版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数223第1课时反函数及对数函数的图象和性质学案湘教版必修1.docx

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版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数223第1课时反函数及对数函数的图象和性质学案湘教版必修1

第1课时　反函数及对数函数的图象和性质

[学习目标]　1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．

[知识链接]

1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．

2．指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象与性质.

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

过定点

过点（0,1），即x＝0时，y＝1

函数值的变化

当x＞0时，y＞1；

当x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；

当x＜0时，y＞1

单调性

是R上的增函数

是R上的减函数

[预习导引]

1．对数函数的概念

把函数y＝logax（x＞0，a＞0，a≠1）叫作（以a为底的）对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．

2．对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域

（0，＋∞）

值域

R

过点

过点（1,0），即x＝1时，y＝0

函数值的变化

当0＜x＜1时，y＜0；

当x＞1时，y＞0

当0＜x＜1时，y＞0；

当x＞1时，y＜0

单调性

是（0，＋∞）上的增函数

是（0，＋∞）上的减函数

3.反函数

（1）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）互为反函数．

（2）要寻找函数y＝f（x）的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f（y），再把y解出来，表示成y＝g（x）的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f（x）的反函数g（x）.

要点一　对数函数的概念

例1　指出下列函数哪些是对数函数？

（1）y＝3log2x；

（2）y＝log6x；

（3）y＝logx3；（4）y＝log2x＋1.

解　

（1）log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

（2）符合对数函数的结构形式，是对数函数．

（3）自变量在底数位置上，不是对数函数．

（4）对数式log2x后又加1，不是对数函数．

规律方法　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax（a＞0且a≠1）的形式，即必须满足以下条件

（1）系数为1.

（2）底数为大于0且不等于1的常数．

（3）对数的真数仅有自变量x.

跟踪演练1　若某对数函数的图象过点（4,2），则该对数函数的解析式为（　　）

A．y＝log2xB．y＝2log4x

C．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定

答案　A

解析　设对数函数的解析式为y＝logax（a＞0且a≠1），由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，

∴该对数函数的解析式为y＝log2x.

要点二　对数函数的图象

例2　如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，、，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为（　　）

A.、、、

B.、、、

C.、、、

D.、、、

答案　A

解析　方法一　先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、.故选A.

方法二　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、，故选A.

规律方法　函数y＝logax（a＞0且a≠1）的底数变化对图象位置的影响．

观察图象，注意变化规律：

（1）上下比较：

在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象向右越靠近x轴．

（2）左右比较：

比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．

跟踪演练2　

（1）函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（　　）

A．（1,2）B．（2,1）C．（－2,1）D．（－1,1）

（2）如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则（　　）

A．0＜a＜b＜1

B．0＜b＜a＜1

C．a＞b＞1

D．b＞a＞1

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）令x＋2＝1，即x＝－1，

得y＝loga1＋1＝1，

故函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（－1,1）．

（2）作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.

要点三　对数函数的定义域

例3　

（1）函数f（x）＝＋lg（1＋x）的定义域是（　　）

A．（－∞，－1）B．（1，＋∞）

C．（－1,1）∪（1，＋∞）D．（－∞，＋∞）

（2）若f（x）＝，则f（x）的定义域为（　　）

A.B.

C.∪（0，＋∞）D.

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）由题意知解得x＞－1且x≠1.

（2）由题意有

解得x＞－且x≠0.

规律方法　求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：

一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．

跟踪演练3　

（1）函数y＝ln（1－x）的定义域为（　　）

A．（0,1）B．[0,1）C．（0,1]D．[0,1]

（2）函数y＝的定义域是（　　）

A．（－1，＋∞）B．[－1，＋∞）

C．（－1,1）∪（1，＋∞）D．[－1,1）∪（1，＋∞）

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）因为y＝ln（1－x），所以

解得0≤x＜1.

（2）要使函数有意义，需

解得x＞－1且x≠1，

故函数的定义域为（－1,1）∪（1，＋∞），故选C.

要点四　反函数

例4　求下列函数的反函数：

（1）y＝2x－5；

（2）y＝；（3）y＝1＋e.

