数理经济学56618.docx

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数理经济学56618

第九章约束最优化

董志勇

北京大学经济学院

数学上讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，那就是函数的自变量要受到某些条件的限制。

例如，决定一给定点到一曲面的最短距离的问题，就是这种情形。

我们知道点到点的距离平方。

现在的问题，就是要求出曲面上的点使最小。

因此，问题可以归结为求函数在条件的限制下的最小值问题。

又如，在总和为的个正数的数组中，求一组数，使函数值为最小，这也就是在条约束条件的限制下，求函数的极小值问题。

9．1约束极值与自由极值

在经济学中，我们考察一个简单的效用函数

（9.1）

因为它的边际效用——偏导数和——对所有的正的和均为正，要使最大化而不施加任何约束，该消费者需购买无穷多数量的两种商品，此解显然没有任何实际意义。

为使此最优化问题有意义，我们必须考虑消费者的购买力问题，即把预算约束纳入问题中。

如果消费者在两种商品上准备支付的总额为60元，两种商品价格分别为和，则预算约束线用线性方程表示为：

（9.2）

这个约束，使得和的选择相互依赖。

现在的问题是在（9.2）的约束下，使（9.1）最大化。

从数学上看，约束（也称限制、边条件或附加条件）的作用在于缩小定义域，从而缩小目标函数的值域。

（9.1）的定义域在正常情况下为集合。

从图形上看，此定义域是由图9.1

（1）中平面中的第一象限表示的。

但加上预算约束（12.2）以后，定义域立即缩减为位于预算线上点的集合。

这自然也会影响到目标函数的值域，只有位于预算约束线正上方的效用曲面的子集，才是相关的值域。

刚才提到的子集（曲面的截痕）看起来像图9.1

（2）中的曲线，其中标在纵轴上，而

（1）中的预算线则绘在横轴上。

那么，我们感兴趣的是确定

（2）中曲线的最大值。

一般而言，对于函数，约束极值与自由极值的差别可以通过图9.2中的三维图形来描述。

在此特定图形中，自由极值是整个山丘的峰值，而约束极值是位于约束正上方的倒形曲线的峰值。

一般情况下，可以预期约束极值要小于自由极值，尽管偶然情况下它们也可能恰巧相等。

但约束极值永远不会大于自由极值。

值得注意的是，如果我们增加另一个约束，此约束与第一个约束在平面上相交于一点，则两个约束的结合是定义域限定在这个点上。

因而确定极值变得极其简单。

在一个有意义的问题中，约束的数量和性质应当是限制选择的可能性，而不是排除选择的可能性。

一般而言，约束的数量应该少于选择变量的数量。

上面所描述的这类问题都叫做约束极值问题。

9．2求稳定值

现在先来讨论一下如果不应用新的求解方法应该如何解决该类问题。

设函数具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元只见又受到以下的约束条件的限制：

其中函数和都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的雅克比行列式

我们要求函数在约束条件下的极值。

先来考虑极值的必要条件。

若函数在某一点达到极值，这里的满足约束条件。

设想从方程组中将解出来，以即

那么问题就转化为考察函数的直接极值问题，而它的必要条件在极值点处函数的全微分为零。

在由一阶微分的形势不变形，得必要条件为：

（9.3）

但要注意，在这里变元之间并非相互独立变化的，而是受约束条件限制。

因此，它们的微分之间也将满足一定的关系，这个关系只要将约束条件求微分，得：

（9.4）

（9.5）

这样我们就得到，若函数在某点达到条件极值，那么在这一点上应同时满足微分关系式（9.3），（9.4），（9.5）。

很自然会想到这样一个方法，，那就是从两个约束条件中接出两个变量，例如解出代入中，成为两个变量和的函数，然后再求出极值。

