

平移：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离.平移不改变图形的形状和大小；旋转：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度.旋转不改变图形的形状和大小.

【典型例题】

考点一：

图案的分析

例1.如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过_________次旋转而得到，每一次旋转_______度.

【思路分析】所给图案由五个下面这样的基本图形构成，故基中的一个基本图案若想通过旋转得到另外四个，要旋转4次，每一次都要旋转360°÷5＝72°.

解：

4，72

方法与规律：

本题主要考查的是旋转变换，根据题目中所给的基本图形的形状，可以确定构成图案的基本图形的个数，根据基本图形的个数可以确定旋转的次数及旋转角。

例2.街心公园有一个正方形的花池，种着白牡丹和红玫瑰两种花，摆成如图的图案，阴影部分是红玫瑰，空白部分是白牡丹，请分析这个图案形成的过程.

【思路分析】当一个图案的形成有多种情况时，在解答时一般取较简捷的形成方法.

解：

方法一：

首先找出该图案的竖直、水平方向的对称轴把图案分成四个全等的部分，以其中的一部分为“基本图案”，以正方形的中心为旋转中心，分别旋转90°、180°、

270°前后的图形共同组成该图案。

规律与方法：

图形是经过怎样的变换得到的，关键是明确各种变换的特征，再结合图形中的位置去整体考虑.

方法二：

以水平方向的对称轴将原图案分成上、下两个全等的部分，作上半部分图案关于对称轴的轴对称图案，前后的图形共同组成该图案.

规律与方法：

建立这样一个思考的顺序：

先看图形是否是单一变换的产物，如果判断清楚不是，那就考虑哪些通过一次变换就能变成使它们的部分对应元素重合的图形.在这个基础上，一般就不难发现再经过怎样的变换，就可以使另外的对应元素也重合.问题也就解决了.

例3.如图，如果在正八边形硬纸板上剪下一个三角形（如图①中的阴影部分），那么图②，图③，图④中的阴影部分，均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到.要得到图②，图③，图④中的阴影部分，依次进行的变换不可行的是（　　）

A.平移、对称、旋转B.平移、旋转、对称

C.平移、旋转、旋转D.旋转、对称、旋转.

【思路分析】看位置关系，注意阴影三角形的位置的不同之处，思考可以通过什么变换得到.

解：

D

规律与方法：

判断图形是经过怎样的变换得到的，关键是明确各种变换的特征，再结合图形中的位置去整体考虑.

考点二：

图案的设计

例4.如图，花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成，仿照例图，请你为班级黑板报设计一条花边，要求：

（1）只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需配文字；

（2）以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出；

（3）图案应有美感；

（4）与例图不同.

【思路分析】此题答案不唯一，但是所作图形必须同时具备以上四个条件.

解：

规律与方法：

个人欣赏角度不同，作出的图案也是不相同的，在满足题目的条件下，可以任意发挥自己的想象力和创造力，设计出与众不同的图案.

例5.将底边水平放置的等腰三角形沿底边的垂直平分线分别向上、向下平移1厘米，得到一组等腰三角形，连同垂直平分线形成的图案你能给出它的含义吗？

将得到的图案作为“基本图案”作两次适当的平移形成一组图案.这一组图案又有什么意义呢？

【思路分析】先根据要求画出图形，然后对图形进行适当的变形.观察图案的角度不同，想法也会不同，因此得到的答案也不同，但要遵循的原则是所给含义应该是健康的、积极向上的、与社会热点相关的，例如从环保、节能等方面来考虑。

解：

答案不唯一，举例如下：

含义：

大树底下好乘凉含义：

保护环境，人人有责

考点三：

拓展应用

例6.如图

（1），可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的？

每次旋转了多少度？

事实上这类图形都有这样一个特点：

它们绕着某一定点转动一定的角度α（0°＜α≤180°）后，都能与自身重合，我们称这种图形为旋转对称图形.如图

（1）绕中心旋转60°后，能与自身重合，而且绕中心旋转120°或180°后，都能与自身重合，因而该图形是旋转对称图形.正三角形如图

（2）所示，它是旋转对称图形吗？

为什么？

【思路分析】判断所给图形是否是旋转对称图形，关键是看它绕着某一定点转动一定的角度后，能否与自身重合.

解：

正三角形是旋转对称图形.理由为正三角形绕它的中心旋转120°，能够与原来的正三角形重合.所以正三角形是旋转对称图形.

