数值分析高斯勒让德积分公式.docx
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数值分析高斯勒让德积分公式
高斯—勒让德积分公式
摘要：
高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。
然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
TheadvantageofGauss-Legendreintegralformulaistendtogethigh-precisioncalculationalresultbyusingfewerGauss-points,reallifeisnowoftenappliednumericalintegrationmethod.Buttheprecisionisnotgoodwhenthelengthofintegralintervalislonger.
关键字：
积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB
Keyword:
IntegralCalculation,Integralformula,Gauss-Legendreintegralformula,Matlab
引言：
众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
实际上，积分还可以分为两部分。
第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和积分系数待定让函数f（x）以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。
高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。
通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=（b-a）t/2 +（a+b）/2变换到-1到1之间积分。
1.现有的方法和理论
1.1高斯勒让德求积公式
在高斯求积公式（4.5.1）中，若取权函数，区间为，则得公式
我们知道勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式（上式）的高斯点．形如（上式）的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．
若取的零点做节点构造求积公式
令它对准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取的两个零点构造求积公式
令它对都准确成立，有
．
由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
．
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
．
如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．
0
0.0000000
2.0000000
1
0.5773503
1.0000000
2
0.7745967
0.0000000
0.5555556
0.8888889
3
0.8611363
0.3399810
0.3478548
0.6521452
4
0.9061798
0.5384693
0.0000000
0.2369269
0.4786287
0.5688889
公式（4.5.9）的余项由（4.5.8）得
，
这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由（3.2.6）及（3.2.7）得
．
当时，有
．
它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．
当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换
可将化为［－１，１］，这时
．
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．
1.2复化Gauss-Legendre求积公式
将被积区间m等分,记,作变换
在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式,累加即得复化Gauss-Legendre求积公式
不妨设
则有:
Gauss点个数时,
Gauss点个数时,
总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:
1.分割区间,记录区间端点值；
2.通过查表或求解非线性方程组,在所有小区间上,将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；
3.将所有区间的结果累加,即得到整个区间上的积分近似值.
针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss（）如下:
function[]=compgauss（a,b,n）
%CompositeGaussIntegration
%EquationType:
n=2,n=3
%CodedbyNan.Xiao2010-05-25
%Step.1DivideInterval
%Step.2Calculate
%Step.3SumResults
formatlong
f=（x）exp（x）.*sin（x）;
h=（b-a）/n;
xk=zeros（n+1,1）;
xk（1,1）=a;
xk（n+1,1）=b;
fk1=zeros（n,1）;
fk2=zeros（n,1）;
fori=1:
n-1
xk（i+1,1）=a+h*i;
end
forj=1:
n
fk1（j）=f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）*（-1/sqrt（3）））+...
f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）*（1/sqrt（3）））;
end
forr=1:
n
fk2（r）=（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（-sqrt（15）/5））+...
（8/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（0））+...
（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（sqrt（15）/5））;
end
mysum1=h*sum（fk1）/2;
mysum2=h*sum（fk2）/2;
disp（'Resultof2Nodes:
'）
disp（mysum1）;
disp（'Resultof3Nodes:
'）
disp（mysum2）;
end
1.3龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法
以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较
#include
#include
#include
#define Precision1 0.1
# define e 2.71828183
#define MAXRepeat 10
double function （double x）
{
double s;
s=1/x;
return s;
}
double Romberg（double a,double b,double f（double x））
{
int m,n,k;
double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;
h=b-a;
y[0]=h*（f（a）+f（b））/2.0;//计算T`1`（h）=1/2（b-a）（f（a）+f（b））;
