第十一课时至第十五课时一元二次方程的解法.docx
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第十一课时至第十五课时一元二次方程的解法
第十一课时一元二次方程的解法
第2课时配方法解一元二次方程
一、学习目标：
1、知识与技能：
掌握用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、过程与方法：
通过回忆乘法公式及直接开平方法中第三种形式的变化，体会“配方”在解方程中的运用。
3、情感态度价值观：
理解解方程中的程序化，体会化归思想。
二、学习重难点：
学习重点：
用配方法解数字系数的一元二次方程；
学习难点：
配方的过程。
三、导学流程
（一）问题指向、预习先行：
1、请说出完全平方公式。
（a＋b）2=（a-b）2=
2、用直接开平方法解下例方程：
（1）
（2）
3、通过类比的思想，思考如何解下例方程
（1）
（2）
（二）呈现目标、任务导学：
问题1、请你思考方程
与
有什么关系，如何解方程
呢？
问题2、能否将方程
转化为（
的形式呢？
先将常数项移到方程的右边，得_____________
（为了方程左边得到一个完全平方式在方程的____加上一次项系数_______，即32后，得）
x2＋2·x·3＋32=－4＋32
（x＋3）2=5
解这个方程，得
x＋3=_______
所以x1=_______x2=________
上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为（x－2）2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练：
配方.填空：
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋
x＋（）＝（x＋）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
1、先把方程化成一般形式，及二次项系数化为1再把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、方程右边是非负数时可利用直接开平方法求解。
（三）互动探究、合作求解：
1、完成下列空：
⑴
＋8x＋_____＝（x＋___）2⑵
－5x＋_____＝（x－___）2
⑶
－
x＋_____＝（x－__）2⑷2
－6
x＋___＝（x－__）2
2、用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；
（2）x2＋3x＋1＝0.
（四）交流展示、智谋拓展：
1、已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
2、用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（五）强化训练、当堂达标：
1、用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0
（2）x2－5x－6＝0.（3）2x2-x=6
（4）（4）x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）.
（5）4x2－6x＋（）＝4（x－）2＝（2x－）2.
2、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（）
A.（x-4）2=9B.（x+4）2=9C.（x-8）2=16D.（x+8）2=57
3、已知方程x2-5x+q=0可以配方成（x-
）2=
的形式，则q的值为（）
A.
B.
C.
D.-
4、已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么q的值是（ ）
A.9B.7C.2D.-2
5、用配方法解下列方程：
（1）x2-4x=5；
（2）2x2-7x+3=0；
（3）4x2+8x+3=0；（4）y2+2
y-4=0；
6、试用配方法证明：
代数式x2+3x-
的值不小于-
。
四、课堂小结：
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？
有哪些步骤？
（学生思考后回答整理）
5、作业布置：
用配方法解下列方程：
1、x2+10x+16=02、
3、3x2+6x-5=03、4x2-x-9=0
6、板书设计：
用配方方法解一元二次方程
用配方方法解一元二次方程的过程：
1、先把方程化成一般形式，及二次项系数化为1再把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、方程右边是非负数时可利用直接开平方法求解。
七、课后反思：
第十二课时一元二次方程的解法
第3课时用公式法解一元二次方程
一、学习目标：
1、知识与技能：
会用公式法解简单系数的一元二次方程；
2、过程与方法：
经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
3、情感态度价值观：
进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
二、学习重难点；
学习重点：
用公式法解简单系数的一元二次方程；
学习难点：
推导求根公式的过程。
三、导学流程
（一）问题指向、预习先行：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？
请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.（学生做，教师点拨）
因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.
移项，得x2＋
x＝________，
配方，得x2＋
x＋______＝______－
即（____________）2＝___________
因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以x＝_______________________
即x＝_________________________
（二）呈现目标、任务导学：
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：
x＝
（b2－4ac≥0）
注：
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
（三）互动探究、合作求解：
1、b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？
如果它小于0会出现什么情况呢？
学生在合作交流后展示小组学习成果。
1当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
2当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿
3当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
做一做：
（1）方程2x
-3x+1=0中，a=（）,b=（）,c=（）
（2）方程（2x-1）
=-4中，a=（）,b=（）,c=（）.
（3）方程3x
-2x+4=0中，
=（）,则该一元二次方程（）实数根。
（4）不解方程，判断方程x
-4x+4=0的根的情况。
2、应用公式法解下列方程:
（1）2x2＋x－6＝0；
（2）x2＋4x＝2；
（3）5x2－4x－12＝0；（4）4x2＋4x＋10＝1－8x.
