竖直平面内的圆周运动规律总结.docx
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竖直平面内的圆周运动规律总结
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竖直平面内的圆周运动规律总结
篇一：
竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动（带电粒子在匀强磁场中运动除外），运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。
一、两类模型——轻绳类和轻杆类1．轻绳类。
运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。
由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。
所以：
（1）质点过最高点的临界条件：
质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质
点的重力来提供，这时有通过最高点的条件是，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；
（2）质点能；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；
，质点才能运动过最高点；（5）过最（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于
高点的最小向心加速度。
2．轻杆类。
运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。
所以质点过最高点的最小速度为零，
（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；
（2）当
时，
；（3）当
而增大；（4）当
随的增大而减小，，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力；（5
）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度
。
，向心加速度的表达，才能运动到最高点。
过最高点的最小向心加速度过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即
式也相同，即。
质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒
，向心加速度大小之差也等于。
，质点运动到最低点和最高点的向心力之差二、可化为这两类模型的圆周运动竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内
侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。
三、水流星运动中过最高点的速度和水不流出速度的区别
水流星是一种杂技表演，表演者在两个碗里装上水，用绳子系住碗，然后在竖直平面内舞动，碗中的水和碗一起作圆周运动，水不从碗中流出来。
水流星在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件是满足轻绳类圆周运动，很多参考书就把这个速度当作是水不流出的最小速度，其实这种理解是不正确的。
我们不能把这当作是水不流出的条件，这是因为当
不但水不能做圆周运动，碗也不能做圆周运动，即是，当碗运动到最高点之前就做斜抛运动了，碗中的水也随之作斜抛运动，在斜抛运动中，水和碗都处于完全失重状态，水也不从碗中流出。
所以不能把当作是水不流出的条件。
四、例子讲解例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。
一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。
求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
解：
设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋mv2①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力n。
重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋n＝m②
物块能通过最高点的条件是
n≥0③
由②③式得
V≥④
由①④式得
h≥2．5R⑤
按题的需求，n＝5mg，由②式得
V＜⑥
由①⑥式得
h≤5R⑦
h的取值范围是2．5R≤h≤5R
例2如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（）
A．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动b．当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力c．当小球
b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
D．只要v≥，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg
解：
内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知得，所以A错，得，此时即重力
刚好能提供向心力，小球对轨道无压力。
最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍，b对，c
错，最高点，最低点
由机械能守恒有，所以，D对。
例3（06重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。
小球A、b质量分别为m、βm（β为待定系数）。