这样做虽然在理论上也说得通，但实际做起来却往往较为复杂甚至无法做到。

至于上述所讲的效用最大化问题，不用新的求解方法它的约束极值也可以很轻松的求出。

从约束条件（9.2）可知：

（9.2’）

我们可以通过把（9.2’）代入（9.1）而将约束条件与目标函数结合起来。

结果得到一个具有一元变量的目标函数：

令，可以得到解，则可知道，，又因为二阶导数，所以即是约束最大值。

但是，如果约束函数本身是一个复杂的函数，或者存在几个需要考察的函数时，以代入法和消元法求解变得非常麻烦。

更重要的是，如果我们不能通过约束方程把一个变量表示为另一个变量的显函数，那么消元法就很难起作用。

因此，一般采取下面的方法，叫做拉格朗日乘数法。

以1分别乘（9.3），（9.4），（9.5）式在相加，得

（9.6）

称为拉格朗日乘数，也称为待定乘数。

由于

总能求得不全为零的和，使

（9.7）

（9.8）

此时，（4）式化为

由于和是相互独立的，要使上式成立，必须

（9.9）

（9.10）

可见，如果函数在某点达到条件极值，则在该点处应满足六个关系式（5），（6），（7），（8）及。

现在引入函数，它称为拉格朗日函数：

我们知道，函数的直接极值的必要条件为

这正好就是方程（5），（6），（7），（8）。

从这四个方程再加上，可解出函数的可能约束极值点及待定乘数。

这里可以看到，利用拉格朗日乘数法，就将求函数的约束极值问题化为求函数的直接极值问题。

这也就是说，为了找出的所有可能的条件极值点，首先作出拉格朗日函数，再由，

连同约束条件解出及，这里就是使可能达到极值的点。

对于目标函数（9.1）和约束条件（9.2），我们先写出其拉格朗日函数，它是容纳了约束条件的目标函数的一种变形：

（9.11）

为拉格朗日乘数。

如果能设法确定，约束条件得到满足，那么，不管取何值，（9.11）的最后一项都为零。

在此情况下，将等于。

这样，避开了约束条件，对两个变量和，我们就可以求的自由极值来替代约束极值。

由前面的分析，我们联立下面的方程组：

（9.12）

解（9.12），求出。

可见，和与用代入法算出的结果是一致的。

例求函数满足约束条件的极值。

解：

解出：

，从而可知。

在我们确定它为极大值还是极小值之前，还需要对其进行二阶条件检验。

全微分法

在讨论的自由极值时，我们知道一阶必要条件可按全微分表示如下：

（9.13）

这种表述在加入约束后仍成立，但是和不再是“独立”变化的了。

因为若，则

（9.14）

从这个式子可以看出和是相关。

从前几章的分析知，极值存在的一阶必要条件变成，由（9.13）和（9.14）可知，为了满足这一条件：

（9.15）

（9.15）和联立可以得到和的临界值。

为了考察全微分法和拉格朗日法是否能得出一致的一阶条件，我们将结果与前面的结论进行比较。

（3）是重复约束条件，新结果自然也满足。

（1）和

（2）可以重新写为

这与（9.15）也是一致的。

但需要注意的是，全微分法只能得到和值；而拉格朗日法还可以求出值。

而这个拉格朗日乘数值的意义下面会论述。

拉格朗日乘数的解释

首先我们对一阶条件

进行比较静态分析。

都是内生变量，唯一合适的外生变量是约束参数。

是变化会导致平面中约束条件的变化，从而导致最优值的变化。

特别的，的增加（预算增加或生产配额增加）的影响表明约束放宽如何影响最优值。

要进行比较静态分析，我们仍需要运用隐函数定理。

将上式

（1）、

（2）、（3）表示为的形式，并假定其具有连续的偏导数，我们首先检验下列内生变量雅克比行列式

（9.16）

在最优状态下不为零。

当然，此时我们对此还一无所知。

但是根据前面的关于最优化问题比较静态分析的经验表明，这个雅克比行列式于二阶充分条件密切相关，且如果满足充分条件，则雅克比行列式在均衡状态下不为零。

我们把对此的证明留在以后分析。

下面在的假设下推导下面的内容。

，我们可以将、和表示成参数的隐函数：

`（9.17）

它们均具有连续的导数。

