第一章集合与常用逻辑用语13.docx

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第一章集合与常用逻辑用语13

第一章集合与常用逻辑用语

课时跟踪检测

（一）　集　合（3）

第Ⅰ组：

全员必做题

1．（2014·哈尔滨四校统考）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，xy∈A}，则B的所有真子集的个数为（　　）

A．512　　　　　　　　　B．256

C．255D．254

2．（2013·佛山一模）设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,4}B．{2,4}

C．{2,5}D．{1,5}

3．（2013·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－

＜x＜

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD.A⊆B

4．（2014·太原诊断）已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln（x－2）}，则（∁RB）∩A＝（　　）

A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}

C．{x|1

5．（2013·郑州质检）若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

6．（2014·湖北八校联考）已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|（a－2）（a2－3）＝0，a∈M}，则集合A的子集共有（　　）

A．1个B．2个

C．4个D．8个

7．（2014·江西七校联考）若集合P＝{x|3

A．（1,9）B．[1,9]

C．[6,9）D．（6,9]

8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝（　　）

A．{x|0

C．{x|1≤x<2}D．{x|2≤x<3}

9．已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝

，则∁UA＝________.

10．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．

11．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，则m＝________.

12．设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．

第Ⅱ组：

重点选做题

1．设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，求实数a的取值范围．

2．已知集合A＝

，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

（1）求集合A；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

答案

第Ⅰ组：

全员必做题

1．选C　由题意知当x＝1时，y可取1,2,3,4；当x＝2时，y可取1,2；当x＝3时，y可取1；当x＝4时，y可取1.综上，B中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.

2．选B　由题意易得U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以∁U（A∪B）＝{2,4}．故选B.

3．选B　集合A＝{x|x＞2或x＜0}，

所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－

＜x＜

}＝R.

4．选C　集合A＝{x|12}，

则（∁RB）∩A＝{x|1

5．选B　∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，

A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或

或－

或1.

经检验当x＝

或－

时满足题意．

6．选B　|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，

（a－2）·（a2－3）＝0⇒a＝2或a＝±

（舍），即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个．

7．选D　依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是

解得6

8．选B　由log2x<1，得0

9．解析：

因为A＝

，

当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；

n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；

n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；

n≤－2时，x∉Z.

故A＝{－2,2,1，－1}，

又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．

答案：

{0}

10．解析：

∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，

即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案：

（－∞，1]

11．解析：

A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－

.

答案：

0,1，－

12．解析：

∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.

答案：

7

第Ⅱ组：

重点选做题

1．解：

A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，函数y＝f（x）＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a＞0，f（－3）＝6a＋8＞0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f

（2）≤0且f（3）＞0，即

所以

即

≤a＜

.故实数a的取值范围为

.

2．解：

（1）解不等式log

（x＋2）>－3得：

－2

解不等式x2≤2x＋15得：

－3≤x≤5.②

由①②求交集得－2

即集合A＝（－2,5]．

（2）当B＝∅时，m＋1>2m－1，解得m<2；

当B≠∅时，由

解得2≤m≤3，

故实数m的取值范围为（－∞，3]．

课时跟踪检测

（二）　命题及其关系、充分条件与必要条件

第Ⅰ组：

全员必做题

1．设集合M＝{x|0

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．（2013·潍坊模拟）命题“若△ABC有一内角为

，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（　　）

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

3．（2013·乌鲁木齐质检）“a>0”是“a2＋a≥0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（2013·潍坊模拟）命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A．a≥4B．a≤4

C．a≥5D．a≤5

5．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

6．（2013·江西七校联考）已知条件p：

x≤1，条件q：

<1，则綈p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．即非充分也非必要条件

7．（2014·日照模拟）已知直线l1：

x＋ay＋1＝0，直线l2：

ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为（　　）

A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行

C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行

8．在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，真命题的个数记为f（p），已知命题p：

“若两条直线l1：

a1x＋b1y＋c1＝0，l2：

a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f（p）等于（　　）

A．1B．2

C．3D．4

9．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是________．

10．（2013·南京模拟）有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<4，则－2

其中真命题的序号是________．

11．下列命题：

①若ac2>bc2，则a>b；

②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

12．已知α：

x≥a，β：

|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

第Ⅱ组：

重点选做题

1．已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

2．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．

答案

第Ⅰ组：

全员必做题

1．选B　M＝{x|0

2．选D　原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为

”，它是真命题．

3．选A　a>0⇒a2＋a≥0；反之a2＋a≥0⇒a≥0或a≤－1，不能推出a>0，选A.

4．选C　命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞）的真子集，正确选项为C.

5．选A　对于A，其逆命题是：

若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：

若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：

若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．

6．选A　由x>1得

<1；反过来，由

<1不能得知x>1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.

7．选A　命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”．

8．选B　原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：

若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f（p）＝2.

9．解析：

否命题既否定题设又否定结论．

答案：

若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数

10．解析：

①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．

②原命题的逆命题为：

“x，y互为相反数，

则x＋y＝0”正确．

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．

答案：

②③

11．解析：

对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°⇒/30°＝150°，

所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，

所以③正确；④显然正确．

答案：

①③④

12．解析：

α：

x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，

∵β：

|x－1|<1，∴0

∴β可看作集合B＝{x|0

又∵α是β的必要不充分条件，

∴BA，∴a≤0.

答案：

（－∞，0]

第Ⅱ组：

重点选做题

1．解：

y＝x2－

x＋1＝

2＋

，

∵x∈

，∴

≤y≤2，

∴A＝

.

