元胞自动机.docx
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元胞自动机
元胞自动机
又称"生命游戏"
诞生:
从游戏到科学
元胞自动机本来是现代计算机之父———冯·诺伊曼（VonNeumann）及其追随者提出的想法,但是Wolfram却将这种带有强烈的纯游戏色彩的原始想法从学术上加以分类整理,并使之最终上升到了科学方法论。
元胞自动机的基础就在于“如果让计算机反复地计算极其简单的运算法则,那么就可以使之发展成为异常复杂的模型,并可以解释自然界中的所有现象”的观点。
受挫:
主流眼中的异端
20世纪80年代这一理论成了人们议论的话题,比如“雪花的结晶”、“海螺的图案”或者“基于相对论的扭曲时空”等自然界的各种各样的模型都确实可以由这种“反复计算”而生成,这一切不断地证明了Wolfram的观点。
但是他的观点当时却被科学界中的主流斥为“异端”。
淡出:
十年磨一剑
此后,Wolfram开发了名为Mathematica的、在工作站上使用的Calculus（以微积分为主的解析计算）工具,并在商业上获得了成功,由此也积累了相当的财富。
他利用这笔财富成立了专用于科学计算的Mathematica软件开发公司,该公司进入正常发展轨道后,他实际上就已经脱离了经营领域。
进入90年代后Wolfram完全沉默了。
悠然自得的他把生活中的全部时间都用在了思考和计算上,专心致志地从事阐明宇宙原理的工作。
作为10年的努力成果而产生的就是这部《一种新科学》,甚至有人传言就连Wolfram本人也自信地表示,这部著作是“与牛顿发现的万有引力基本原理相媲美的科学金字塔”。
颠覆:
学科分类
根据《一种新科学》中的观点,认为截目前数千年来发展而成的全部科学从某种意义上讲,依赖的是一种完全无法预测的方法。
从物理学、化学、生物学到心理学,甚至各种社会学等现有学术领域本来就不应该进行如此分类。
这些科学领域中各种各样的现象,说到底实际上都在受同一种运算法则的支配,利用各种方法对此反复计算就可以生成各种领域的复杂现象。
Wolfram认为,“支持整个宇宙的原理无非就是区区几行程序代码”。
从“完全打破现有的学术体系,按照完全不同的原理来理解自然界”的意义出发,新作被命名为《一种新科学》。
核心:
计算机万能
也可以把Wolfram的观点称作是计算机万能理论。
以物理学和数学为中心的传统科学是以方程式为基础而演绎推导出来的,但是在自动机方面,则是通过反复计算单纯的程序代码,也可以说是递归推导而出的。
在牛顿生活的17世纪,由于还没有像现在一样的先进计算机,因此当时的科学家不得不依赖于演绎的方法（算式计算）。
这一切也可以说是历史上的必然、科学上的偶然。
Wolfram认为:
真正意义上的正确的科学方法是利用像现有那样的计算机来进行的算法运算。
一、元胞自动机的定义
元胞自动机（CellularAutomaton,简称CA,也有人译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或单元自动机）。
是一时间和空间都离散的动力系统。
散布在规则格网（LatticeGrid）中的每一元胞（Cell）取有限的离散状态,遵循同样的作用规则,依据确定的局部规则作同步更新。
大量元胞通过简单的相互作用而构成动态系统的演化。
不同于一般的动力学模型,元胞自动机不是由严格定义的物理方程或函数确定,而是用一系列模型构造的规则构成。
凡是满足这些规则的模型都可以算作是元胞自动机模型。
因此,元胞自动机是一类模型的总称,或者说是一个方法框架。
二、元胞自动机的特征
CA法有以下几个特征:
（1）同质性、齐性,同质性反映在元胞空间内的每个元胞的变化都服从相同的规律,即元胞自动机的规则,或称为转换函数;而齐性指的是元胞的分布方式相同,大小、形状相同,空间分布规则整齐;
（2）空间离散:
元胞分布在按照一定规则划分的离散的元胞空间上;
（3）时间离散:
