人教版九年级数学上《用列举法求概率》拓展练习.docx
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人教版九年级数学上《用列举法求概率》拓展练习
《用列举法求概率》拓展练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列4个条件：
①AB∥CD；②OB＝OD；③AD＝BC；④AD∥BC．从中任取两个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（5分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8B．9C．10D．12
4．（5分）李红与王英用两颗骰子玩游戏，但是她们别开生面，不用骰子上的数字．这两颗骰子的一些面涂上了红色，而其余的面则涂上了蓝色．
两人轮流掷骰子，游戏规则如下：
两颗骰子朝上的面颜色相同时，李红是赢家；
两颗骰子朝上的面颜色相异时，王英是赢家．
已知第一颗骰子各面的颜色为5红1蓝，如果要使两人获胜机会相等，那么第2颗骰子上蓝色的面数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（5分）同时投掷两个骰子，点数的和大于10的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球各一个，从中任意摸出一个放回搅匀，再摸出一个球，则两次摸出的球都是黄色的概率是 ．
7．（5分）如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．
8．（5分）有四条线段长度为3cm，5cm，7cm，9cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是
9．（5分）现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为函数y＝ax2+bx中a，b的值，那么所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是 ．
10．（5分）从﹣2，﹣1，0，1这四个数中任取两个不同的数作为一次函数y＝kx+b的一次项系数k和常数项b．那么一次函数y＝kx+b图象不经过第三象限的概率为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：
①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重新转一次，直到指针指向某一份内为止）．用列表法（或树状图）求出“两个指针所指的数字都是方程x2﹣3x+2＝0的解”的概率．
12．（10分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为
．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
13．（10分）钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率．
14．（10分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为
．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）；
（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
15．（10分）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标．
（1）求点A（a，b）的个数；
（2）求点A（a，b）在函数y＝x的图象上的概率．
《用列举法求概率》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列4个条件：
①AB∥CD；②OB＝OD；③AD＝BC；④AD∥BC．从中任取两个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
【解答】解：
有①与②，①与③，①与④，②与③，②与④，③与④六种情况，
①与④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
③与④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与②，②与④通过证明全等得到四边形的对角线互相平分，能推出四边形ABCD为平行四边形；
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有4组，
所以能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是
＝
．
故选：
C．
【点评】此题考查概率的求法：
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝
，解题的关键是掌握平行四边形的判定．
2．（5分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
画树状图得：
∵x2+px+q＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0，
∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的有（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1）共3种情况，
∴满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是：
＝
．
故选：
A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（5分）某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8B．9C．10D．12
【分析】可分4个位置，对于每个位置做出可能的判断，列出树状图即可．
【解答】解：
设4个班级分别为A、B、C、D，相对应的4个老师分别为a，b，c，d．
由图中可以看出，共有9种情况．
故选：
B．
【点评】本题考查了用列树状图的方法解决问题，注意应去掉本班教师监考本班学生的排法．
4．（5分）李红与王英用两颗骰子玩游戏，但是她们别开生面，不用骰子上的数字．这两颗骰子的一些面涂上了红色，而其余的面则涂上了蓝色．
两人轮流掷骰子，游戏规则如下：
两颗骰子朝上的面颜色相同时，李红是赢家；
两颗骰子朝上的面颜色相异时，王英是赢家．
已知第一颗骰子各面的颜色为5红1蓝，如果要使两人获胜机会相等，那么第2颗骰子上蓝色的面数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：
根据题意列表可得当第2颗骰子上蓝色的面数是3时，两人获胜的机会相等．故选D．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（5分）同时投掷两个骰子，点数的和大于10的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】用列表法列举出所有情况，看两个骰子点数的和大于10的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
列举如下表；
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
由表可得共有36种情况，两个骰子点数的和大于10的有3种情况，
所以点数的和大于10的概率为
＝
．
故选：
B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球各一个，从中任意摸出一个放回搅匀，再摸出一个球，则两次摸出的球都是黄色的概率是
．
【分析】这是一个两步完成，有放回的实验，用列表法列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
列表得：
绿
（红，绿）
（黄，绿）
（绿，绿）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
（绿，黄）
红
（红，红）
（黄，红）
（绿，红）
红
黄
绿
故一共有9种情况，两次摸出的球都是黄色的有一种，则两次摸出的球都是黄色的概率是
．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（5分）如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是
．
