人教版第二单元一元一次方程的知识点总结及实际问题的概括.docx
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人教版第二单元一元一次方程的知识点总结及实际问题的概括
人教版第二单元一元一次方程的知识点总结
（一）、方程的有关概念
1.方程：
含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程：
只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.
例如：
1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.（例1）
3．方程的解：
使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.（例2）
注：
⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.
⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
（二）、等式的性质
等式的性质
（1）：
等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等.
等式的性质
（1）用式子形式表示为：
如果a=b，那么a±c=b±c
等式的性质
（2）：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，
等式的性质
（2）用式子形式表示为：
如果a=b，那么ac=bc;如果a=b（c≠0），那么
=
（三）、移项法则：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）
（四）、去括号法则
1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．
（五）、解方程的一般步骤（例4）
1.去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
2.去括号（按去括号法则和分配律）
3.移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）
4.合并（把方程化成ax=b（a≠0）形式）
5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=
）.
一．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
一元一次方程的应用汇集
内容
类型
题中涉及的数量及公式
等量关系
注意事项
和、差问题
由题意可知
弄清“倍数”关系及“多、少”关系等
调配问题
调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系
调配前后的数量关系
等积变形问题
各体的体积公式
变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积）。
分清半径、直径
行程问题
相遇问题
路程=速度×时间
时间=路程÷速度
速度=路程÷时间
快者+慢者=原来的距离
相向而行注意始发时间和地点
追及问题
快者-慢者=原来的距离
同向而行注意始发时间和地点
调配问题
从调配后的数量关系中找等量关系
调配对象流动的方向和数量
比例分配问题
全部数量=各种成分的数量之和
把一份设为x，
例：
甲、乙的比为2：
3
可设甲为2x，乙为3x。
工程问题
工作量=工作效率×工作时间
工作效率=工作量÷工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
两个或多个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量
一般情况下把总工作量设为1
利息问题
本金×利率＝利息，
本金＋利息＝本息。
利润率问题
商品的利润率
=
商品的利润=商品售价-商品进价
找出利润或利润率之间的关系
打几折就是按原售价的百分之几出售
数字问题
设a,b分别为一个两位数的个位上与十位上的数字，则这个两位数可表示为10b+a
行船问题
顺流船行实际速度=船在静水中的速度+水流的速度
逆流船行实际速度=船在静水中的速度-水流的速度
一元一次方程应用的汇集
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
2.和差倍分问题
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
3.等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝
r2h
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
4．数字问题
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．
十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
5．市场经济问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
6．行程问题：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
7．工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
8．储蓄问题
利润＝
×100%利息＝本金×利率×期数
一元一次方程相关的实际问题总结及相应的例题、练习题
1.和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到2000年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？
分析：
等量关系为：
解：
设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度
1、某化肥厂去年生产化肥3200吨，今年计划生产3600吨，今年计划比去年增产%.
2.某加工厂有出米率为70%的稻谷加工大米，现在加工大米100公斤，设要这种大米x公斤，则列出的正确的方程是.