A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的b球相撞，碰撞后A、b球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。
重力加速度为g。
试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、b各自的速度和b球对
轨道的压力；（3）小球A、b在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、b在轨道最低
处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
解：
（1）由mgR＝+得β＝3
（2）设A、b碰撞后的速度分别为v1、v2，则
设向右为正、向左为负，解得
v1＝，方向向左v2＝，方向向右
/设轨道对b球的支持力为n，b球对轨道的压力为n，方向竖直向上为正、向下为则n－βmg＝
/n＝－n＝－4．5mg，方向竖直向下。
（3）设A、b球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1．V2，则
解得：
V1＝－，V2＝0
（另一组：
V1＝－v1，V2＝－v2，不合题意，舍去）
由此可得：
当n为奇数时，小球A、b在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同当n为偶数时，小球A、b在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同。
人造地球卫星运行问题的几个原则
人造地球卫星的运行问题的分析和求解，需综合运用万有引力定律、牛顿第二定律等力学规律及方法，分析与求解人造地球卫星运行类问题遵从以下几个原则。
1．轨道球心同面原则轨道球心同面原则，是说人造地球卫星的运行轨道平面必通过地球球心。
设想有一人造地球卫星的运行轨道不通过地心，而仅垂直于地轴，如图1所示。
则卫星将在地球对其的万有引力F的分量F2作用下绕地轴做圆周运动；同时在F的分量F1的作用下在地球赤道平面上下振动。
这样，这个卫星的运行
轨道将成为螺旋线，而不是圆形轨道了，这样的轨道显然是不存在的。
各种人造地球卫星的运行轨道，不论是圆还是椭圆，其轨道平面一定通过地球球心，不存在轨道平面不通过地球球心的运行轨道。
但轨道平面不一定都要与赤道平面重合，目前常见的有与赤道平面重合的赤道轨道，若轨道上运行的卫星的周期与地球自转周期相同，卫星相对地面静止，这种卫星主要用于通讯；有轨道平面与赤道平面垂直且经过两极的极地轨道，卫星在绕地球圆周运行的同时还沿地球自转方向从西向东转动，其周期等于地球公转周期，所以这种轨道也称太阳同步轨道；还有轨道平面既不与赤道平面重合也不垂直的轨道的倾斜轨道。
2．轨道决定一切原则设地球质量为m、半径为R，一质量为m的人造地球卫星在距地面h高度的轨道上做圆周运动，向心加速度为A、线速度为v、角速度为ω、周期为T
。
由牛顿第二定律和万有引力定律有：
或，而、。
解以上几式得：
，，，。
由此结果可以看出，影响卫星运动情况的与卫星有关的参数中仅仅是卫星的轨道半径。
3．速度影响轨道原则在某确定轨道（半径一定）上圆周运动的卫星，由于某种原因的影响，若速度为
生了变化，由基本关系式可以得出：
。
由此知，轨道半径随卫星运行速度的增大而减小，这一过程中引力对卫星做正功，又使卫星的速度增大；随卫星运行速度的减小而增大，这一过程中引力对卫星做负功，又使卫星速度减小，直到在新的轨道上以新的速度运行，此时又
有
。
4．近地卫星五最原则所谓近地卫星，是指在距地面的高度远小于地球半径轨道上运行的卫星，此时R>>h，h≈0。
在“2”中得出的几个结果中，令h=0得人造地球卫星的几个极值是：
向心加速度最大：
向心力最大：
（g为地面的重力加速度）
环绕速度最大：
角速度最大：
运行周期最小：
5．同步通讯卫星五定原则同步通讯卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，卫星相对于地面静止，其周期与地球自转周期相等，即T=24h，将T值代入“2”中各结论表达式可得：
，，，，再加上共有五个确定值。
6．加速度相切相同原则人造地球卫星发射时一般经历三个阶段，先将其发射至距地球较近的环绕轨道1上，使卫星环绕地球做圆周运动。
在适当的位置，如Q点改变卫星运行的切向速度大小，使其改变轨道绕地球做椭圆轨道2（转移轨道）运行，再在椭圆轨道的远地点p改变卫星运行的切向速度，使其在距地面较远的轨道3（运行轨道）上绕地球做圆周运动，如图2所示。
在两轨道的相切处如图2中的Q、p两点，两次离地心距离相等，由万有引力定律及牛顿第二定律可知卫星在两个轨道上运行经过两轨道相切点时的向心加速度相同。
7．速度近大远小原则行星绕太阳的运动轨迹一般是椭圆，卫星发射时在转移轨道的运动轨迹也是椭圆，太阳（或地球）处在椭圆的一个焦点上，当行星（或卫星）由近日（地）点向远日（地）点运动时，万有引力做负功，动能减小，速度减小，远日（地）点速度最小；当行星（或卫星）由远日（地）点向近日（地）点运动时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，近日（地）点速度最大。
8．能量定比原则卫星运行的动能计算：
设卫星质量为m、轨道半径为r，由及得，卫星的动能为：
篇二：
竖直平面内圆周运动的基本规律及应用
高三复习:
竖直平面内圆周运动的基本规律及应用时间:
150916周四第四节班级:
1312教师:
钟昌果
教学目标:
1知道轻绳和轻杆模型的定义
2能够区分两个模型
3巩固两个模型的基本规律
4能够运用应用基本规律解决具体问题
5巩固分析曲线运动的思路和方法
重点和难点:
1轻杆模型最高点的受力分析
2规律的应用
课前分析:
学生对轻绳和轻杆模型两个模型有一定的概念,对两个模型的规律有一定的掌握,本节课通过一些具体的题目训练,提高学生运用基本规律解决具体问题能力,进一步巩固分析曲线运动的思路和方法.
教学过程:
一知识点回顾:
什么是轻绳模型?
什么是轻杆模型?
两个模型临界速度的区别是什么?
解决曲线运动问题估计用到的规律是什么?
