24第二十四章 抽屉原理.docx

24第二十四章 抽屉原理.docx

《24第二十四章 抽屉原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24第二十四章 抽屉原理.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

24第二十四章抽屉原理

第二十四章抽屉原理

概念

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．

（1）举例 

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

 如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。

比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、„等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？

只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。

【解题思路和方法】

（1）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：

（1）余数＝1，                

 结论：

至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里      

（2）余数＝x（

）， 

结论：

至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 

（3）余数＝0，                 

结论：

至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 

（二）、利用最值原理解题 

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

例题

1.有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

2.一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

3.从2、4、6、„、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

4.从1、2、3、4、„、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

5.从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。

6.证明：

在任取的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。

7.某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

8.6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？

9.向阳小学有730个学生，问：

至少有几个学生的生日是同一天？

10.五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：

至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．

11.三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．

12.“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：

在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

13.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

14.四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．

15.证明：

任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．

16.任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．

17.任意给定2008个自然数，证明：

其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）．

18.求证：

可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

19. 100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.

20.求证：

对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数．

21.把1、2、3、„、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17．

22.证明：

在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．

23.上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?

如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．

24.8个学生解8道题目．

（1）若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．

（2）如果每道题只有4个学生解出，那么

（1）的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.

25.把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？

26.把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

27.某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

28.班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？

29.海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到150厘米）那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？

30.一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：

基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。

问：

要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

31.在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？

32.试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米． 

33.边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点. 

34.在1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少要取出多少个数，才能保证在取出的数中有两个数的和是20？

35.从1，2，3，4，„，1994这些自然数中，最多可以取多少个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．

36.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出多少个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍． 

37.从1，3，5，7，„，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?

38.在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米．

39.从1，2，3，„„49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？

40.一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。

如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？

41.有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

42.一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，

（1）为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？

（2）.为保证取出的球中,三种颜色的球都有,至少要取多少个小球?

43.要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：

至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？

44.将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：

至少有多少个同学分到的书的本数相同？

45.有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

46.在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？

47.在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：

必有两个点的距离不大于1．

48.9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。

证明：

这9 条直线中至少有3 条通过同一个点。

49.在8×8的方格纸中，每个方格纸内可以填上14四个自然数中的任意一个，填满后对每个22“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

50.如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同？

并说明理由．

51.如下图① ，A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有_______粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.

52.时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，„，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．

53.“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备________道决赛试题．

54.有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：

一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？

55.黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。

问至少要取多少根才能保证达到要求？

56.有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？

57.两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。

从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。

这时，两袋中各有多少个球？

58.一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：

白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个．如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最多需要取几次？

59.在100张卡片上不重复地编写上1~100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？

60.一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

答案及解析

1.首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：

3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

2.扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：

2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

答：

至少有11个人。

3.我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：

这两个数的和是34。

现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。

4.在这20个自然数中，差是12的有以下8对：

｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。

另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：

从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，„，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。

5.根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：

  ｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。

6.按照被3除所得的余数，把全体自然数分成3个剩余类，即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中，至少有3个数在同一个抽屉，那么这3个数除以3得到相同的余数r，所以它们的和一定是3的倍数（3r被3整除）。

  如果每个抽屉至多有2个选定的数，那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个，2个，2个，即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数，那么这3个数除以3得到的余数分别为0、1、2.因此，它们的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。

7.共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况（0，1，2，„，n-1）数都是n，还无法用抽屉原理。

  然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、„、n-2，还是后一种状态1、2、3、„、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

8.对.因为9.8不能被5整除，10.8除五等于1余3

所以有一个鸽笼大于两只鸽子.

9.730÷366=1（人）......364（人）

1+1=2（人）

答：

至少有2个学生的生日是同一天.

10.证明：

略

11.

（1）、假设数学小组有等于或大于20名同学，则最少有一名朋友，最多有等于或大于20名朋友，这时候每个人朋友人数一至少有20种情况，也就是说每个的的朋友数可以不一样多。

（2）、假设数学小组有19名同学，则最少有一名朋友，最多有不到19名朋友，这时候每个人朋友人数一可以19种情况。

但是数学课外共有20名同学，所以至少有两名同学他们的朋友人数一样多。

12.人的性别只有两类：

男性和女性。

我们把两种性别当作两个“抽屉”，把三个小朋友比做三个“苹果”。

按照抽屉原则，至少有一个“抽屉”里有两个或两个以上“苹果”，也就是说，至少有两个小朋友性别相同。

他俩只认识对方一个人。

13.任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成三类；这三类型就是要制造的三个”抽屉“。

我们把4个数看作”苹果“，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。

换句话说，4个自然数分成3类，至少有2个是同类。

既然是同类，那么这两个数被3除的余数一定相同。

所以，任意4个自然数，至少有两个数的差能被3整除。

14.除数是3，那么它的余数只能是0、1、2。

所以，三个自然数被3除，有三种情况，因此第四个自然数被3除后，它的余数肯定和前三个数中的某一个数被3除的余数相同。

15.分析：

如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数．这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同．可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类．也就是7个抽屉．任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．

解答：

如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a−b是m的倍数。

根据这个性质，这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同。

把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类。

也就是7个抽屉。

任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。

故任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

16.所谓能被6整除的数,即能被3整除的偶数；据此我们把正整数分为2大类6小类.

一、奇数；除以3分别余（0,1,2）不妨称之曰：

奇0,奇1,奇2.

二、偶数；除以3分别余（0,1,2）同理称之曰：

偶0,偶1,偶2.