系统的演化是按照等间隔时间分步进行的,时间变量t只能取等步长的时刻点,形似整数形式的t0,t十l,t十2…,而且,t时刻的状态构形只对其下一时刻,即t+1时刻的状态构形产生影响,而t+2时刻的状态构形完全决定于t+1的状态构形及定义在上面的砖换函数。
元胞自动机的时间变量区别于微分方程中的时间变量t,那里t通常是个连续值变量;
（4）状态离散有限:
元胞自动器的状态只能取有限（k）个离散值（s1,s2,...,sk）。
相对于连续状态的动力系统,它不需要经过粗粒化处理就能转化为符号序列。
而在实际应用中,往往需要将有些连续变量进行离散化,如分类,分级,以便于建立元胞自动机模型;
（5）同步计算（并行性）:
各个元胞的在时刻ti+1的状态变化是独立的行为,相互没有任何影响。
若将元胞自动机的构形变化看成是对数据或信息的计算或处理,则元胞自动机的处理是同步进行的,特别适合于并行计算;
（6）时空局部性:
每一个元胞的下一时刻ti+1的状态,取决于其周围半径为r的邻域（或者其它形式邻居规则定义下的邻域）中的元胞的当前时刻ti的状态,即所谓时间、空间的局部性。
从信息传输的角度来看,元胞自动机中信息的传递速度是有限的;
（7）维数高:
在动力系统中一般将变量的个数成为维数。
例如,将区间映射生成的动力系统称为一维动力系统;将平面映射生成的动力系统称为二维动力系统;对于偏微分方程描述的动力系统则称为无穷维动力系统。
从这个角度来看,由于任何完备元胞自动机的元胞空间是定义在一维、二维或多维空间上的无限集,每个元胞的状态便是这个动力学系统的变量。
因此,元胞自动机是一类无穷维动力系统。
在具体应用中或计算机模拟时当然不可能处理无限个变量,但一股也总是处理数量很大的元胞组成的系统。
因此可以说维数高是元胞自动机研究中的一个特点。
三、元胞自动机的组成
元胞自动机最基本的组成元胞、元胞空间、邻居及规则四部分。
简单讲,元胞自动机可以视为由一个元胞空间和定义于该空间的变换函数所组成。
1.元胞
元胞又可称为单元。
或基元,是元胞自动机的最基本的组成部分。
元胞分布在离散的一维、二维或多维欧几里德空间的晶格点上。
2.状态
状态可以是{0,1}的二进制形式。
或是{s0,s2,……si……sk}整数形式的离散集,严格意义上,元胞自动机的元胞只能有一个犬态变量。
但在实际应用中,往往将其进行了扩展。
例如每个元胞可以拥有多个状态变量。
3.元胞空间（Lattice）
元胞所分布在的空间网点集合就是这里的元胞空间。
（l）元胞空间的几何划分:
理论上,它可以是任意维数的欧几里德空间规则划分。
目前研究多集中在一维和二维元胞自动机上。
对于一维元抱自动机。
元胞空间的划分只有一种。
而高维的元胞自动机。
元胞空间的划分则可能有多种形式。
对于最为常见的二维元胞自动机。
二维元胞空间通常可按三角、四万或六边形三种网格排列（图2-5）。
这三种规则的元胞空间划分在构模时各有优缺点:
三角网格的优点是拥有相对较少的邻居数目,这在某些时候很有用;其缺点是在计算机的表达与显示不方便,需要转换为四方网格。
四方网格的优点是直观而简单,而且特别适合于在现有计算机环境下进行表达显示;其缺点是不能较好地模拟各向同性的现象,例如后面提到的格子气模型中的HPP模型。
六边形网格的优点是能较好地模拟各向同性的现象,因此,模型能更加自然而真实,如格气模型中的FHP模型;其缺点同三角网格一样,在表达显示上较为困难、复杂。
（2）边界条件:
在理论上,元胞空间通常是在各维向上是无限延展的,这有利于在理论上的推理和研究。
但是在实际应用过程中,我们无法在计算机上实现这一理想条件,因此,我们需要定义不同的边界条件。
归纳起来,边界条件主要有三种类型:
周期型、反射型和定值型。
有时,在应用中,为更加客观、自然地模拟实际现象,还有可能采用随机型,即在边界实时产生随机值。
周期型（PehodicBoundary）是指相对边界连接起来的元胞空间。
对于一维空间,元胞空间表现为一个首尾相接的"圈"。
对于二维空间,上下相接,左右相接。
而形成一个拓扑圆环面（Torus）,形似车胎或甜点圈。