二通过题目巩固知识点:
5.长度L＝0.50m的轻质细杆oA，A端有一质量m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以o点为圆心在竖直平面内做圆周运动，
通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆oA受到（）
A．6.0n的拉力b．6.0n的压力
c．24n的拉力D．24n的压力
8.如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的
光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时（）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
b．小球受到的向心力等于0
c．小球的线速度大小等于D．小球的向心加速度大小等于g
2.（多选）（20XX·邯郸模拟）水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度v0沿直轨道向右运动．如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过c点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则（）
A．小球到达c点的速度为b．小球到达b点时对轨道的压力为
5mg
c．小球在直轨道上的落点d与b点的距离为2R
D．小球从c点落到d点所需时间为2
三小结归纳
Rg
篇三：
教案《竖直平面内的圆周运动实例分析》
课题：
竖直平面内的圆周运动实例分析
授课班级：
高一14班授课时间：
20XX年4月12日
授课教师：
罗华权
三维目标：
一、知识与技能
1、了解竖直平面内的圆周运动的特点；
2、会分析汽车过凸形桥最高点和凹形桥最低点的受力情况；
3、会分析轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动在最高点、最低点的受力情况；4、掌握轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动的临界条件。
二、过程与方法
1、通过对圆周运动的实例分析，渗透理论联系实际的观点，提高学生的分析和解决问题的能力。
2、通过对匀速圆周运动的规律也可以在变速圆周运动中使用，渗透特殊性和一般性之间的辨证关系，提高学生的分析能力。
3、运用启发式问题探索教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生观察、分析、抽象、建模的解决实际问题的方法和能力。
三、情感态度与价值观
1、通过对几个实例的分析，使学生养成仔细观察、善于发现、勤于思考的良好习惯，明确具体问题必须具体分析；
2、激发学生学习兴趣，培养学生关心周围事物的习惯；3、养成良好的思维表述习惯和科学的价值观。
教学重点：
1、分析汽车过凸形桥最高点和凹形桥最低点的受力情况；
2、分析轻绳、圆环内侧轨道、轻杆的小球做圆周运动在最高点、最低点的受力情况。
教学难点：
轻绳、圆环内侧轨道、轻杆等模型中的小球在竖直平面内做圆周运动的临界条件及应用。
教学方法：
讲授、分析、推理、归纳教学用具：
过山车模型、水流星、多媒体课件等课时安排：
1课时
教学过程：
上节课我们对生活中常见的匀速圆周运动进行了实例分析。
知道分析和研究匀速圆周运动的问题，关键是把向心力的来源弄清楚，然后再结合牛顿第二定律解决相关具体问题。
这节课我们将进一步学习竖直平面内的变速圆周运动，生活中有哪些常见的竖直平面内的圆周运动呢？
一、汽车过凹凸桥
1.汽车过凸形桥的最高点
公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥时的运动也可看做圆周运动。
1
通过提问，引导学生进入状态。
问题1：
如果汽车在水平路面上匀速行驶或静止时，在竖直方向上受力如何？
问题2：
如果汽车在拱形桥顶点静止时，桥面受到的压力如何？
问题3：
如果汽车在拱形桥上，以某一速度v通过圆弧半径为R的拱形桥的最高点的时候，桥面受到的压力如何？
引导学生分析受力情况，并逐步求得桥面所受压力。
选汽车为研究对象。
分析汽车所受的力如图，知道了桥对汽车的支持力Fn，桥所受的压力也就知道了。
汽车在竖直方向受到重力mg和桥的支持力Fn，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。
鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为：
F＝mg－Fn
以a表示汽车沿拱形桥面运动的向心加速度，根据牛顿第二定律有：
v2
F=ma=m
R
所以
v2
mg-Fn=m
R
