实数与二次根式的基本概念.docx

1、实数与二次根式的基本概念实数与二次根式的基本概念内容基本要求略高要求较高要求平方根、算 术平方根了解平方根及算术平方根的槪念，会用 根号衷示非负数的平方根及算术平方 根会用平方运算求某些非负数的平 方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的 立方根会用立方根运算求某些数的立方 根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及 其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式 有意艾的条件会运用二次根式的性质进行化 简，能根据二次根式的性质对代 数式做简单变型，在给定条件下， 确定字母的值二次根式的 化简和运算理解二次根式的加、减.乘.除运算法 則会进行二次根式的化简，会进行 二次根式的混合运算能进

2、行实数的运算二次根式苗（0）的内涵，需（“0）是一个非负数：（J7）2=“（o）： “（）及其运用二次根式乘除法的规定及其运用 二次根式的加减运舞模块一实数的概念及分类1.实数的概念实数：有理数和无理数的统称.2.实数的无理数正无理数丁卩口才仏b r M 负无理数无限不循环小数 注意：（1） 实数还可按正数，零，负数分类-（2） 整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用In （为整数）表示：奇数一般用加-1或2n+l(为整数)衷示.(3)正数和零常称为非负数.(4)如蔚.带根号的数不一定是无理数,(5)数轴：规定了原点.正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 粕反数：只有符号不同的两个数互为相反

3、数，0的相反数是0(1)实数“的相反数是(2)实数“和b互为和反数，則d+b=O.(3)从数轴上看，互为粕反数的两个数所对应的点关于原点对祢.倒数：乘枳为1的两个有理数互为倒数：0没有倒数.倒数等于它本身的数是主1(1)实数“(“刃)的倒数是丄.a(2)a和b互为倒数，則归1绝对值：绝对值的含义与性质：a(a 0)|u| = * 0(u = 0)a(a 0則“；若/? = 0則a = b；若“一bL则dVb：若上1.则b h【例6】如果n是皿的整数部分，b是皿的小数部分，6/-/7= 【难度】2星【解析】91516打3皿4=3上=皿-3,-3-（71?-3）6-71?.【答案】6-715 .【

4、巩固】估计府的值在（B.在50和55之间D.在6.0和6.5Z间A.在45和50之间C.在55和6.0Z间【难度】2星 【解析】同上.B【巩周】 【难度】2星【解析】 【答案】【答案】 己知为两个连续整数且 y/W h 贝y a+h =由已知可知“ = 3e = 4d+b = 7模块四实数的运算【难度】1星解析Q.hQ,2 又T (2幺一硏+|9 =0, 2-“(19-宀0, :,h = a = .故三角形的三边长为討3或薯，(舍去),3 I故三角形的周长为-+3 + 3 = 7-.2 2【答案】模块五近似数、有效数字和科学记数法1近似数：将一个数四舍五入所得到的数.2有效数字：一个近似数从左

5、边第一个不是零的数字超，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似 数的有效数字.3 科学记数法；把一个数表示成c/xlO”的形式，其中1 忖0) 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若0 ,则(1)=；不管fl为何值，总有=1 dl=*d(a0) -a(a 0)(3)若一个非负数fl介于另外两个非负数“2之间，即0绚2时，它的算术平方根也 介于J石、页之间，即：0何/7“7利用这个结论我们可以来估墀一个非负数的 算术平方粮的大致范團.【例13】网的平方根是(A. 81 B. 3【难度】2星【解析】略【答案】BC3D-3【例14】若2?-4与3l1是同一个正数的平方根，则也为( A. -3

6、 B. 1 C. -1【难度】2星【解析】D. -3或 1【答案】由于一个正数的平方根有两个，且互为柏反数，由此即可得到2川4与3加1相等或互为相反数, 然后列方程即可解决问题.T 2w-4与3?-1是同一个正数的平方根，:.2/4 = 3f 1 或 2w4 = (3/W1),解得：m = 3 , 或加=1故选DD【巩固】 【难度】 【解析】 【答案】5/772=2.则(2x + 5)的平方根是2星考察的是数的开方3; 5.一个自然数的算术平方根为 则和这个自然数相邻的下一个自然数是( )-A / +1 B. / +1 C- / + 2 D. J(f2 +1【难度】2星【解析】首先根据算术平方

7、根的定义求出自然数，然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数. 一个自然数的舞术平方根为/这个自然数是2.和这个自然数相邻的下一个自然数是/+1故选B【例15】【巩周】 【难度】 【解析】【答案】设a是整数，则使75而7为最小正有理数的a的值是 3星V2012 = 2x2x503, /.tv = 503.503【例 16若也815848 = 122,则+7 = 3且1( = 6, .h = 8 ,/. +h = +8 = /100 = 10 ,【答案】10【巩固】已知人=奶一加+ 3是畀-W+3的算术平方根，B = z怜卄是W+7的立方根，求B+A的平 方根【难度】2星【解析】由題可知2解得严

8、二/1 =仏0, B = V6 + 7x3 = /571 = 屈m -2n + 3 = 3 = 3【答案】土【巩固】已知疗*, y-=hy4jb-4“ = 8; 又T斗(a + bf !&/.6( + /? = 18 ,解得“ =2上=16:.X = 8, y = 4,a3 = 32 32若n + |b +1|N 2需一&-1 -1 ,求“+2h-3c 的值.【例18】【难度】2星【解析】原式可变为(q_2眉 +1) + |b+ !|+-7c-1 = 0 , (/a - l)2 + |b + l| + &-l =0. a = .h = = 1“ + 2h-3c = l + 2(-D-3xl=Y