周期型空间与无限空间最为接近,因而在理论探讨时,常以此类空间型作为试验。
反射型（ReflectiveBoundary）指在边界外邻居的元胞状态是以边界为轴的镜面反射。
例如在一维空间中,当r=1时的边界情形:
定值型（ConstantBoundary）指所有边界外元胞均取某一固定常量,如0,1等。
需要指出的是,这三种边界类型在实际应用中,尤其是二维或更高维数的构模时,可以相互结合。
如在二维空间中,上下边界采用反射型,左右边界可采用周期型（相对边界中。
不能一方单方面采用周期型）。
（3）构形:
在这个元胞、状态、元胞空间的概念基础上,我们引入另外一个非常重要的概念,构形（Configuration）。
构形是在某个时刻,在元胞空间上所有元胞状态的空间分布组合。
通常。
在数学上,它可以表示为一个多维的整数矩阵。
4.邻居（Neighbor）
以上的元胞及元胞空间只表示了系统的静态成分,为将"动态"引入系统,必须加入演化规则。
在元胞自动机中,这些规则是定义在空间局部范围内的,即一个元胞下一时刻的状态决定于本身状态和它的邻居元胞的状态。
因而,在指定规则之前,必须定义一定的邻居规则,明确哪些元胞属于该元胞的邻居。
在一维元胞自动机中,通常以半径,来确定邻居,距离一个元胞,内的所有元胞均被认为是该元胞的邻居。
二维元胞自动机的邻居定义较为复杂,但通常有以下几种形式（我们以最常用的规则四方网格划分为例）。
见图2-6,黑色元胞为中心元胞,灰色元胞为其邻居,它们的状态一起来计算中心元胞在下一时刻的状态。
l）冯-诺依曼（Von.Neumann）型
一个元胞的上、下、左、有相邻四个元胞为该元胞的邻居。
这里,邻居半径r为1,相当于图像处理中的四邻域、四方向。
其邻居定义如下:
vixviy表示邻居元胞的行列坐标值,vox表示中心元胞的行列坐标值。
此时,对于四方网格,在维数为d时,一个元胞的邻居个数为2d。
2）摩尔（Moore）型
一个元胞的上、下、左、右、左上、右上、右下、左下相邻八个元胞为该元胞的邻居。
邻居半径r同样为1,相当于图像处理中的八邻域、八方向。
其邻居定义如下:
vixviyvox意义同前。
此时,对于四方网格,在维数为d时。
一个元胞的邻居个数为（3d-1）。
3）扩展的摩尔（Moore）型
将以上的邻居半径r扩展为2或者更大,即得到所谓扩展的摩尔型邻居。
其数学定义可以表示为:
此时,对于四方网格,在维数为d时,一个元胞的邻居个数为（（2r十1）d-1）。
4）马哥勒斯（Margolus）型
这是一种同以上邻居模型迥然不同的邻居类型,它是每次将一个2x2的元胞块做统一处理,而上述前三种邻居模型中,每个元胞是分别处理的。
这种元胞自动机邻居是由于格子气的成功应用而受到人们关注的,关于这种邻居模型的详细介绍,请参照本文对格子气动机的介绍。
5.规则（Rule）
根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该元胞状态的动力学函数,简单讲,就是一个状态转移函数。
我们将一个元胞的所有可能状态连同负责该元胞的状态变换的规则一起称为一个变换函数。
这个函数构造了一种简单的、离散的空间/时间的局部物理成分。
要修改的范围里采用这个局部物理成分对其结构的"元胞"重复修改。
这样,尽管物理结构的本身每次都不发展。
但是状态在变化。
它可以记为f:
sit+1=f（sit,sNt）,sNt为t时刻的邻居状态组合,我们称f为元胞自动机的局部映射或局部规则。
6.时间（Time）
元胞自动机是一个动态系统,它在时间维上的变化是离散的,即时间f是一个整数值,而且连续等间距。
假设时间间距dt=1,若t=O为初始时刻。
那么。
t=1为其下一时刻。
在上述转换函数中,一个元胞在t十1的时刻只（直接）决定于t时刻的该元胞及其邻居元胞的状态,虽然,在t-1时刻的元胞及其邻居元胞的状态间接（时间上的滞后）影响了元胞在t+1的时刻的状态。
由以上对元胞自动机的组成分析,我们可以更加深入地理解元胞自动机的概念。
用数学符号来表示,标准的元胞自动机是一个四元组:
A=（Ld,S,N,f）
这里A代表一个元胞自动机系统;L表示元胞空间,d是一正整数,表示元胞自动机内元胞空间的维数;S是元胞的有限的、离散的状态集合;N表示一个所有邻域内元胞的组合（包括中心元胞）,即包含n个不同元胞状态的一个空间矢量,记为:
N=（s1,s2,...,sn）
n是元胞的邻居个数。
si∈Z（整数集合）,i∈{1,...,n};f表示将Sn映射到S上的一个局部转换函数。
所有的元胞位于d维空间上,其位置可用一个d元的整数矩阵Zd来确定。
四、元胞自动机的应用
元胞自动机可用来研究很多一般现象。
其中包括通信、信息传递（Communicahon）、计算（Compulation）、构造（ConsTruction）、生长（Growth）、复制（Reproductionj、竞争（Competition）与进化（Evolution）等。
同时。
它为动力学系统理论中有关秩序（Ordering）、紊动（Turbulence）、混沌（Chaos）、非对称（Symmetry-Breaking）、分形（Fractality）等系统整体行为与复杂现象的研究提供了一个有效的模型工具。
元胞自动机自产生以来,被广泛地应用到社会、经济、军事和科学研究的各个领域。
应用领域涉及社会学、生物学、生态学、信息科学、计算机科学、数学、物理学、材料学、化学、地理、歹境、军事学等。
在社会学中,元胞自动机用于研究经济危机的形成与爆发过程、个人行为的社会性,流行现象,如服装流行色的形成等。
在生物学中,元胞自动机的设计思想本身就来源于生物学自繁殖的思想,因而它在生物学上的应用更为自然而广泛。
例如元胞自动机朋于肿瘤细胞的增长机理和过程模拟、人类大脑的机理探索、爱滋病病毒HIV的感染过程、自组织、自繁殖等生命现象的研究以及最新流行的克隆（Clone）技术的研究等。
在生态学中。
元胞自动机用于兔子-草,鲨鱼-小鱼等生态动态变化过程的模拟,展示出令人满意的动态效果;元胞自动机还成功地应用于蚂蚁、大雁、鱼类洄游等动物的群体行为的模拟;另外,基于元胞自动机模型的生物群落的扩散模拟也是当前的一个应用热点。
在信息学中。
元胞自动机用于研究信息的保存、传递、扩散的过程。
另外,二维元胞自动机还可应用到图像处理和模式识别中。
在计算机科学中。
元胞自动机可以被看作是并行计算机而用于并行计算的研究。
另外。
元胞自动机还应用于计算机图形学的研究中。
在数学中,元胞自动机可用来研究数论和并行计算。
在物理学中,除了格子气元胞自动机在流体力学上的成功应用。
元胞自动机还应用于磁场、电场等场的模拟,以及热扩散、热传导和机械波的模拟。
另外。
元胞自动机还用来模拟雪花等枝晶的形成。
在材料学中,材料科学的基本问题之一便是材料的显微组织形态及其演变规律。
对于这类复杂的、动态的、带有随机性的问题一直缺乏定量的数学描述,元胞自动机方法在这方面的长处尤为突出。
H.W.Hesselbarth和I.R.Goble在1991年成功地利用元胞自动机方法模拟了二维情况下的再结晶过程他们利用元胞自动机模型研究了模拟再结晶形核和核长大的动力学模型和其不同的参数和算法对再结晶行为的影响。
在化学中,元胞自动机可用来通过模拟原子、分子等各种微观粒子在化学反应中的相互作用,而研究化学反应的过程。
例如李才伟（1997）应用元胞自动机模型成功模拟了由耗散结构创始人I·Prgogine所领导的Brussel学派提出的自催化模型---Brusselator模型,又称为三分子模型。
Y·BarYam等人利用元胞自动机模型构造了高分子的聚合过程模拟模型,在环境科学上,有人应用元胞自动机来模拟海上石油泄露后的油污扩散、工厂周围废水、废气的扩散等过程的模拟。
在军事科学中,元胞自动机模型可用来进行战场的军事作战模拟,提供对战争过程的理解。
元胞自动机作为一种动态模型,更多的是作为一种通用性建模的方法,其应用几乎涉及社会和自然科学的各个领域。
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