由此解出桥对车的支持力
v2
Fn=mg-m
R
汽车对桥的压力F压与桥对汽车的支持力Fn是一对作用力和反作用力，大小相等。
所以压力的大小为：
v2
FF压
n=mg-m
R
【思考与讨论】
问题4：
根据上式，结合前面的问题你能得出什么结论？
a、汽车对桥面的压力小于汽车的重力mg；
b、汽车行驶的速度越大，汽车对桥面的压力越小。
问题5：
试分析如果汽车的速度不断增大，会有什么现象发生呢？
当速度不断增大的时候，压力会不断减小，当达到v0=汽车“飘离”桥面。
问题6：
汽车的速度比v0
更大呢？
汽车会怎么运动？
（提示，此时汽车受力、速度、加速度如何）
汽车以大于或等于v0的速度驶过拱形桥的最高点时，汽车与桥面的相互作用力为零，汽车只受重力，又具有水平方向的速度的v0，因此汽车将做平抛运动。
问题7：
如果是凹形桥，汽车行驶在最低点时，桥面受到的压力如何？
2.汽车过凹形桥的最低点
汽车过凹形桥时的运动也可看做圆周运动。
汽车通过凹形桥最低点时，如图，车对桥的压力比汽车的重力大些还是小些？
质量为m的汽车在凹形桥上以速度v前进，若桥面的圆弧半径为R，我们来分析汽车通过桥的最低点时对桥的压力。
2
时，汽车对桥面完全没有压力，
选汽车为研究对象。
分析汽车所受的力如图，知道了桥对汽车的支持力Fn，桥所受的压力也就知道了。
汽车在竖直方向受到重力mg和桥的支持力Fn，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。
根据向心力公式有：
v2
Fn-mg=m
R
由此解出桥对车的支持力
v2
Fn=mg+m
R
汽车对桥的压力F压与桥对汽车的支持力Fn是一对作用力和反作用力，大小相等。
所以压力的大小为：
v2
FFn压=mg+m
R
由此可以看出，汽车对桥的压力F压大于汽车的重量mg，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越大。
问题8：
上学期我们曾经学习过超重和失重现象，那么试利用“超、失重”的观点定性分析汽车在拱形桥最高点，凹形桥的最低点分别处于哪种状态？
超失重现象不只发生在竖直方向运动的物体上，而是竖直方向是否有加速度，与速度方向无关。
强调：
上述过程中汽车虽然不是做匀速圆周运动，但我们仍然使用了匀速圆周运动的公式。
原因是向心力和向心加速度的关系是一种瞬时对应关系，即使是变速圆周运动，在某一瞬时，牛顿第二定律同样成立，因此，向心力公式照样适用。
二、水流星、过山车（轻绳模型）
向学生展示水流星、过山车的图片，并提出问题：
为什么在最高点时过山车不竖直下落？
水不会流出呢?
请学生用自制教具做水流星表演并提出问题。
问题1：
最高点水的受力情况？
向心力是什么？
问题2：
最低点水的受力情况？
向心力是什么？
问题3：
速度最小是多少时才能保证水不流出？
学生讨论：
最高点、最低点整体的受力情况。
师生互动：
在竖直平面内圆周运动能经过最高点的临界条件：
用绳系水杯沿圆周运动，杯内的水恰能经过最高点时，满足弹力F=0,重力提供向心力
v2mg=m得临界速度v=gr当水杯速度v≥gr时才能经过最高点。
r
请学生演示小球过山车及轻绳拴小球在竖直平面内做圆周运动的实验，引导学生分析比较小球过最高点的受力情况。
三、轻杆模型【思考与讨论】
如果是用杆固定小球使球绕杆另一端在竖直平面内做圆周运动，上面所求的临界速率还适用吗？
轻杆与轻绳不同，既能产生拉力，也能产生支持力，
由于小球所受重力可以由杆给它的向上
3
2v的支持力平衡，由mg－F=m=0得：
临界速度v=0r
故小球到达最高点的最小速度v0＝0。
当小球速度v≥0时，就可经过最高点。
当通过最高点的速率v＞
杆对球产生向下的拉力；当通过最高点的速率v＝gr时，gr时，
杆对球的作用力为0；当通过最高点的速率v＜
gr时，杆对球产生向上的支持力。
【问题研讨】
当小球运动到最低点时轻杆对小球的作用力情况怎样和最高点时有什么不同呢？
课堂小结：
师生共同回顾本节内容。
1．竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型：
轻绳模型和轻杆模型。
2．轻绳模型特点3．轻杆模型特点作业布置：
《竖直平面内的圆周运动实例分析》学案
板书设计：
课题：
竖直平面内的圆周运动实例分析
一、汽车过凹凸桥
1.汽车过凸形桥2.汽车过凹形桥v22
vmg-F=mnFn-mg=mR
二、轻绳模型
三、轻杆模型
v2
Fn=mg-m
R
Rv2
Fn=mg+m
R
v2
Fn+mg=m
lv2
Fn=m-mg
l
n=mg方向向上
当0 rg时，n?
mg?
mv
2
r
方向向上
?
rg时，n=0当v>
rg时，n?
mv
2
r
?
mg
方向向下
教学反思：
4
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