9、 -4【答案】【例19】【难度】 【解析】已知数府的小数部分是b,求/+12/ + 375+砂-203星本題釆用了整体代入的数学思想9V14V16, 3714-20=(5-6hf +12/2(5 - 6b) + 37 庆 + 6b - 20=25 + 36/r - 60/卄 60b - 72/r + 37b- + 6b - 20= 25 + b+6b-20= 25 + 5-6b + 6/-20=10【答案】10模块七二次根式的基本概念及化简二次根式抚念二次根式的概念：形如苗0)的式子叫做二次根式二次根式的基本性质：需0 (“0)双重非负性：(2)(-7) =a (“0); (3)JJ = |n

10、J (初 0) a ( 0 2【答案】【巩固】时,岳祭有意义【难度】9 r【解析】对二次根式定5C的考察，通过观察可以发现疋一2x + 3 = (x-1)2 + 220要使， 0,X-2X + 3QT不+严y&-2(m+J2JTT-Z在实数范用成立，那么zw的值是多少? 2星【例21】【难度】【解析】此題是对需(cfo)的考察.由題可知z-20H020H-z0打Z = 2O11, :.y/2x + yfy=0 , 2x-6 = 0+ 2 = 0打x = 3,y = 2 .才y= 20111 = 201= 2011 【答案】2011【巩固】若w适合关系式J3x + 5y-2一川+ J2x + 3

11、y-m = Jx-l99 + y Jl99-x-y .试确定w的值.【难度】3星【解析】此题依然是对需(0)的考察，但是如果能观察出x-199+y与199-x-y互为相反数此题 8会更直接./x 199 + y 0.199xy0,. . 199x y = 0,/.x+y = 199 ,3-v + 5y-2-/H = O ” g ，解得 2x + 3y - /J = 0；,x + y = 2/n6+4/n = /H2 2 = 199 /./? = 201 【答案】201 总结：在遇见需一定要注意題目本身隐含的条件0,且苗0,也就是说苗具有双磴非负性.【例22】化简： 如-4“ + 1-J1-24

12、+/ (丄W“W1)2【难度】2星【解析】本題考察的是存=问，去绝对值时，一定要注意“的正负.T Wd W1, .原式=2a (a) = 2a + d = 3/ 2 . 2【答案】力-2 巩固设 0vKVlvyv2,贝 I jF +)，-2Ay+4x-4y+4- J1 - 2“+/ -肘 一 4y + 4 =【难度】3星【解析】0vx0）中的a祢为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式: 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式二次根式的柬法法则：丽少=他（0,

13、b0）二次根式的除法法则； = （0r b0）yfh Nb利用这两个法則时注意fl、b的取值范囤，对于赫=長長.fls b都非负，否則不成立， 如 J（-7） - （-5） -后7A yy【难度】2星 【解析】解題的关键是确定被开放式字母的符号.由題可知疋0,且一鸟0y-0, ,A 2【例化简阡蔷所得的结果是/7+7=2/503 , /.设 yfx = 25035/7 (inji 为 0 或正整数人:.m+fi = 2 , /./ = 0,1.2 【答案】3【答案】【练习1】若z = 740-4.则估i|“r的取值范帀【难度】2星 【解析】辰顾网.6顾72阿-43【答案】2顾-44即【难度】2

14、星【解析】考察二次根式非负性.请回答下列问题:（2）利用上而所提供的解法，请化简:+ 【难度】2星【解析】对原式的毎一项进行分母有理化， 原式=血-1+屁71+/5-75=-1 【答案】（1）/-丽：（2）【练习5】当为整数时，证明（“ +1）（“+ 2）5+ 3） + 1是一个整数. 【难度】3星【解析 1 Jn( +1)( + 2)( + 3) + 1=+ 3川( +1)( + 2) +1=JeF + 3)(2 +3 + 2) +1=+ 3/1) + 2(rt + 3/1)+1=q(n + 3n +1)2=+ 3 +1为整数，“F+3 + l为整数.【答案 1 J(H + 1)( +2)(

15、+ 3) + 1 =ir + 3h +1 .咗 根号外的因式務到根号内得（ A. fa【难度】2星【解析】略【答案】C2已知整数八y满足那么整数对（忌y）的个数是（A. 0 B. 1 C. 2 D 3【难度】2星【解析】略【答案】D3设初，都是实数，且|初| + = 0, ab = ah r |c|-f = 0,那么化简J(d+bF_ J(c-亦 +”_4为( A. 2c-h B 2h亠I C-b Db【难度】2星|n| + / = O.u | = /?,；J?0.二 =h+a + h-e + h + ea = h ,故选 D.【答案】D【解析】由已知可得a = y/2.h = 2, /. a

16、-2y/2a + 2 + b- = (a-yl2)-2 = (y/2-yf2)-2- =4.【答案】45化简下列齐式【解析】7腭若 20）_ /S (a + h)- J5u + 5b V? a+h【答案】（1）扌&T彳；（2）6请你观察、思考下列讣算过程Tl|2 = i2L辰T=ll；vIll = 1232t;./1232T=llU由此猜想：J12345678987654321 =【难度】2星【解析】观察前面的式子，得到规律，J12345678987654321 = 111111111.【答案】1111111117 计算:+（阿厉- 75丽）（75防-血u）+ （血 u - 75odT）（血 n - 75丽） 【难度】3星【解析】72007 =u,.009 =/x72 = f .把二次根式转化成分式计算.原式= 1 1 (a-h)(a c) (h a)(h c) (c a)(c b) a(b - c) - b(a - c) + c(a - b)(a - b)(a - e)h - c)ab - ac - ba + he + ac - be(a b)(a c)(b c)(a - b)(a c)(h c) =0【答案】0