实数与二次根式的基本概念.docx

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实数与二次根式的基本概念

内容

基本要求

略高要求

较高要求

平方根、算术平方根

了解平方根及算术平方根的槪念，会用根号衷示非负数的平方根及算术平方根

会用平方运算求某些非负数的平方根

立方根

了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根

会用立方根运算求某些数的立方根

实数

了解实数的概念

会进行简单的实数运算

二次根式及其性质

了解二次根式的概念，会确定二次根式有意艾的条件

会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值

二次根式的化简和运算

理解二次根式的加、减.乘.除运算法則

会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算

能进行实数的运算

二次根式苗（">0）的内涵，需（“>0）是一个非负数：

（J7）2=“（">o）：

“⑺>（））•及其运用・

二次根式乘除法的规定及其运用•二次根式的加减运舞•

模块一实数的概念及分类

1.实数的概念

实数：

有理数和无理数的统称.

实数的

无理数

正无理数］丁卩口才仏brM负无理数无限不循环小数注意：

（1）实数还可按正数，零，负数分类-

（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用In（«为整数）表示：

奇数一般用加-1或2n+l

（«为整数）衷示.

（3）正数和零常称为非负数.

（4）

如蔚.

带根号的数不一定是无理数,

（5）

数轴：

规定了原点.正方向和单位长度的一条直线叫数轴.粕反数：

只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0・

（1）实数“的相反数是

（2）实数“和b互为和反数，則d+b=O.

（3）从数轴上看，互为粕反数的两个数所对应的点关于原点对祢.

倒数：

乘枳为1的两个有理数互为倒数：

0没有倒数.倒数等于它本身的数是主1・

（1）实数“（“刃）的倒数是丄.

（2）a和b互为倒数，則"归1・

绝对值：

绝对值的含义与性质：

'a（a>0）

|u|=*0（u=0）

—a（a<0）

几何意义：

实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离.

（1）

（2）

注意：

实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分,不能混淆.

【例3】d-2+J5的柑反数是・

【难度】1星

【解析】一个数初的相反数是-a:

同样一个式子A的相反式是-A・

【答案】

【例5】【难度】【解析】

【答案】

+2的绝对值是•

1星

关键是判斷原数（原式）的正负.

腐-2

利用数轴比较大小

因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0,0小于正数，负数小于正数.

利用绝对值比较大小

两个正数比较大小，绝对值大的较大：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

利用作差法比较大小

1殳初、b是任意两实数，若《—b>0•則“>"；若/?

=0•則a=b；若“一b<0,则dvb・

利用作商法比较大小

设初、b是任意两同号实数，当eb都为负数时，若->L则dVb：

若上<1.则

【例6】如果n是皿的整数部分，b是皿的小数部分，6/-/7=・

【难度】2星

【解析】・・・9<15<16打・3<皿<4・・・・"=3上=皿-3,・"-^・3-（71?

-3）■6-71?

【答案】6-715.

【巩固】估计府的值在（

B.在5・0和5・5之间

D.在6.0和6.5Z间

A.在45和5・0之间

C.在5・5和6.0Z间

【难度】2星【解析】

同上.

【巩周】【难度】2星

【解析】【答案】

【答案】己知％为两个连续整数’且"

由已知可知“=3e=4・・・d+b=7・

模块四实数的运算

【难度】1星

［解析］<1）2W-75-1心-2-（辰1）.岳-2-屁1.-1：

=s/7-1+s/5-血+••・+755TT=1=1

【答案】

（1）-1：

（2）1：

（3）275M-1.

【例9】【难度】

【解析】

已知等腰三角形一边长为一一边长b,且（2ct-hf+9-ir=0.求它的周长.

2星

•5b为三角形的边长,.\a>Q.h>Q,

2又T（2幺一硏+|9"=0,••・2"-“（19-宀0,:

h=\a=^.

故三角形的三边长为討3或薯，（舍去）,

故三角形的周长为-+3+3=7-.

【答案】

模块五

近似数、有效数字和科学记数法

1・近似数：

将一个数四舍五入所得到的数.

2・有效数字：

一个近似数从左边第一个不是零的数字超，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.

3・科学记数法；把一个数表示成c/xlO”的形式，其中1<忖<10山为整数•

注意：

用科学计数法衷示的数"xl0\其有效数字只与a有关，就是a的有效数字：

精确度却和a、10"有关.是《的精确度乘10”所得的结果•如4・30xl（F有三个有效数字，分别是430;4.30精确到0・01,0.01x10^=10000,故430x10’精确到千位.