解
（1）这里a＝___，b＝___，c＝______，
b2－4ac＝____________＝_________（作出判断）
所以x＝
＝_________＝____________
即原方程的解是x1＝_____，x2＝_____
仿照上题，学生做出其它几题
（四）交流展示、适度拓展：
m取什么值时，关于x的方程2x2-（m＋2）x＋2m－2＝0有两个相等的实数根？
（五）强化训练、当堂达标：
1、应用公式法解方程：
（1）x2－6x＋1＝0；
（2）2x2－x＝6；（3）4x2－3x－1＝x－2；（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）；（5）（x-2）（x+5）＝8；
（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m.
（1）养鸭场的面积能达到150m
吗？
能达到200m
吗？
（2）能达到250m
吗？
四、课堂小结：
1、一元二次方程的求根公式是什么？
x＝
（b2－4ac≥0）
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
五、作业布置：
用配方法解下列方程：
（1）x2+10x+16=0
（2）
（3）3x2+6x-5=0
（4）4x2-x-9=0
6、板书设计：
用配方法解一元二次方程
1、一元二次方程的求根公式：
x＝
（b2－4ac≥0）
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
3、根的判别式：
=b2－4ac
七、课后反思：
第十三课时一元二次方程的解法
第4课时一元二次方程根的判别式（选学）
一、学习目标：
1、知识与技能：
（1）了解什么是一元二次方程根的判别式；
（2）知道一元二次方程根的判别式的应用。
2、过程与方法：
回忆用配方法解一元二次方程探得根的判别式，从而引出其关键性及运用。
3、情感态度价值观：
培养学生对于问题的事先预见性。
二、学习重难点：
学习重点：
如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
学习难点：
根的判别式的变式应用。
三、导学流程：
（一）问题指向、预习先行：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿个＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
（2）呈现目标、任务导学：
b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
（三）互动探究、合作求解：
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0；
（2）3x2＝4x－1；
（3）x（3x－2）－6x2＝0； （4）x2＋（
＋1）x＝0；
（5）x（x＋8）＝16； （6）（x＋2）（x－5）＝1；
2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根.
（四）交流展示、适度拓展：
应用判别式来确定方程中的待定系数。
（1）m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？
求出这时方程的根.
（2）m取什么值时，关于x的方程x2-（2m＋2）x＋m2-2m－2＝0没有实数根？
（五）强化训练、当堂达标：
1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根；D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）
A．x2＋1＝0B.x2+x-1＝0C.x2+2x＋3＝0D.4x2-4x＋1＝0
3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（）
A.k＜
B.k＞
C.k≤
D.k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（）
A.k＜
B.k＞
C.k≤
D.k≥
5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-（ｋ＋2）x＋ｋ－１＝0
有两个相等的实数根？
求出这时方程的根.
6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋（2ｋ＋１）x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
四、课堂小结：
一元二次方程根的判别式△=b2－4ac及其运用。
5、作业布置：
1、利用判别式判断下列方程根的情况：
（1）
（2）16x2-24x+9=0
（3）
（4）3x2+10=2x2+8x
2、若一元二次方程ax2+2ax-3=0有两个不相等的实数根，求a的值。
六、板书设计：
一元二次方程的根的判别式
1、一元二次方程根的判别式△=b2－4ac：
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿个＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
七、课后反思：
第十四课时一元二次方程的解法
第5课时用分解因式法解一元二次方程
一、学习目标：
1、知识与技能：
（1）明确具备什么条件的一元二次方程可适用因式分解法；．
（2）熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程
2、过程与方法：
通过设疑，根据学生不同的解题思路，引出因式分解法解一元二次方程。
3、情感态度价值观：
通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．
二、学习重难点：
学习重点：
能灵活地应用分解因式法解一元二次方程
学习难点：
理解“或”、“且”的含义
3、学习流程：
（一）问题指向、预习先行：
1、形如：
x2＝k（k≥0）
均可以用________法
用直接开平方法解下列方程
（1）4x2＝24
（2）2（x＋1）2=16
2、你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？
如果相等，这个数是几？
小明是这样解的：
小影是这样解的
解设这个数是x.解设这个数是x.