规律与方法：

此题属于阅读理解题，解决此类问题的关键是理解题目中所给的旋转对称图形的概念，然后用我们所熟悉的知识进行求解.

【本讲涉及的数学思想和方法】

本讲主要讲述了图案的分析与设计。

若想对图案进行正确的分析，就要从三种基本的变换入手：

平移、旋转、轴对称。

这就要求对比这三种变换的区别与联系，故运用了类比的数学思想。

同学们在解决相同的问题时，要注意思想方法的应用。

预习导学案

（平行四边形的性质与判定）

（一）预习前知

1、什么是平行四边形？

平行四边形具有哪些性质？

2、如何判定一个四边形是平行四边形？

3、什么是两平行线间的距离？

（二）预习导学

探究与反思

探究任务1：

平行四边形的性质

1、对于平行四边形的性质可以从边、角、对角线三个方面来探究。

【反思】

（1）平行四边形的对边_______.

（2）平行四边形的对角线_______.

（3）平行四边形的对角______，邻角______.

探究任务2：

平行四边形的判定

2、判断四边形是平行四边形的方法不唯一，可以从角、边、对角线三个方面来考虑。

【反思】根据定义，_________的四边形是平行四边形；

两组对边________的四边形是平行四边形；

两组对边_______的四边形是平行四边形；

一组对边_______的四边形是平行四边形；

对角线________的四边形是平行四边形；

两组对角_______的四边形是平行四边形.

（三）牛刀小试

1、若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________.

2、已知：

平行四边形一边AB=12cm，它的长是周长的

，则BC=______cm，CD=______cm.

3、如图，在

ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，图中全等三角形共有对.

4、如图，如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m的取值范围是_____.（运用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来解此题）

5、□ABCD中，若∠A∶∠B=1∶3，那么∠A=________，∠B=________，∠C=________，∠D=________.

6、四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）

A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°

C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°

【模拟试题】（满分100分，答题时间：

60分钟）

一、认认真真选（每小题4分，共36分）

﹡1.如图，可以看作是由一个基本图案通过旋转所得，则旋转的次数与每次旋转的度数为（）

A.8次，45°B.8次，90°C.4次，90°D.3次，90°

﹡2.对“龟兔赛跑”的故事图案的形成过程叙述不正确的是（）

A.它可以看作是由一个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的.

B.它可以看作是由上面三个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的.

C.它可以看作是由相邻两个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的.

D.它可以看作是由左侧两个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的.

﹡3.观察如图所示的图案，它可以看作（）“基本图案”通过（）得到的

A.图形的三分之一，平移B.图形的四分之一，平移

C.图形的三分之一，旋转D.图形的四分之一，旋转

﹡4.如图，要将甲图变成乙图，可经过的变换正确的是（）

A.旋转、平移B.平移、轴对称

C.旋转、轴对称D.平移、旋转

﹡5.

依次观察左边的三个图形，并判断照此规律从左向右第四个图形是图中的（）

﹡6.下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）

A.B.C.D.

7.图案（A）－（D）中能够通过平移图案

（1）得到的是（）

（1）A.B.C.D.

﹡﹡8.对图案的形成过程叙述正确的是（）.

A.它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转90°、180°、270°形成的

B.它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置旋转180°形成的

C.它可以看作是相邻两只小狗绕图案的恰当的对称轴翻折而成的

D.它可以看作是左侧、上面的小狗分别向右侧、下方平移得到的

9.如图，“三钻”牌商标的图案形成，可把其中一个“钻石”看作“基本图案”，经过的变换为（）

A.只需旋转B.只需平移C.只需对称D.对称和旋转

二、沉着冷静耐心填（每小题4分，共28分）

10.广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等.

﹡11.将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是_______.

﹡12.国际奥委会会旗上的五环图案可以看作由一个基本图案______经过______运动而得到.

﹡13.如图，若把其中的一个等腰三角形及其所对的弓形共同组成“基本图案”，那么，由“基本图案”以O为中心旋转，分别旋转______度前后的图形共同组成本图案.

﹡14.下图中，甲图经过______变成乙图.

