教学案例因式分解2.docx

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教学案例因式分解2

教学案例（因式分解2）

教学案例

一、案例背景及意义

因式分解是初中学段第九章中的内容，因式分解是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系，是代数式的一种重要的恒等变形。

内容设置上是起到承上启下的作用。

一是为后面学习分式做准备，“因式分解”是分式运算和化简、代数式恒等变形的基础，也为将来解高次方程做准备。

二是学习“因式分解”对于化归能力、逆向思维能力、推理能力以及整体代换等数学思想的培养又都一定的作用。

本节课所授内容是进行因式分解的第二种方法，也是在基本掌握提公因式法的基础上进行的。

二、案例描述

师：

同学们，我们之前学习了一种很重要的分解因式的方法，这种方法叫什么？

生：

提公因式法

师：

那什么是公因式呢？

生：

公共的因式

师：

好，那是他个人的理解，有没有谁能给出更精确的说法呢？

生：

一个多项式中每一项都含有的项叫做这个多项式的公因式

师：

很好，请坐，那我们对公因式有自己的理解，但我们还要抓住这样一种理解背后更精确的说法，每一项都有的因式叫做公因式。

那我们在找公因式的时候是分三步来进行的，同学们还有印象吗？

是哪三步？

生：

系数

师：

系数怎么样？

生：

最大公因数

师：

那字母呢？

生：

各项都有的

师：

那字母的指数呢？

生：

最小的

师：

很好，说明同学掌握得很熟练，那如果多项式的系数是负的呢？

怎么办？

生：

把负号提到括号外面

师：

好，课本82页有明确的要求是吧？

那我们说把一个多项式写成什么样子，这样的过程叫因式分解？

生：

几个多项式的积的形式

师：

好，那有没有可能是单项式乘多项式的积呢？

生：

（点头）有可能

师：

那我们可以怎么来表达？

生：

几个整式的积

师：

好，几个整式的积。

那如果把几个整式的积写成多项式的形式叫什么？

生：

整式的乘法

师：

非常好，请坐。

那同学们有没有发现这两个过程是什么样的？

生：

相反的

师：

好，是互逆的，是相反的。

也就是说前面我们学的是整式的乘法，把整式相乘写成一个多项式，那我们接下来学习是倒过来的，把一个多项式写成几个整式的积的形式。

这个关系大家要搞清楚，我们不要弄混了。

好，昨天我们学习的是提取公因式法，今天呢我们要来学习公式法，学习公式法中的平方差公式法。

下面我们先对公式进行回忆在括号内填上适当的式子，使等式成立。

（1）（x+2）（x-2）=

（2）（4a+5b）（4a-5b）=

生：

x²-4,16a²-25b²

师：

请同学们思考一下，这背后的东西是什么？

你所联想到的知识是什么？

谁来说一下？

xxx

生：

（a+b）（a-b）=a²-b²

师：

很好，两数和乘两数差，等于两数平方差。

请坐，那等式的左边是什么呢？

生：

是多项式乘多项式

师：

也就是什么？

生：

整式的乘法

师：

那右边呢？

生：

是一个多项式

师：

那这样的运用是整式的乘法是吧？

，那如果反过来呢？

生：

两数平方差，可以写成两数和乘两数差

师：

说明同学们逆向思维能力都不错，反过来两数平方差，我们就可以写成两数和乘两数差，那这样的过程跟我们学过的知识你认为应该叫什么？

生：

因式分解

师：

我们接下来来看这样一组题目

（3）x²-81=（x+9）（）

（4）4m²-9n²=（）（）

生：

x-9

师：

那同学们有没有这样的疑问，左边哪里有平方？

生：

81是9的平方

师：

很好。

也就是说我们同学看问题不能只看表面，要透过现象看本质，比如说我们看某些人面相不像是个好人，但是我们根据他的实际行动发现他真是一个好人。

那第四题？

我们找一位同学来回答一下。

生：

（2m+3n）（2m-3n）

师：

你是怎么来处理的？

你是怎么想到分解成这样的？

生：