看到这里相信你已经明白原理了,接下来就是穷举数数了.

我们数数的方法是考量最多取几个正整数,让其中任意6个之和都不能整除6,而再增多一个任意小类,则满足必有6个之和能被6整除.

（1）、不妨先考虑5个奇0,那么对应的偶0就只能有1个（如果有2个偶0,则4个奇0加两个偶0已满足）

（2）、此时优先考虑奇1最多2个（否则3奇1+3个奇0满足）,偶1只能是0个；优先考虑偶1,亦最多2个,奇1同样0个,不影响总个数

（3）、不论2为何种情况,偶2和奇2都只能取0.

此时总数字为：

5+1+2=8个.

（4）、此时我们数了其中一种情况,相信原理方式什么的你都明白了,接下来只要利用穷举法和各种耐心,迟早得把它所有情况数完,得出正确结论.不过我的建议是,采用另外一种穷举,不妨采用先大胆假设,再找反例的方法.

即：

假设任取9（即8+1）个正整数,题设满足.那么这九个数总共可能含有2~6类数字；再对其不同分类,逐一验证.例如先假设只有两类,考察下去会发现：

5个奇0,4个偶2不满足题设,甚至5个奇0,5个偶2亦不满足；当然在5个奇0,5个偶2的情况下,任一小类的数字都不能再加.

（5）、故重新假设,任取11（即5+5+1）个正整数,题设满足.那么这11个数字包含2~6类数字.当然如果是2类,会出现6个相同小类数字,已满足.故从3类开始找反例.

17.把这2008个自然数先排成一行：

第一个数为

；

前2个数的和为

；

前3个数的和为

；

……

前2007个数的和为

；

前2008个数的和为

；

如果这2008个“和”中有一个是2008的倍数，那么问题就已经解决。

如果这2008个“和”中，没有一个是2008的倍数，那么就用2008去除这2008个“和”，必有两个和的余数相同。

它们的差（仍然是

中若干个数的和）被2008整除，结论同样成立。

18.取500个数：

1，11，111，…，111…1（500个1）.用499去除这500个数，得到500个余数A1，A2，A3，…，A500.

由于余数只能取0，1，2，…，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0:

11…100…0.

又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499人倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数。

19.设最多分给个同学。

由题意得：

≥12

12x≤100

x≤

＝

≈8.33

答：

最多能分给8个同学。

20.105=3×5×7，只要证明（a-b）（c-d）（e-f）分别是3、5、7的倍数即可求解；先由抽屉原理，8个自然数中一定有两个的差能够被7整除，记为a和b；再考虑剩下的6个数，同理可知其中一定有两个的差能够被5整除，记为c和d．再考虑剩下的4个数，同理可知其中一定有两个的差能够被3整除，记为e和f，从而得出（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍数．

解答：

105=7×5×3

7的剩余系为{0，1，2，3，4，5，6}有7个数

任意8个数必有两个对于7剩余相同

设为a，b，则7÷（a−b）

同理：

5的剩余有5个数

剩下8−2=6个数必有两个对于5剩余相同

设为c，d，则5|（c−d）

对于3的剩余同理可得

有两个数对3剩余相同

设为e，f，则3|（e−f）

这样取到了六个数a，b，c，d，e，f，且满足（a−b）是7的倍数，（c−d）是5的倍数，（e−f）是3的倍数。

所以（a−b）（c−d）（e−f）是105的倍数。

证毕

21.把这6个人看作6个点,每两点之间连一条线段,两人相把这一圈从某一数开始按顺时针方向分别记为:

、

、

、…、

（见下图）

相邻的三个数为一组，有：

、

、

、…、

、

共10组。

这十组数的和的总和为：

+

+...+

=3（

）

=3×55=165=16×10+5

根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于17。

22.相互认识的话将线段涂红色,两人不认识的话将线段涂上蓝色,那么只需证明其中有一个同色三角形即可．从这6个点中随意选取一点,从点引出的5条线段,根据抽屉原理,必有3条的颜色相同,不妨设有3条线段为红色,它们另外一个端点分别为B、C、D,那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段是红色,那么A、B、C3点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色,那么都是蓝色,这样B、C、D3点组成蓝色三角形,也符合条件．所以结论成立．

23.

（1）、因为只有男生和女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个性别相同；

（2）、为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以 我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生；

（3）、第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形.

所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的同学同性别.

24.

（1）设解题最多的人解出d道题。

将解出的题数相加，八个人至多解出8d道，

另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出8×5道题。

所以8d⩾8×5，则d⩾5

d=8时，结论成立，

d=7时，必有人解出剩下的一道题，这两人为所求，

d=6时，剩下的两道题，各有5人解出，5+5>7.所以至少有一人同时解出这两道题，他与解题最多的人为所求，

d=5时。

另三道题每道各有5人解出，设这三道题是6，7，8，解出6的人数与解出7的人数之和为10，而除解题最多的人外只有7人，所以，有三人同时解出6，7二题，又解出8的人数为5，3+5=8>7，所以必有一人同时解出6，7，8这三道题，他与解题最多的人为所求。

（2）如下表所示：

25.要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作物品把笼子当作抽屉，根据抽屉原理，把10只小兔放进10-1=9（个）笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．

答：

要放进9个笼子里.

26.根据题干分析可得：

125÷（4−1）=41…2，即125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。

也就是说这个班最多有41人。

答：

这个班最多有41人。

27.第一个月16÷2=8

第二个月