除此之外，我们还有恒等式

（9.18）

现在的最优值取决于、和，即

（9.19）

由（9.17），我们可以将视为的函数，将对全微分，可以得到：

其中均在最优处取值。

根据（9.18），因此可以得到一个简单的结果

（9.20）

于是我们得出了结论：

拉格朗日乘数的解值是由参数引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。

值得注意的是，中的最后一项不能写成。

个变量和多重约束的情况

像前面几章讨论的一样，我们可以将拉格朗日乘数法推广至个变量的情况。

这样，目标函数变为

满足约束条件

拉格朗日函数相应变为

其一阶条件为下述个方程联立而成

当存在不止一个的约束条件时，如果在拉格朗日函数中引入数量与约束条件相同的乘数，我们同样可以应用拉格朗日乘数法。

令个变量函数同时满足以下两个约束

和

用和表示两个待定乘数，因此可以构建如下拉格朗日函数

若满足两个约束条件，拉格朗日函数中的后两项都为零，则此函数与原目标函数有相同的值。

将和视为两个变量，则现在共有个变量，因此这种条件下的一阶条件为

以上的讨论都是约束条件是等式的情况，下面就要讨论讨论约束条件是不等式的情况。

如果约束条件是不等式的形式，即

或

这就要将约束条件中引进一个非负变量（通常用表示），把上述约束不等式变为等式的形式

或

这个非负变量叫做松弛变量。

这种方法也被称为松弛变量法。

下面举例说明。

例求目标函数在约束条件下的条件极值。

解：

约束条件可以写为

我们引入松弛变量将这个不等式转化为等式

写出拉格朗日函数为

一阶条件为

解得。

由此可知，的稳定值是。

为了判定稳定值是极大值还是极小值，还要判断的正负号。

下面我们进一步讨论二阶条件。

但是需要注意的是，由于一阶微分的形式不变性，自由极值的一阶条件可以直接运用到约束极值问题中去。

但是二阶条件却不可以。

因为对于拉格朗日乘数来说不是标准的极值问题。

从（9.19）中可以看出，不同于和，如果发生变化，并不随之变化。

因为恒等于零！

因此，我们不能随便的把自由极值中使用的二阶条件应用于现有约束条件的情况。

我们必须要推导出新的二阶条件。

由于（9.14）可知，和不是独立变化的。

在这里，我们仍然把当成是任意变化的量。

但必须被视为是取决于的量，且总满足。

但另一个角度看，当设定后，将取决于和，但因为导数和取决于和，所以也取决于和。

而前面所讲的自由极值中的的公式是以和是任意值为基础的，所以它现在不再适用了。

为求出的正确表达式，我们在微分时要将看作是依赖于和的变量。

因为第三项和第六项可以化简为

所以所求的的表达式为

（9.21）

它与自由极值的表达式的不同之处在于最后一项，。

由于最后一项是（为一次的），所以不是二次型。

但利用约束，可以将变换为二次型。

解这个方程得到，再将此结果代入（9.21），将写成如下的二次型：

又由于

（9.22）

由此，我们可以将更简洁的表示为

（9.21’）

（9.21’）的系数就是拉格朗日函数关于和的二阶偏导数，因此，它们可以产生一个海塞行列式

9．3二阶条件

下面我们来看一看它的二阶条件。

对于，满足约束条件的约束极值，其二阶必要条件和充分条件仍由稳定点的二阶全导数的代数符号决定。

但是要注意，这里关注的不是对和（不同时为零）的所有可能值的的有定性或半定性符号，而是满足线性约束（9.14），即的那些和（不同时为零）值的的符号。

因此，二阶必要条件为：

对于的极大值：

为半负定，满足

对于的极小值：

为半正定，满足

二阶充分条件为：

对于的极大值：

为负定，满足

对于的极小值：

为正定，满足

下面，我们将集中讨论二阶充分条件。

由于满足的仅仅构成了和可行集合中的一个子集，因此约束的有定性符号与上一章所讨论的非约束的有定性符号想必是不严格的，即更易于满足，换而言之，约束极值的二阶充分条件比自由极值的条件要弱，这是一个好消息，因为充分条件与必要条件不同，必要条件必须非常严格以使