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

，

故实数m的取值范围是

∪

.

2．解：

因为“A∩B＝∅”是假命题，

所以A∩B≠∅.

设全集U＝{m|Δ＝（－4m）2－4（2m＋6）≥0}，

则U＝

.

假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有

，⇒

⇒m≥

.

又集合

关于全集U的补集是

{m|m≤－1}，

所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．

课时跟踪检测（三）　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第Ⅰ组：

全员必做题

1．将a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2改写成全称命题是（　　）

A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2

B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2

C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2

D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2

2．（2013·湖北八校联考）已知命题p：

所有指数函数都是单调函数，则綈p为（　　）

A．所有的指数函数都不是单调函数

B．所有的单调函数都不是指数函数

C．存在一个指数函数，它不是单调函数

D．存在一个单调函数，它不是指数函数

3．如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则（　　）

A．命题“綈p∨q”是假命题　B．命题“p∨q”是假命题

C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题

4．（2014·湖北八校联考）已知命题p：

m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α；命题q：

若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p或q　　B．綈p或q　　C．綈p且q　　D．p且q

5．（2014·深圳调研）下列命题为真命题的是（　　）

A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件

C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x<－1，则x2－2x－3≤0”

D．已知命题p：

∃x0∈R，使得x

＋x0－1<0，则綈p：

∀x∈R，使得x2＋x－1>0

6．（2013·东北四市调研）已知命题p1：

存在x0∈R，使得x

＋x0＋1<0成立；p2：

对任意x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是（　　）

A．（綈p1）∧（綈p2）B．p1∨（綈p2）

C．（綈p1）∧p2D．p1∧p2

7．下列命题中是真命题的为（　　）

A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠1”

B．命题p：

∃x0∈R，sinx0>1，则綈p：

∀x∈R，sinx≤1

C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题

D．“φ＝

＋2kπ（k∈Z）”是“函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数”的充要条件

8．已知命题p：

“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：

“∃x0∈R，使得x

＋2ax0＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，－2]B．（－2,1）

C．（－∞，－2]∪{1}D．[1，＋∞）

9．已知命题p：

“∀x∈N*，x>

”，命题p的否定为命题q，则q是“______”；q的真假为________（填“真”或“假”）．

10．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

11．已知命题p：

∃a0∈R，曲线x2＋

＝1为双曲线；命题q：

x2－7x＋12<0的解集是{x|3

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．

12．下列结论：

①若命题p：

∃x0∈R，tanx0＝2；命题q：

∀x∈R，x2－x＋

>0.则命题“p∧（綈q）”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：

“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．

其中正确结论的序号为________．（把你认为正确结论的序号都填上）

第Ⅱ组：

重点选做题

1．命题p：

∀x∈（1，＋∞），函数f（x）＝|log2x|的值域为[0，＋∞）；命题q：

∃m≥0，使得y＝sinmx的周期小于

，试判断p∨q，p∧q，綈p的真假性．

2．已知c>0，设命题p：

函数y＝cx为减函数．命题q：

当x∈

时，函数f（x）＝x＋

>

恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．

答案

第Ⅰ组：

全员必做题

1．选D　全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2对于全体实数都成立，故选D.

2．选C　命题p：

所有指数函数都是单调函数，则綈p为：

存在一个指数函数，它不是单调函数．

3．选C　由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.

4．选B　命题q：

若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：

m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有綈p或q为真命题．

5．选B　对于A，“p真q假”时p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故C错；对于D，綈p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，故D错．

6．选C　∵方程x

＋x0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，

∴x

＋x0＋1<0无解，故命题p1为假命题，

綈p1为真命题；

由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.

∴对任意x∈[1,2]，x2－1≥0，

故命题p2为真命题，綈p2为假命题．

∵綈p1为真命题，p2为真命题，

∴（綈p1）∧p2为真命题，选C.

7．选B　对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”，A错误；由全称命题的否定是特称命题知，B正确；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q为假命题，故C错误；函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数的充要条件为φ＝

＋kπ（k∈Z），故D错误．

8．选C　若p是真命题，即a≤（x2）min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命题，即x

＋2ax0＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4（2－a）≥0，

即a≥1或a≤－2.命题“p∧q”是真命题，

则p是真命题，q也是真命题，

故有a≤－2或a＝1.

9．解析：

q：

∃x0∈N*，x0≤

，

当x0＝1时，x0＝

成立，故q为真．

答案：

∃x0∈N*，x0≤

　真

10．解析：

当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知

得－8≤a<0.综上，－8≤a≤0.

答案：

[－8,0]

11．解析：

因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题．

答案：

①②③④

12．解析：

在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧（綈q）”是假命题是正确的．在②中l1⊥l2⇔a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：

“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．

答案：

①③

第Ⅱ组：

重点选做题

1．解：

对于命题p，当f（x）＝|log2x|＝0时，log2x＝0，即x＝1,1∉（1，＋∞），故命题p为假命题．对于命题q，y＝sinmx的周期T＝

<

，即|m|>4，故m<－4或m>4，故存在，m≥0，使得命题q成立，所以p且q为假命题．故p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为真命题．

2．解：

由命题p为真知，0

由命题q为真知，2≤x＋

≤

，

要使此式恒成立，需

<2，即c>

，

若p或q为真命题，p且q为假命题，

则p、q中必有一真一假，当p真q假时，

c的取值范围是0

；

当p假q真时，c的取值范围是c≥1.

综上可知，c的取值范围是

.