因为2m的平方是4m²，3n的平方是9n²，

师：

也就是说把2m看作一个整体，把3n看作一个整体，他想到的是尽管没有平方差，但可以写成平方差，我们把这样的一个过程当做分解因式的另一种方法，叫平方差公式法。

把下面的读一遍

小结，我们可以用平方差公式把两个整式的积写成一个多项式（整式乘法）；也可以把一个多项式写成两个整式的积（因式分解）。

双向运用公式是互逆的过程。

生：

（读）

师：

也就是说我们反过来就可以得到这样的一种分解因式的方法，我们把它叫做公式法，它其实只是公式法的一种。

同学们我们学过的公式还有什么？

生：

完全平方公式

师：

我们下节课就要来学习这个，我们今天学习的是平方差公式法，下面我们就来辨别一下哪些能运用平方差公式进行因式分解，哪些不能？

在做的过程中，大家思考一下，可以用的，有什么特点？

从这一排依次往下

生：

可以，等于（x+1）（x-1）

师：

很好，请坐，第二位同学

生：

不能

师：

为什么？

就是这两项能不能写成平方的差？

生：

不能

师：

好，请坐，下面一位同学

生：

不能，因为4n这一项不能写成单项式的平方

师：

好，请坐，下面一位同学

生：

可以

师：

那可以写成什么样的形式？

生：

（不讲话）

师：

我们逐项来看，第一项可以写成什么样的平方的形式？

生：

师：

负号要不要加进去？

生：

不要

师：

为什么？

生：

如果加进去系数就要变为正了

师：

那第二项呢？

生：

q²

师：

如果要让大家看得更明显，应该怎么写？

写成什么？

生：

q²

师：

第五题，可以写成怎样的平方差？

生：

可以写成8²-a²

师：

很好，请坐，第六题！

生：

可以

师：

你来解释一下，为什么可以？

生：

等于-（x+y）（x-y）

师：

其他同学有没有不同意见？

生：

等于（-x+y）（-x-y）

师：

就是你也认为这个可以用平方差公式进行因式分解？

还有谁有其他意见？

生：

等于-（x²-y²）

师：

同学们看这位同学的，对不对？

如果提取y,括号里的符号应该是什么？

生：

正号

师：

虽然他错了，但他提供了反驳前两位同学的疑问，因为提取后是这样的-（x²+y²）那还能不能用平方差公式？

生：

不能

师：

那前两位同学就是错的吧，那它为什么不能用平方差呢？

我们来看一下这个式子是不是平方的差？

生：

不是

师：

那通过这几个例子大家能不能概括一下，我们要想用平方差公式，那这个多项式必须要满足什么样的特点？

xxx

生：

两项系数的符号要相反

师：

好，比如说这个，比如说这个（老师板演），非常好，概括了第一点，就是两项系数的符号必须要相反。

但是仅有这一点还不行哦，这也是两项系数的符号相反哦（指第三题），但是它不可以，说明还有第二个特点，每一项要写成

生：

平方

师：

某个数或式的平方的形式。

对吧？

这是要满足的第二个条件。

那基本上满足这两个条件就行了吧？

生：

是

师：

好，这就是我们要用平方差公式进行因式分解的多项式要满足的条件。

（老师板书把条件写在黑板上并示意学生朗读ppt上的文字）

生：

（朗读）

师：

那既然我们知道了什么样的多项式可以用平方差公式进行因式分解，下面我们就具体到一些因式分解的题目中来看看怎么进行因式分解，我们先看一组填空题，大家先观察。

Xxx

（1）a²-16=a²-（）²=（a+）（a-）

（2）x²-1=x²-（）²=（x+）（x-）

（3）64-b²=（）²-b²=（+b）（-b）

（4）p⁴+q²=q²-（）²=（q+）（q-）

生：

减4的平方，等于a加4乘以a减4

师：

你能不能说一说这个填空题第一个等号的后面是在做什么？

生：

写成平方的形式

师：

后面一个数呢？

生：

再写成平方差的形式

师：

就是再写成因式分解的两数和乘两数差的形式，写成两个数的乘积。

很好，旁边的同学第二题

生：

=x²-1²=（x+1）（x-1）

师：

很好，前面一位同学，第三题

生：

=8²-b²=（8+b）（8-b）

