高中物理专题复习《带电粒子在磁场组合场和复合场中的运动》.docx

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高中物理专题复习《带电粒子在磁场组合场和复合场中的运动》

专题四　带电粒子在磁场、组合场和复合场中的运动

课题任务

　带电粒子在有界磁场中的运动

1．带电粒子在几种常见的不同边界磁场中的运动规律

（1）直线边界磁场：

如图所示，粒子进出磁场具有对称性，且粒子以多大的锐角θ射入磁场，就以多大的锐角θ射出磁场；粒子进入磁场时的速度v垂直于边界时，出射点距离入射点最远，且dmax＝2R，如图甲所示；同一出射点，可能对应粒子的两个入射方向，且一个“优弧”，一个“劣弧”，如图乙、丙所示。

（2）平行边界磁场：

常见的临界情景和几何关系如图所示。

（3）矩形边界磁场：

如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

（4）三角形边界磁场：

如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。

已知边长为2a，D点距A点

a，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。

（5）圆形边界磁场

带电粒子在圆形边界磁场区域运动的几个特点：

①若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心（即沿着另一半径方向射出），如图甲所示。

②若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所示。

2．解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法

解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是解题的关键。

解决此类问题时应注意下列结论：

（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

（2）当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。

（3）当比荷相同、速率v变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子圆心角越大，运动时间越长。

例1　（多选）长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间的距离为L，板不带电，一质量为m、电荷量为q带正电的粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是（　　）

A．使粒子的速度v<

B．使粒子的速度v＞

C．使粒子的速度v＞

D．使粒子的速度

＜v＜

[规范解答]　要使粒子不打在极板上，那么粒子可从极板的右边或者左边穿出磁场，依据题意，粒子恰好打在极板上的临界状态如图所示，

即从极板左边B点或者右边A点穿出磁场，根据几何关系有：

r

＝L2＋

2，得r2＝

，同理可得r1＝

，根据r＝

得：

v1＝

，v2＝

，那么欲使粒子不打在极板上应有：

v＜

或v＞

，A、C正确。

[完美答案]　AC

此题为矩形有界磁场，涉及与边界相切、相交等临界问题，这里是粒子轨迹与上边界相切、相交。

这里还要注意正确根据临界条件得出速度范围。

　如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0,2L）。

一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°。

下列说法正确的是（　　）

A．电子在磁场中运动的时间为

B．电子在磁场中运动的时间为

C．磁场区域的圆心坐标为

D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－L）

答案　A

解析　由题意画出电子的轨迹如图，

由几何关系可知电子的偏转角为

，做圆周运动的半径为r＝4L，故电子在磁场中运动的时间为t＝

＝

，A正确，B错误；设电子在磁场中做圆周运动的圆心为O′，由几何关系知其坐标为（0，－2L），根据几何关系可知，磁场区域的圆心在a、b连线的中点，故其坐标为（

L，L），所以C、D错误。

课题任务

　带电粒子在磁场中运动的多解问题

1．带电粒子电性不确定形成多解

如图所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。

2．磁场方向不确定形成多解

题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向。

如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。

3．临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，如图所示，于是形成了多解。

特别提醒：

许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时一定要抓住此类特定的词语，挖掘出隐藏的信息，找出临界条件。

4．运动的周期性形成多解

带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。

例2　如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。

设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。

有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。

已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。

求：

（1）磁感应强度B0的大小；

（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，求正离子射入磁场时的速度v0的可能值。

[规范解答]　

（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力qv0B0＝

①

做匀速圆周运动的周期T0＝

②

联立①②两式得磁感应强度B0＝

。

（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，离子到达O′时必须经过整数个周期。

如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有r＝

，当两板之间正离子运动n个周期，即nT0时，有r＝

（n＝1,2，3…）。

与②式联立求解，得正离子的速度的可能值为v0＝

（n＝1,2,3…）。

[完美答案]　

（1）

（2）

（n＝1,2,3…）

1．求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧

（1）分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。

（2）作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。

（3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。

2．处理“粒子源”临界极值问题的常见方法

（1）动态放缩法：

当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨迹半径r随之变化。

在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入矩形边界磁场的情景。

（2）定圆旋转法：

当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边有界磁场时的情景。

（3）定圆平移法：

速度大小和方向相同的一排相同粒子垂直直线边界进入匀强磁场，各粒子的轨迹圆弧可以由一个粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到（如图所示）。

　如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。

一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。

现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。

那么下列说法中正确的是（　　）

A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0

B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为

C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为

D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为

答案　C

解析　作出从ab边射出的临界轨迹①、从bc边射出的临界轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的临界轨迹④。

由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。

由图可知，

从ab边射出经历的时间一定不大于

；从bc边射出经历的时间一定不大于

；从cd边射出经历的时间一定是

；从ad边射出经历的时间一定不大于

。

故C正确。

课题任务

　带电粒子在组合场中的运动

1．组合场

电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。

2．两种场力的特点

（1）静电力的方向与电场方向相同或相反，静电力做功与路径无关，静电力做的功等于电势能的变化量。

（2）洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关，方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面。

无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力始终不做功。

3．运动特点

分阶段运动，带电粒子可能依次通过几个情况不同的场区，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。

4．“电偏转”和“磁偏转”的比较

续表

例3　如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0的空间中存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。

一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝2h处的P3点。

不计重力。

求：

（1）粒子到达P2时速度的大小和方向；

（2）磁感应强度的大小。

[规范解答]　

（1）先作出粒子运动的示意图如图，

粒子在电场中做类平抛运动，将出电场（进磁场）的速度线进行反向延长，由平抛运动的推论可知：

末速度的反向延长线交于水平位移的中点处

，由此可见粒子到达P2时的速度（进入磁场的初速度）与x轴的夹角为θ＝45°。

由运动的合成与分解可知水平速度和竖直速度相等，合速度v＝

v0。

（2）设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。

因OP2＝OP3＝2h，∠OP2P3＝45°，由几何关系可知，P2、P3连线为圆轨道的直径，由此可求得r＝

h。

再由牛顿第二定律qvB＝m

，可得B＝

。

[完美答案]　

（1）速度方向与x轴的夹角为θ＝45°斜向下，大小为

v0　

（2）B＝

（1）基本思路：

明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律，然后找出两种场分界线上两种运动的联系，利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理，特别注意场的交界处的联系物理量，一般是速度。

（2）关键点：

画出轨迹示意图。

（3）具体解决方案

如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB、CD的距离为d，在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场。

现有质量为m、电荷量为＋q的粒子（不计重力）从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45°角射入磁场。

若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且碰不到正极板。

（1）请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；

（2）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；

（3）求金属板间的电压U的最小值。

答案　

（1）轨迹图见解析　

v0　

（2）

　（3）

解析　

（1）轨迹如图所示，由此可知

v＝

＝

v0。

（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为R，

由几何关系可知R＝

＝

d，

又因为qvB＝m

，解得B＝

。

（3）粒子进入板间电场至速度减为零且恰不与正极板相碰时，板间电压U最小，

由动能定理有－qU＝0－

mv2，解得U＝

。

课题任务

　带电粒子在复合场中的运动