【例10】我国第六次全国人口普査数据显示，居住在城镇的人口总数达到665575306人，将665575306用科学记数法表示（保田三个有效数字）约为（）

A・66.6x10'B.0.666x10"C・6.66x10”

D.6.66x107

【难度】【解析】

【答案】

【例11】

【难度】【解析】【答案】

指出下列各近似值精确到哪一位：

（1）563：

（2）5.630：

（3）5.63x10"：

（4）5.630万

1星

略

（1）十分位：

（2）千分位：

（3）万位：

（4）十位.

【例12】

【难度】

【解析】

指岀下列近似数有几个有效数字：

（1）0319：

（2）0.0170：

（3）4.46万：

（4）5.29x10"

1星

略

模块六平方根、算术平方根、

立方根

平方根：

如果一个数的平方等于⑴

有平方根，0的平方根是0・

算术平方根：

正数《的正平方根，记作而:

0的算术平方根为0.

立方根：

如果一个数的立方等于心那么这个数叫做初的立方根，记作扬，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0・

注意：

（1）

（2）

那么这个数叫做初的平方根，记作±需，正数有两个平方根，负数没

当被开方数扩大（或缩小”r倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）□倍（">0）・平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

①若0,则（1^）'="；②不管fl为何值，总有=1dl=*

d（a>0）-a（a<0）

（3）若一个非负数fl介于另外两个非负数“2之间，即0<绚<《'<"2时，它的算术平方根也介于J石、页之间，即：

0<何

【例13】网的平方根是（

A.81B.±3

【难度】2星

【解析】略

【答案】B

C・3

D・-3

【例14】若2«?

-4与3"l1是同一个正数的平方根，则也为（A.-3B.1C.-1

【难度】2星

【解析】

D.-3或1

【答案】

由于一个正数的平方根有两个，且互为柏反数，由此即可得到2川4与3加・1相等或互为相反数,然后列方程即可解决问题.

T2w-4与3〃?

-1是同一个正数的平方根，

.2/»—4=3f»—1或2w—4=—（3/W—1）,

解得：

m=—3,或加=1・

故选D・

【巩固】【难度】【解析】【答案】

^5/772=2.则（2x+5）的平方根是

2星

考察的是数的开方

±3;±5.

一个自然数的算术平方根为⑴则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）-

A•

【难度】2星

【解析】首先根据算术平方根的定义求出自然数，然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数.•••一个自然数的舞术平方根为/

••这个自然数是"2.

••和这个自然数相邻的下一个自然数是/+1・

故选B・

【例15】

【巩周】【难度】【解析】

【答案】

设a是整数，则使75而7为最小正有理数的a的值是3星

V2012=2x2x503,/.tv=503.

503

【例16］若也・815848=1・22,则

【难度】2星

【解析】略

【答案】-122

【例17】已知a-2的平方根是±2,2a+b+l的立方根是3,求/+F的算数平方根.【难度】2星

【解析】•・’u-2=（±2）",/.£/=6;•••加+/>+7=3'且1（=6,.\h=8,

/.+h~=+8^=>/100=10,

【答案】10

【巩固】已知人=〃奶一加+3是畀-W+3的算术平方根，B=z怜卄"是W+7"的立方根，求B+A的平方根•

【难度】2星

【解析】由題可知2

「解得严二/1=仏0,B=V6+7x3=/571=±屈

m-2n+3=3«=3

【答案】土®

【巩固】已知疗*,y-=h{y

【难度】2星

【解析】

【答案】

•打（4a_by=&・・|滋-方1=&••・b>4«jb-4“=8;又T斗（a+bf■!

&/.6（+/?

=18,解得“=2上=16

.X=—8,y=—4,a3'=32•

若n+|b+1|N2需一&-1-1,求“+2h-3c的值.

【例18】

【难度】2星

【解析】原式可变为（q_2眉+1）+|b+!

|+-7c-1=0,（>/a-l）2+|b+l|+&-l=0...a=}.h==1

・・・“+2h-3c=l+2（-D-3xl=Y•

-4

【答案】

【例19】

【难度】【解析】

已知数府的小数部分是b,求//+12//+375'+砂-20・

3星

本題釆用了整体代入的数学思想•

•••9V14V16,3<714<4,;.714的整数部分为3,小数部分为/?