师：

很好，前一名同学

生：

=q²-（

p²）=（q+

）（q-

）

师：

很好，请坐。

那也就是说我们第一步要把它写成差的形式，也就是写成

，然后再写成平方的形式（板书），然后再接下去

生：

是

师：

那我们能不能来概括一下如果我们想要用平方差公式去因式分解的话，第一步要干什么？

生：

把两个数写成平方的形式

师：

不仅要写成平方的形式，还要写成什么？

生：

还得要是差的形式

师：

那综合起来应该怎么说？

生：

写成平方差的形式

师：

很好，请坐。

那就是先写成平方的形式，再写成平方的差。

好，接下来我们看例题，老师先来示范一下第一题。

（老师边讲解边板书），接下来大家动手试一试。

做好的同桌互批一下

（1）36-25x2

（2）16a2-9b2

（3）9（a+b）2-4（a-b）2

生：

（做并互批）

师：

你认为你的同桌有没有一些有价值的错误？

就是可以引起其他同学借鉴的？

（老师下去检查指导）

生：

做错的同学举手我看看

师：

只有两个同学做错，知道错因吗

生：

知道了

师：

说明大家掌握得基本都不错，只有2位同学出错。

我们再来看看第三小问，这样的问题应该怎么解决？

生：

把（a+b）看作一个整体

师：

那能不能写成某个式子的平方呢？

生：

[3（a+b）]的平方,[2（a-b）]的平方

师：

那这样把括号里面整式看作一个整体，是不是平方的差？

生：

是

师：

我们来写一下（板书写出完整的过程，学生说老师写，并提出注意事项），下面同学们自己来练一下，看学案第2页2组练习，由于时间关系，我们

（1）

（2）两题（老师下去指导）做好的同学相互批改一下，看看你能不能发现他注意不到的地方。

生：

（做并互批）

师：

（老师板书讲解并说明注意点）两道题目都做对的同学举手我看看。

21，还没到一半，但我们仍要把掌声送给全对的同学

生：

鼓掌

师：

同学们，我们可以借助平方差公式，只要碰到是平方差的形式，我就可以写成两数和乘两数差进行因式分解。

下面我们来看一下具体的题目。

我们来看一下第一小题，同学们来观察一下这个式子，你会发现什么？

生：

它们含有公因式

师：

好，那我们先提取公因式

，写成

=

你再观察这个式子，写成了单项式乘多项式，你看这个多项式有什么特点？

生：

平方差

师：

那既然是平方差的话

生：

就可以用平方差公式

师：

进行二次分解，好，我们再继续进行分解，写成

。

接下来大家自己来动手练一练第二小题。

第二小题大家观察一下会发现什么呢？

生：

动手做

师：

大家有没有发现它的公因式是什么？

生：

3x

师：

那如果提取了3x,还剩下什么呢？

生：

师：

（板书）那就可以分解成

，中括号里的是不是平方差呢？

生：

是

师：

（板书）那就可以分解成

，再往下怎么分解？

等于

，等于

，当我们碰到一个问题遇到需要二次分解时，我们要能够观察到分解彻底。

最后，我们来回顾一下本节课我们学习的内容和大家所练习过的例题，你来谈一谈这节课你最大的收获是什么？

或者说概括一下本节课所学习的内容。

生：

用平方差公式进行因式分解

师：

哪个同学能来概括一下用平方差公式进行因式分解的步骤？

生：

如果有公因式，要先找公因式，如果有平方差，再写成平方差，然后进行因式分解。

师：

可能受最后一个例题的干扰，老师说的是用平方差公式进行因式分解的步骤。

第一步？

生：

写成平方差

师：

第二步？

生：

写成两数和乘两数差

师：

很好，今天的课我们就上到这里。

下课！

三、案例反思

这一课主要研究平方差公式的特征及应用。

教学关键是引导学生正确理解平方差公式的结构特征，并能准确平方差公式分解因式，本节课的知识要点逆用平方差公式进行因式分解，本节课的教学目标十分明确，就是让学生会判断何时用公式法进行因式分解，并会用平方差公式分解因式。

在授课时要规范板书，使学生理解是整式乘法的逆过程。

每节课的班书尽量做到重要知识点、典型例题、学生易错点保留。