依题意得：
x2=3x依题意得：
x2=3x
两边同时约去x，得x=3x2–3x=0
这种解法正确吗？
（答：
_____）x（x–3）=0
解得x1=0，x2=3
这步的理论依据是什么？
∴这个数是0或3。
这种解法正确吗？
（答：
_____）
（二）呈现目标、任务导学：
1、方程x2–4=0左边能否化成两个一次因式的乘积
2．当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.即如果A·B=0
A=0或B=0（如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．）
“或”有下列三层含义
1A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
3．
（1）方程（x+a）（x+b）=0的两个根为x1=_____，x2=______
（2）方程（x+2）（x-3）=0的两个根为x1=_____，x2=______
（三）互动探究、合作求解：
1、利用因式分解法解下列方程：
（1）（3x+2）（4-x）=0
（2）3x2=12
（3）4x（x-2）=5（x-2）（4）2（3－x）2=3x-9
（四）交流展示、适度拓展：
十字相乘法：
ax2＋bx＋c＝0（若a能分成______,c能分成_____（十字交叉相乘后再相加若等于b）则ax2＋bx＋c=（_______）（_________）=0
用十字相乘法解下列方程
（1）x2－3x-10=0
（2）x2+2x-3=0（3）3x2+11x+10=0
（五）强化训练、当堂达标：
用因式分解法解下列方程：
（1）4x2-9=0
（2）（2x+1）2-5=0（3）（3－x）2=4（2x+1）2（4）9x2-6x+1=0（5）2x2-7x+3=0（6）x2+3x-28=0
（7）
（8）
（8）
（9）
4、课堂小结：
1、用因式分解法的条件是:
方程左边易于分解而右边等于零;即一元二次方程可以转化为A·B=0的形式
2、因式分解法解一元二次方程的本质就是降次转化为解两个一元一次方程
3、理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
简记歌诀：
左分解，右化零，两因式，各求解。
五、作业布置：
用因式分解法解下列方程：
（1）x2＋4x＋3＝0
（2）4x2－12x＋5＝0（3）3x2-12x=-12
（3）3x（x-1）=2（x-1）（4）（2x-1）2=（3-x）2（6）4x2-144=0
六、板书设计：
因式分解法解一元二次方程
1、用因式分解法的条件是:
方程左边易于分解而右边等于零;即一元二次方程可以转化为A·B=0的形式
2、理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
简记歌诀：
左分解，右化零，两因式，各求解。
七、课后反思：
第十五课时一元二次方程的解法综合练习
第6课时（习题课）
一、学习目标：
1、知识与技能：
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程。
2、过程与方法：
通过一个例子，要求不同的学生用不同的方法去做，从而直观总结选择适当的方法来解题。
3、情感态度价值观：
培养探究问题的能力和解决问题的能力。
二、学习重难点：
学习重点：
选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
学习难点：
理解四种解法的区别与联系。
三、学习流程：
（一）问题指向、预习先行：
1、我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
2、请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
（二）呈现目标、任务导学：
1、分别用三种方法来解以下方程（用因式分解法、配方法、公式法）
（1）x2-2x-8=0
（2）3x2-24x=0
注：
观察方程特点，寻找最佳解题方法。
一元二次方程解法的选择顺序一般为：
直接开平方法因式分解法公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
2、你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0；（你用_____________法）
（2）x2－2x＝0；（你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0；（你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0；（你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1；（你用_____________法）
（6）3x2＝4x.（你用_____________法）
（三）互动探究、合作求解：
解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；
（2）
（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
（四）交流展示、适度拓展：
1、已知（x2+y2）（x2+y2-1）-6=0，则x2+y2的值是（）
（A）3或-2（B）-3或2（C）3（D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）（x
-x）
-5（x
-x）+6=0
（2）
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
（五）强化训练、当堂达标：
1、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；
（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
2、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x；
（2）
（x＋3）2＝1；
（3）x2＋（
＋1）x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝
； （6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
3、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
四、课堂小结：
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？
通常你是如何选择的？
和同学交流一下.
五、作业布置：
用适当的方法解下列方程：
（1）x2+10x+21=0
（2）x2-x-1=0
（3）3x2+6x-4=0（4）3x（x+1）=3x+3
（5）4x2-4x+1=x2+6x+9（6）
6、板书设计：
用适当的方法解方程
一元二次方程解法的选择顺序为：
直接开平方法因式分解法公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法。
七、课后反思：
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