﹡15.如图的四个平面图形中可以看作部分“基本图形”绕某定点旋转180o后，旋转前后得到的，同时又是轴对称图形的是_____（注：

把你认为正确的图形的序号都填上）

16.如图所示，图形

（1）经过_______变换变成图形

（2），图形

（2）经过________变换变成图形（3），图形（3）经过______变换变成图形（4）。

三、神机妙算用心做（共36分）

﹡17.（本题8分）下图是两个全等的直角三角形，请问怎样将△BCD变成△EAB？

18.（本题8分）下列两幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？

（1）

（2）

﹡19.（本题10分）如图，已知△ABC与△DEF是全等三角形，那么由△ABC怎样变化才能得出△DEF？

﹡﹡20.（本题10分）请充分发挥你的想象力，任意设计一个有意义的图案，将图案画在下面的空白处，并根据你的设计给出含义。

试题答案

1.D【思路分析】所给图案可以看作是由下图所示的4个这样的基本图案构成，故可以看作是由其旋转三次，每次旋转360°÷4＝90°得到的。

2.C【思路分析】C选项中，若是左上两个相邻的龟兔图案作为“基本图案”，则其经过平移不能得到最下面的两组龟兔图案，故C选项不正确。

3.D【思路分析】由于图形由空白部分和阴影部分组成，故可以将图案看作是由以下所示的4个基本图案构成，故图案是由图形的四分之一经过旋转得到的。

本题答案是D。

4.C【思路分析】将甲图通过旋转进行“扶直”，然后通过轴对称可得到乙图。

本题答案是C。

5.D【思路分析】可以发现图形依次绕图形的中心按顺时针旋转72°，故第四个图形是由第三个图形按顺时针旋转72°得到的，本题答案是D。

6.B【思路分析】360°÷45°=8，说明所给图案是由8个基本图案构成，所以本题答案是B.

﹡7.B【思路分析】

（1）经过平移，可与B重合，故本题答案是B.

8.D【思路分析】根据三种变换的特征，用排除法进行求解.

9.B【思路分析】只需将其中一个“钻石”看作“基本图案”，通过两次平移即可得到另外两个钻石，本题答案是B.

10.旋转【思路分析】三种常见的图形变换是指；轴对称、平移、旋转。

11.圆【思路分析】点A所经过的路线是以点O为圆心，以A到O的距离为半径的圆。

12.圆环，四次平移【思路分析】五环图案是由五个大小完全一样的圆环构成的，可由一个圆环经过平移从而得到其他四个。

13.72°、144°、216°、288°【思路分析】所给图案是由五个基本图案构成的，一个基本图案旋转360°÷5＝72°，可得到与其相邻的基本图案，旋转72°×2＝144°，可得下一个基本图案，由此可以确定本题的答案。

14.旋转、平移【思路分析】先通过旋转将甲图“扶直”，然后再向右平移可得到乙图。

15.②④【思路分析】只有②、④可以看作部分“基本图形”绕某定点旋转180o后，旋转前后得到的，并且两图案都是轴对称图形。

16.平移，轴对称，旋转【思路分析】

（1）向右平移可得

（2），

（2）经过轴对称可得图形（3），（3）经过按顺时针旋转90°可得到（4）。

17.△DCB先以C为旋转中心逆时针旋转90°，然后再向右平移，使点C与A重合【思路分析】只经过一种变换，△BCD无法变成△EAB，在解决此类问题时，要从三种基本的变换入手，一种变换不行，则分析两种变换或三种变换。

18.

（1）可看作由一个基本图案“A”向右平移得到的；也可以看作由基本图案两个“A”向右平移得到的；还可以看作由基本图案三个“A”向右平移得到的，基本图案不同，平移的次数则不同。

（2）可看作由如下的基本图案向右平移得到的。

【思路分析】基本图案不同，则平移的次数也不同，得到的答案也就不相同。

19.已知△ABC与△DEF是全等三角形，△DEF可以看成是△ABC先绕B点旋转180°，然后再沿BC方向平移得出的；或看成是△ABC先沿BC方向平移然后再绕B点旋转

得出.

【思路分析】只经过一种变换，△ABC无法变成△DEF，在解决此类问题时，要从三种基本的变换入手，一种变换不行，则分析两种变换或三种变换。

20.答案不唯一，只要能画出图案，并根据图案写出含义即可。

举例如下：

含义：

我爱大风车

【思路分析】设计图案的角度不同，所用的变换不同，会得出不同的答案。

在设计图案时，可以充分考虑三种变换，以达到学以致用的目的。