尖子生专训3相交线平行线含答案.docx
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尖子生专训3相交线平行线含答案
尖子生专训3相交线平行线答案
1.长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°
(1)求a、b的值;
(2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?
若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.
解:
(1)∵a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0,∴a﹣3b=0,且a+b﹣4=0,∴a=3,b=1;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
①当0<t<60时,3t=(20+t)×1,解得t=10;
②当60<t<120时,3t﹣3×60+(20+t)×1=180°,解得t=85;
③当120<t<160时,3t﹣360=t+20,解得t=190>160,(不合题意)综上所述,当t=10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;
(3)设A灯转动时间为t秒,
∵∠CAN=180°﹣3t,∴∠BAC=45°﹣(180°﹣3t)=3t﹣135°,又∵PQ∥MN,∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t,
而∠ACD=90°,∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣(180°﹣2t)=2t﹣90°,∴∠BAC:
∠BCD=3:
2,即2∠BAC=3∠BCD.
2.如图1,MN∥PQ,直线AD与MN、PQ分别交于点A、D,点B在直线PQ上,过点B作BG⊥AD,垂足为G.
(1)求证:
∠MAG+∠PBG=90°;
(2)若点C在线段AD上(不与A、D、G重合),连接BC,∠MAG和∠PBC的平分线交于点H,请在图2中补全图形,猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系;
(3)若直线AD的位置如图3所示,
(2)中的结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请直接写出∠CBG与
∠AHB的数量关系.
解:
(1)如图1,∵MN∥PQ,∴∠MAG=∠BDG,∵∠AGB是△BDG的外角,BG⊥AD,
∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°,∴∠MAG+∠PBG=90°;
(2)2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°,证明:
①如图,当点C在AG上时,
∵MN∥PQ,∴∠MAC=∠BDC,∵∠ACB是△BCD的外角,∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC,
∵AH平分∠MAC,BH平分∠DBC,∴∠MAC=2∠MAH,∠DBC=2∠DBH,∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH),
同理可得,∠AHB=∠MAH+∠DBH,∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)=2∠AHB,
又∵∠ACB是△BCG的外角,∴∠ACB=∠CBG+90°,∴2∠AHB=∠CBG+90°,即2∠AHB﹣∠CBG=90°;
②如图,当点C在DG上时,
同理可得,∠ACB=2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°﹣∠CBG,∴2∠AHB=90°﹣∠CBG,即2∠AHB+∠CBG=90°;
(3)
(2)中的结论不成立.存在:
2∠AHB+∠CBG=270°;2∠AHB﹣∠CBG=270°.
①如图,当点C在AG上时,由MN∥PQ,可得:
∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2(∠MAH+∠PBH),∠AHB=∠MAH+∠PBH,
∴∠ACB=360°﹣2∠AHB,又∵∠ACB是△BCG的外角,∴∠ACB=90°+∠CBG,∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG,
即2∠AHB+∠CBG=270°;
②如图,当C在DG上时,
同理可得,∠ACB=360°﹣2(∠MAH+∠PBH),∠AHB=∠MAH+∠PBH,
∴∠ACB=360°﹣2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°﹣∠CBG,∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG,
∴2∠AHB﹣∠CBG=270°.
3.“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:
∠BAN=2:
1.
(1)填空:
∠BAN= 60 °;
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯互相平行?
(3)如图2,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?
若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
解:
(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:
∠BAN=2:
1,∴∠BAN=180°×=60°,故答案为:
60;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
①当0<t<90时,如图1,
∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD∴2t=1•(30+t),解得t=30;
②当90<t<150时,如图2,
∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•(30+t)+(2t﹣180)=180,解得t=110,综上所述,当t=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
(3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.理由:
设灯A射线转动时间为t秒,
∵∠CAN=180°﹣2t,∴∠BAC=60°﹣(180°﹣2t)=2t﹣120°,又∵∠ABC=120°﹣t,
∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t,而∠ACD=120°,∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣(180°﹣t)=t﹣60°,
∴∠BAC:
∠BCD=2:
1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC和∠BCD关系不会变化.
4.如图1所示,已知BC∥OA,∠B=∠A=120°
(1)说明OB∥AC成立的理由.
(2)如图2所示,若点E,F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,求∠EOC的度数.
(3)在
(2)的条件下,若左右平移AC,如图3所示,那么∠OCB:
∠OFB的比值是否随之发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,请求出这个比值.
(4)在(3)的条件下,当∠OEB=∠OCA时,求∠OCA的度数.
解:
(1)∵BC∥OA,∴∠B+∠O=180°,∴∠O=180°﹣∠B=60°,而∠A=120°,∴∠A+∠O=180°,∴OB∥AC;
(2)∵OE平分∠BOF,∴∠BOE=∠FOE,而∠FOC=∠AOC,∴∠EOF+∠COF=∠AOB=×60°=30°,即∠EOC=30°;
(3)比值不改变.∵BC∥OA,∴∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,∵∠FOC=∠AOC,∴∠AOF=2∠AOC,∴∠OFB=2∠OCB,即∠OCB:
∠OFB的值为1:
2;
(4)设∠AOC的度数为x,则∠OFB=2x,
∵∠OEB=∠AOE,∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x,而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣120°=60°﹣x,
∵∠OEB=∠OCA,∴30°+x=60°﹣x,解得x=15°,∴∠OCA=60°﹣x=60°﹣15°=45°.
5.已知,直线AB∥DC,点P为平面上一点,连接AP与CP.
(1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC.
(2)如图2,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系?
解:
(1)如图1,过P作PE∥AB,
∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°;
(2)∠AKC=∠APC.理由:
如图2,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,
过P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,∴∠AKC=∠APC;
(3)∠AKC=∠APC.
理由:
如图3,过K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,
∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK,过P作PF∥AB,
同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=(∠BAP﹣∠DCP)=∠APC,∴∠AKC=∠APC.
6.如图,已知AM∥BN,∠A=60°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?
若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是 30° .
解:
(1)∵AM∥BN,∴∠A+∠ABN=180°,∵∠A=60°,∴∠ABN=120°,∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,
∴∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠NBP,∴∠CBD=∠ABN=60°;
(2)不变化,∠APB=2∠ADB,
证明:
∵AM∥BN,∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,又∵BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN,∴∠APB=2∠ADB;
(3)∵AD∥BN,∴∠ACB=∠CBN,又∵∠ACB=∠ABD,∴∠CBN=∠ABD,∴∠ABC=∠DBN,
由
(1)可得,∠CBD=60°,∠ABN=120°,∴∠ABC=(120°﹣60°)=30°,故答案为:
30°.
7.数学思考:
(1)如图1,已知AB∥CD,探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,并证明你的结论
推广延伸:
(2)①如图2,已知AA1∥BA1,请你猜想∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、∠A3的关系,并证明你的猜想;
②如图3,已知AA1∥BAn,直接写出∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系
拓展应用:
(3)①如图4所示,若AB∥EF,用含α,β,γ的式子表示x,应为 B
A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+β C.β+γ﹣α D.α+β+γ
②如图5,AB∥CD,且∠AFE=40°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 30° .
解:
(1)证明:
如图1,过点P作OP∥AB,
∵AB∥CD,∴OP∥AB∥CD,∴∠1=∠PAB,∠2=∠PCD,∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD,即∠APC=∠PAB+∠PCD;
(2)①如图2,过点A2作A2O∥AA1,
由
(1)