3.甲、乙两厂去年完成任务的112%和110%，共生产机床4000台，比原来两厂任务之和超产400台，问甲厂原来的生产任务是多少台？
4．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
分析：
相等关系是：
今年捐款=去年捐款×2+1000。
解：
设去年为灾区捐款x元，
由题意得，2x+1000=25000
2x=24000
∴x=12000
答：
去年该单位为灾区捐款12000元。
5．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
分析：
等量关系为：
油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。
解：
设油箱里原有汽油x公斤，
由题意得，x（1-25%）（1-40%）+1=25%x+（1-25%）x×40%
去分母整理得，9x+20=5x+6x
∴2x=20
∴x=10
答：
油箱里原有汽油10公斤。
6.已知甲、乙两种商品的原单价和为100元。
因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的原单价各是多少？
分析：
甲原单价×（1-10%）+乙原单价×（1+5%）=100×（1+2%）。
解：
设甲商品原单价为x元，则乙商品原单价为（100-x）元。
由题意得，（1-10%）x+（1+5%）（100-x）=100×（1+2%）
解这个方程，0.9x+1.05（100-x）=102
90x+10500-105x=10200
15x=300
∴x=20
100-x=80
答：
甲商品原单价20元，乙商品原单价为80元。
2、等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；
②原料体积＝成品体积。
例3、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
分析：
等量关系为：
机轴的体积和=钢坯的体积。
解：
设可足够锻造x根机轴，
由题意得，π（
）2×3x=π（
）2×30
解这个方程得x=
x=
×10×
=
=40
答：
可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。
例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为
内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？
（结果保留整数
）
分析：
等量关系为：
圆柱形玻璃杯体积＝长方体铁盒的体积
下降的高度就是倒出水的高度
解：
设玻璃杯中的水高下降xmm
3.劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例1..有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的
，应从乙队调多少人到甲队？
分析：
此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。
等量关系为：
乙队调出后人数=
甲队调入后人数。
解：
设应从乙队调x人到甲队，
由题意得，183-x=
（285+x）
解这个方程，285+x=549-3x
4x=264
∴x=66
答：
应从乙队调66人到甲队。
例2、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：
1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？
分析：
此问题中只有调出，没有调入。
等量关系为：
甲队调出后人数=2×乙队调出后人数。
解：
设应从甲队抽出x人，则应从乙队抽出（116-x）人，
由题意得，188-x=2[138-（116-x）]
解这个方程188-x=2（138-116+x）
188-x=44+2x
3x=144
∴x=48
116-x=116-48=68
答：
应从甲队抽出48人，从乙队抽出68人。
1、李明今年8岁，父亲是32岁，问几年以后父亲的年龄为李明的3倍。
分析：
此问题中只有调入，没有调出。
等量关系为：
几年后父亲年龄=3×李明几年后的年龄。
4、配套问题：
[解题指导]：
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
例3.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
分析：
列表法。
每人每天
人数
数量
大齿轮
16个
x人
16x
小齿轮
10个
人
等量关系：
小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍
解：
设分别安排x名、
名工人加工大、小齿轮
.1、某车间有28个工人，生产某种螺栓和螺母，已知一个螺栓的两头各配一个螺母组成一套零件。
如果每人每天生产12个螺栓或18个螺母。
安排多少个工人生产螺栓，多少个工人生产螺母，才能使这一天生产的螺栓和螺母正好配套？
5、比例分配问题：
这类问题的一般思路为：
设其中一份为x,利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部分之和=总量。
例7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：
3；乙、丙之比为6：
5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
分析：
应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。
等量关系为：
（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的2倍。
解：
设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产
×3x件（即
x件），
由题意得，4x+
x-12=2×3x
解这个方程，
=12
∴x=24
∴4x=4×24=96（件），3x=3×24=72（件），
x=
×24=60（件）
答：
甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。
6、数字问题：
（1）要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且
1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c。
（2）数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.
例8、一个2位数，个位上的数字比十位上的数学大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的
大6，求这个2位数。
分析：
等量关系为：
个位数字+十位数字-6=
×这个2位数。
解：
设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+5，
则这个2位数为：
10x+x+5
由题意得，x+5+x-6=
（10x+x+5）
解这个方程得：
14x-7=11x+5
3x=12
∴x=4
∴x+5=9
这个2位数为49。
答：
这个2位数为49。
例7．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多l0．求原来的两位数．
7、工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例9、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析：
设工程总量为单位1，等量关系为：
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解：
设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，
由题意得，（
+
）×3+
=1，
解这个方程，
+
+
=1
12+15+5x=60
5x=33
∴x=
=6
答：
乙还需6
天才能完成全部工程。
1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
8.行程问题：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
例4.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
解：
设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140+90）x+480=600
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600
解：
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480
解：
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x=90（x+1）+480
例4.1.已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________。
1.A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？
9.商品销售问题
（1）商品利润率＝
×100%
（2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：
商品售价=商品标价×折扣率
（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
解：
设该工艺品每件的进价是
元,标价是（45+x）元.依题意，得:
8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x
例8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
分析：
探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
x元
8折
（1+40%）x元
80%（1+40%）x
15元
等量关系：
（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15
10.储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
（3）利润＝
×100%
例9.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。
半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？
（不计利息税）
分析：
等量关系：
本息和=本金×（1+利率）
解：
设半年期的实际利率为x，
250（1+x）=252.7，
x=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
1.国家规定存款利息的纳税方法是：
利息税=利息×20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%，某储户取出1年到期的本金及利息时，扣除了利息税31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？
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