【分析】依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为
．
【解答】解：
由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下：
甲乙、甲丙、乙丙，
∵a2+2ab+b2＝（a+b）2，
∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，
∴能拼成一个正方形的概率为
，
故答案为：
．
【点评】本题考查列表法与树状图法、完全平方公式的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．（5分）有四条线段长度为3cm，5cm，7cm，9cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，并求出从中任意取三条线段能组成三角形的概率．
【解答】解：
由题意可得，
任取三条线段的所有可能性是：
（3，5，7）、（3，5，9）、（3，7，9）、（5，7，9），
可以组成三角形的可能性是：
（3，5，7）、（3，7，9）、（5，7，9），
∴从中任意取三条线段能组成三角形的概率是
．
【点评】本题考查列表法与树状图法、三角形的三边关系，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
9．（5分）现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为函数y＝ax2+bx中a，b的值，那么所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是
．
【分析】根据题意可以所有的可能性，根据所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率．
【解答】解：
由题意可得，
所有的可能性是：
（1，2）、（1，﹣1）、（1，﹣3）、（2，1）、（2，﹣1）、（2，﹣3）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（﹣1，﹣3）、（﹣3，1）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣1），
∵所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是：
，
故答案为：
．
【点评】本题考查列表法与树状图法、二次函数的性质、概率，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．
10．（5分）从﹣2，﹣1，0，1这四个数中任取两个不同的数作为一次函数y＝kx+b的一次项系数k和常数项b．那么一次函数y＝kx+b图象不经过第三象限的概率为
．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：
列表得：
（﹣2，1）
（﹣1，1）
（0，1）
﹣﹣
（﹣2，0）
（﹣1，0）
﹣﹣
（1，0）
（﹣2，﹣1）
﹣﹣
（0，﹣1）
（1，﹣1）
﹣﹣
（﹣1，﹣2）
（0，﹣2）
（1，﹣2）
∴k、b所有可能出现的结果有12种，
∵使得一次函数y＝kx+b图象不经过第三象限的有（0，1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，0），（﹣1，1），
∴使得一次函数y＝kx+b图象不经过第三象限的概率为
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率与一次函数的性质．解此题的关键是准确列表或画树形图，找出所有的可能情况，即可求得概率．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：
①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重新转一次，直到指针指向某一份内为止）．用列表法（或树状图）求出“两个指针所指的数字都是方程x2﹣3x+2＝0的解”的概率．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，求出所求概率即可．
【解答】解列表如下：
AB
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
方程x2﹣3x+2＝0的解为1，2，
由表知：
两个指针所指的数字都是方程x2﹣3x+2＝0的解的概率为
．
【点评】此题考查了列表法与树状图法以及解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（10分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为
．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
【分析】
（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到
，然后利用比例性质求出x即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：
（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得：
，
解得：
x＝1，
经检验：
x＝1是原分式方程的解，
∴口袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为：
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：
利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．（10分）钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率．
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：
将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，
树状图如图所示：
由树状图知共有12种等可能结果，其中抽取的2人来自不同班级的有8种结果，
所以抽取的2人来自不同班级的概率为
＝
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：
利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
14．（10分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为
．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）；
（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
【分析】
（1）设白球有x个，利用概率公式得到
＝
，然后解方程即可；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：
（1）设白球有x个，则可得
＝
，解得：
x＝2，
即白球有2个；
（2）画树状图得：
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，
所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝
＝
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：
利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
15．（10分）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标．
（1）求点A（a，b）的个数；
（2）求点A（a，b）在函数y＝x的图象上的概率．
【分析】
（1）根据题意采用列表法，即可求得所有点的个数；
（2）求得所有符合条件的情况，求其比值即可求得答案．
【解答】解：
（1）列表得：
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
∴点A（a，b）的个数是16；
（2）∵当a＝b时，A（a，b）在函数y＝x的图象上，
∴点A（a，b）在函数y＝x的图象上的有4种，
∴点A（a，b）在函数y＝x的图象上的概率是
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
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