m=1;
n=1;
ep=Precision1+1;
while（（ep>=Precision1）&&（m{
p=0.0;
for（k=0;k{
xk=a+（k+0.5）*h;
p=p+f（xk）;
}
p=（y[0]+h*p）/2.0; //T`m`（h/2）,变步长梯形求积公式
s=1.0;
for（k=1;k<=m;k++）
{
s=4.0*s;// pow（4,m）
q=（s*p-y[k-1]）/（s-1.0）;
y[k-1]=p;
p=q;
}
ep=fabs（q-y[m-1]）;
m=m+1;
y[m-1]=q;
n=n+n; // 2 4 8 16
h=h/2.0;//二倍分割区间
return q;
}
double ThreePointGaussLegendre（double a,double b,double f（double x））
{
double x,w;
static double X[3]={-sqrt（15）/5.0,0,sqrt（15）/5.0};
static double L[3]={5/9.0,8/9.0,5/9.0};
w=0.0;
for（int i=0;i<3;i++）
{
x=（（b-a）*X[i]+（b+a））/2.0;
w=w+f（x）*L[i];
}
return w;
}
double FivePointGaussLegendre（double a,double b,double f（double x））
{
double x,w;
static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459};
static double L[5]={0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851};
w=0.0;
for（int i=0;i<5;i++）
{
x=（（b-a）*X[i]+（b+a））/2.0;
w=w+f（x）*L[i];//每一次小区间利用勒让德公式计算的结果
}
return w;
}
double FivePointPrecisionGaussLegendre（double a,double b,double f（double x））
{
int m,i,j;
double s,p,ep,h,aa,bb,w,x,g;
static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459};
m=1;
h=b-a;
s=fabs（0.001*h）;
p=1.0e+35;
ep=Precision1+1;
while（（ep>=Precision1）&&（fabs（h）>s））
{
g=0.0;
for（i=0;i {
aa=a+i*h;
bb=aa+h;
w=0.0;
for（j=0;j<=4;j++）
{
x=（（bb-aa）*X[j]+（bb+aa））/2.0;
w=w+f（x）*L[j];
}
g=g+w;//各个区间计算结果之和相加
}
g=g*h/2.0;
ep=fabs（g-p）/（1.0+fabs（g））;//计算精度
p=g;
m=m+1;
h=（b-a）/m;//分割区间
}
return g;
}
main（）
{
double a,b,s;
cout<<"请输入积分下限:
";
cin>>a;
cout<<"请输入积分上限:
";
cin>>b;
cout<<"㏑的真值为:
"< cout<<"1.098612289"< /*龙贝格求积*/
s=Romberg（ a, b, function）;
cout<<"龙贝格求积公式:
"< cout<:
fixed）< /*三点求积公式*/
s=ThreePointGaussLegendre（ a, b, function）;
cout<<"三点求积公式:
"< cout<:
fixed）< /*五点求积公式*/
s=FivePointGaussLegendre（ a, b, function）;
cout<<"五点求积公式"< cout<:
fixed）< s=FivePointPrecisionGaussLegendre（a, b,function）;
cout<<"控制精度五点求积公式"< cout<:
fixed）< return 0;
}
2.高斯－勒让德求积的程序
2.1三点高斯勒让德公式的代码
functiongl=f（str,a,b）
x=zeros（3,1）;
y=zeros（3,1）;
x
（1）=-sqrt（15）/5;
x
（2）=0;
x（3）=sqrt（15）/5;
fori=1:
3
t=（b-a）/2*x（i）+（a+b）/2;
y（i）=eval（str）;%exp（t）*sin（t）;%此处为求积的函数,t为自变量
end
gl=5/9*y
（1）+8/9*y
（2）+5/9*y（3）;
上面的代码保存为f.m文件，调用的时候如下
f（'t*2',-1,1）
f（'exp（t）*sin（t）',1,3）
其中第一个参数为求积分的表达式，第二三个参数分别为
积分的上下限。
2.2高斯-勒让德数值积分Matlab代码
function[ql,Ak,xk]=guasslegendre（fun,a,b,n,tol）
ifnargin==1
a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;
elseifnargin==3
n=7;tol=1e-8;
elseifnargin==4
tol=1e-8;
elseifnargin==2|nargin>5
error（'TheNumberofInputArgumentsIsWrong!
'）;
end
symsx
p=sym2poly（diff（（x^2-1）^（n+1）,n+1））/（2^n*factorial（n））;
tk=roots（p）;
Ak=zeros（n+1,1）;
fori=1:
n+1
xkt=tk;
xkt（i）=[];
pn=poly（xkt）;
fp=（x）polyval（pn,x）/polyval（pn,tk（i））;
Ak（i）=quadl（fp,-1,1,tol）;%求积系数
end
xk=（b-a）/2*tk+（b+a）/2;
fun=fcnchk（fun,'vectorize'）;
fx=fun（xk）*（b-a）/2;
ql=sum（Ak.*fx）;
3.数值实验
3.1用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算
.
解：
先将区间
化为
，由
（1）
.
（1）
有
.
根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得
.
（准确值
）
3.2用
的高斯-勒让德公式计算积分
解：
令
，则
用
的高斯—勒让德公式计算积分
用
的高斯—勒让德公式计算积分
3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分
，计算过程保留4位小数．
解：
高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令
，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，
＝
＝
3.总结
高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。
因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。
《参考文献》
[1]《数值计算》军、林瑛、钟竞辉清华大学2008617
[2]《数值分析》晓江、黄樟灿·科学2010710
[3]《数值分析原理》吴勃英科学2009723
[4]复化两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法《航天工业高等专科学校学报》2007年03期
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