=714-3,二71孑=3+/儿

左右平方可得14=9+6"+/・川=5-6/儿

戻+12/J+37庆+6Z>-20

=（5-6hf+12/2（5-6b）+37庆+6b-20

=25+36/r-60/卄60b-72/r+37b-+6b-20

=25+b'+6b-20

=25+5-6b+6/>-20

=10

【答案】10・

模块七二次根式的基本概念及化简

二次根式抚念

二次根式的概念：

形如苗<0）的式子叫做二次根式•

二次根式的基本性质：

⑴需>0（“>0）双•重非负性：

（2）（-7^）'=a（“>0）;（3）JJ^=|"|n

J（初>0）—a（"<0）

【例20】

【难度】

【解析】

设y=返克孚£，求使y有意义的X的取值范用.

2星

对二次根式定乂的考察

•2-xnO

2%+1>02

【答案】

【巩固】

时,

岳祭有意义•

【难度】

9—r

【解析】对二次根式定5C的考察，通过观察可以发现疋一2x+3=（x-1）2+2>2>0…•要使，>0,

X--2X+3

QT不+严y・&-2（m+J2JTT-Z在实数范用成立，那么zw的值是多少?

2星

【例21】

【难度】

【解析】此題是对需（cf>o）的考察.

由題可知z-20H>0・20H-z>0打・Z=2O11,:

.y/2x^+yfy^=0,•・・2x-6=0」+2=0打•x=3,y=—2.•才y=20111=201『=2011•

【答案】2011

【巩固】若w适合关系式J3x+5y-2一川+J2x+3y-m=Jx-l99+y•Jl99-x-y.试确定w的值.

【难度】3星

【解析】此题依然是对需（《>0）的考察，但是如果能观察出x-199+y与199-x-y互为相反数此题8

会更直接.

•/x—199+y>0.199—x—y>0,..199—x—y=0,/.x+y=199,

3-v+5y-2-/H=O”g，解得｛2x+3y-//J=0

；,x+y=2/n—6+4—/n=/H—2»—2=199/./?

=201•

【答案】201总结：

在遇见需一定要注意題目本身隐含的条件0,且苗>0,也就是说苗具有双磴非负性.

【例22】化简：

如-4“+1-J1-24+/（丄W“W1）

【难度】2星

【解析】本題考察的是存=问，去绝对值时，一定要注意“的正负.

T—WdW1,.••原式=2a—\—（\—a）=2a—\—\+d=3

【答案】力-2［巩固］设0vKVlvyv2,贝I］jF+），-2Ay+4x-4y+4-J1-2“+/-肘一4y+4=

【难度】3星

【解析】・・・0vx

•••原式=yj（x—y）'+A（x—y）+2~—J（l-x）2—J（y-2尸

=J（x-y+2F-yj（\-x）--J（y-2）2

=|a--y+2|-|l-A-|-|y-2|

=x—y+2-（l-x）-（2_y）=2x+l

【答案】2x+\

总结：

在遇见Q时，一定要先化简成问，而不是直接化简成4因为去绝对值吋，初的正负不同结果是不同的.

二次根式的柬除

就简二次根式：

二次根式需（">0）中的a祢为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式:

⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）

⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

⑶分母中不含二次根式

二次根式的计算结果要写成最简根式的形式•

二次根式的柬法法则：

丽・少=他（">0,b>0）

二次根式的除法法则；=（«>0rb>0）

yfhNb

利用这两个法則时注意fl、b的取值范囤，对于赫=長長.flsb都非负，否則不成立，如J（-7）-（-5）・-后7

A・y[y

【难度】2星【解析】解題的关键是确定被开放式字母的符号.

由題可知疋>0,且一鸟>0・・・・y<0,又vA>->0,,\A<0,••原式=2LF=-F・

【答案】D【巩固】化简二次根式rP学的结果是,【难度】2星

【解析】解題的关键是确定被开放式字母的符号.

【答案1—>—2

【例⑷化简阡蔷所得的结果是<

【答案】C

[巩固1讣算72009x2010x2011x2012+1-2010'的结果是

【难度】3星

【解析】解本题时注意完全平方公式的应用•

原式=^2009X（2009+1）X（2009+2）x（2009+3）+1-2010-=/2009X（2（X）9+3）]（（2009+1）（2009+2）]+1-2010-=^2009'+2009x3）x（2009'+2009x3+2）+1-2010'=血009'+2009X3）'+2X（2009’+2009x3）+1-2010'=/2009'+2009x3+1）2-2010'

=2009'+2009x3+1-2010'

=2009'-2010'+6027+1

=-4019+6028

=2009

【答案】2009

【例25】汁算

（2）（2\/5-371）（25/?

+3逅）

（4）逅）2

（1）（龙一3）°-（i尸一（-1）3-（芈）2

（3）（4+3⑹

【难度】2星