解　

（1）从x＝2y－5中解得y＝，即为所求；

（2）从x＝中解得y＝，即为所求；

（3）从x＝1＋e移项得x－1＝e.两端取自然对数得到ln（x－1）＝，解得y＝2ln（x－1），即为所求．

规律方法　要找寻函数y＝f（x）的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f（y），再把y解出来，表示成y＝g（x）的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f（x）的反函数g（x）．既然y＝g（x）是从x＝f（y）解出来的，必有f（g（x））＝x，这个等式也可以作为反函数的定义．

跟踪演练4　y＝lnx的反函数是________．

答案　y＝ex

解析　由y＝lnx，得x＝ey，所以反函数为y＝ex.

1．下列函数是对数函数的是（　　）

A．y＝loga（2x）　　　　　　B．y＝log22x

C．y＝log2x＋1D．y＝lgx

答案　D

解析　选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax（a＞0且a≠1）”的形式，只有D选项符合．

2．函数f（x）＝＋lg（3x＋1）的定义域是（　　）

A．（－，＋∞）B．（－∞，－）

C．（－，）D．（－，1）

答案　D

解析　由可得－＜x＜1.

3．函数y＝ax与y＝－logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象形状可能是（　　）

答案　A

解析　函数y＝－logax恒过定点（1,0），排除B项；

当a＞1时，y＝ax是增函数，

y＝－logax是减函数，排除C项，

当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，

y＝－logax是增函数，排除D项，A项正确．

4．若a＞0且a≠1，则函数y＝loga（x－1）＋1的图象恒过定点________．

答案　（2,1）

解析　函数图象过定点，则与a无关，

故loga（x－1）＝0，

所以x－1＝1，x＝2，y＝1，

所以y＝loga（x－1）＋1过定点（2,1）．

5．函数y＝lgx的反函数是________．

答案　y＝10x

解析　由反函数的定义知x＝10y，故反函数为y＝10x.

1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax（a＞0且a≠1）这种形式．

2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．

3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.

一、基础达标

1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是（　　）

A．0.5　　　　　　　　　　B．2

C．eD．π

答案　A

解析　∵函数y＝logax的图象单调递减，∴0＜a＜1，只有选项A符合题意．

2．函数f（x）＝lg（x－1）＋的定义域为（　　）

A．（1,4]B．（1,4）

C．[1,4]D．[1,4）

答案　A

解析　由解得1＜x≤4.

3．在同一坐标系中，函数y＝log3x与y＝的图象之间的关系是（　　）

A．关于y轴对称B．关于x轴对称

C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称

答案　B

解析　∵y＝＝－log3x，∴函数y＝log3x与y＝的图象关于x轴对称．

4．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞cB．c＞b＞a

C．c＞a＞bD．a＞c＞b

答案　D

解析　y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0,1），又易知c＞b，故a＞c＞b.

5．已知函数f（x）＝那么f（f（））的值为（　　）

A．27　　　　B.C．－27　　　D．－

答案　B

解析　f（）＝log2＝log22－3＝－3，f（f（））＝f（－3）＝3－3＝.

6．已知对数函数f（x）的图象过点（8，－3），则f

（2）＝________.

答案　－

解析　设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），

则－3＝loga8，∴a＝.

∴f（x）＝logx，f

（2）＝log

（2）

＝－log2

（2）＝－.

7．求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝lg（x－2）＋；

（2）f（x）＝log（x＋1）（16－4x）．

解　

（1）要使函数有意义，需满足

解之得x＞2且x≠3.∴函数定义域为（2,3）∪（3，＋∞）．

（2）要使函数有意义，需满足

解之得－1＜x＜0或0＜x＜4.

∴函数定义域为（－1,0）∪（0,4）．

二、能力提升

8．设函数f（x）＝log2x的反函数为y＝g（x），且g（a）＝，则a等于（　　）

A．2　　　　B．－2C.　　　　D．－

答案　B

解析　∵函数f（x）＝log2x的反函数为y＝2x，即g（x）＝2x.

又∵g（a）＝，∴2a＝，∴a＝－2.

9．若函数f（x）＝loga（x＋b）的图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）＝ax＋b的图象大致是（　　）

答案　D

解析　由函数f（x）＝loga（x＋b）的图象可知，函数f（x）＝loga（x＋b）在（－b，＋∞）上是减函数．

所以0＜a＜1且0＜b＜1.所以g（x）＝ax＋b在R上是减函数，故排除A，B.由g（x）的值域为（b，＋∞）．所以g（x）＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.

10．若log2a<0，则a的取值范围是____________．

答案　

解析　当2a>1时，∵log2a<0＝log2a1