这些命题中，真命题的个数是
C.2
A.0B.1
D.3
解析：
①错.原因：
可能“=”不能取到.②③都正确.
答案：
C
4.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x—
m=0有实数根"与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为.
解析：
先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.
答案：
2
5.（2005年北京西城区抽样测试题）已知命题P：
函数y=loga（ax+2a）（a>0且a^1）的图象必过定点（－1，1）；
命题q:
如果函数y=f（x—3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3,0）
D.p假q真解决本题的关键是判定p、q的真假.q假（可举反例y=x+3）,因此正确答
A.O个
D.4个
剖析：
原命题和逆否命题为真.
答案：
B
深化拓展
若a、b、c€R,写出命题“若acv0,则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根"的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.
思路：
认清命题的条件P和结论q,然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假.
解：
逆命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c€R）有两个不相等的实数根，则acv0”是假命题，如当a=1,b=—3,c=2时，方程X2—3x+2=0有两个不等实根xi=1,X2=2,但ac=2>0.
a、
否命题"若ac>0,则方程ax2+bx+c=0（
b、c€R）没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.
逆否命题"若ax2+bx+c=0（a、b、c€R）没有两个不相等的实数根，则aO0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.
评述：
解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键.
【例2】指出下列复合命题的形式及其构成.
（1）若a是一个三角形的最小内角，贝qa不大于60°;
（2）一个内角为90°,另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；
（3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.
中p：
解：
（1）是非P形式的复合命题，其
若a是一个三角形的最小内角，贝qa>60
（2）
p:
是P且q形式的复合命题，其中个内角为90°,另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:
一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.
（3）
p:
有q：
有一
是P或q形式的复合命题，其中一个内角为60°的三角形是正三角形，个内角为60°的三角形是直角三角形.
【例3］写出命题"当abc=0时，a=0或b=0或c=0"的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
剖析：
把原命题改造成“若P则q”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.
解：
原命题：
若abc=O,则a=0或b=0或c=0,是真命题.
逆命题：
若a=0或b=0或c=0,则abc=O,是真命题.
否命题：
若abcM0,贝qaM0且0且cm0，是真命题.
逆否命题：
若aM0且bM0且cM0，则abcM0，是真命题.
•闯关训练夯实基础
1.
形式，那
如果原命题的结论是“P且q”么否命题的结论形式为
C.p或
A.P且qB.P或q
qD.q或P
解析：
P且q的否定为P或q.
答案：
B
2.下列四个命题中真命题是
1
的逆命题
"若xy=1，则x、y互为倒数”
2“面积相等的三角形全等”的否命题③“若mW1,则方程X—2x+m=0有实根"的逆否命题④“若AnB=B，则AB”的逆否命题
A.①②B.②③C.①②③
D.③④解析：
写出满足条件的命题再进行判断.答案：
C
3.分别用“P或q”“P且q”“非P”填空.
（1）命题“15能被3和5整除”是形式；
击
击
u
击
击
u
口”
员”
零”
中飞机”,
中飞机”,试用p1、p2及
（2）命题“16的平方根是4或—4”是
飞机是pi或p2.
联结词“或”“且”“””
（1）两次都击
（2）两次都没
（3）恰有一次
（4）至少有一次
解：
（1）两次都击
（2）两次都没击
（3）恰有一次击且pi；
（4）至少有一次
培养能力
6.（2004年湖北，15）设A、B为两个集合.下列四个命题：
①A住B对任意x€A，有XB;②ABAnB=:
③A峯BA誉B;④A峯B存在x€A，使得XB.
.（把
其中真命题的序号是_符合要求的命题序号都填上）
解析：
A述存在X€A，有XB,故①错误；②错误；④正确.
亦或如下图所示.
“非”表示下列命题：
中飞机；击中飞机；飞机；中飞机.
h飞机是pi且p2；飞机是pi且p2；飞机是pi且P2,或p2
__肆„/
BAnBA
3反例如下图所示.
A峯BA述反之，同理.
答案：
④
ax+b<
7•命题：
已知a、b为实数，若X2
0有非空解集，则a2—4b>0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.
分析：
原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b<0有非空解集（即不等式有解），结论是a2—4b>0，由四种命题的关系可得出其他三种命题•
解：
逆命题：
已知a、b为实数，若a2—4b>0,则x2+ax+bw0有非空解集•
否命题：
已知a、b为实数，若x2+ax+b<0没有非空解集，则a2—4bV0.
逆否命题：
已知a、b为实数，若a2—4bv0,则x2+ax+b<0没有非空解集•
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题•
8.写出下列命题非的形式：
（1）p:
函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；
（2）q:
若x=3或x=4,则方程X2—7x+12=0.
解：
（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点或至少有两个交点.
（2）若x=3或x=4，贝qx2—7X+12疋0.
探究创新
9.小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜测.
甲：
小李非第一名，也非第二名；乙：
小李非第一名，而是第三名；丙：
小李非第三名而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，
人全猜错，问：
小李得了第几名？
猜对一半
解：
（1）假设小李得了第三名，则甲全猜对，乙全猜错，显然与题目已知条件相矛盾，故假设不可能.
乙猜对
（2）假设小李得了第二名，则甲猜对一半，半，也与已知条件矛盾，故假设不可能.
（3）假设小李得了第一名，则甲猜对一半，乙全猜错，丙全猜对，无矛盾.
综合
（1）
（2）（3）知小李得了第一名.
•思悟小结
1•有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“P且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”•
命题来判断（或推证）.
2•原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）
•教师下载中心教学点睛
1.
“p且q”形式的复合命
或”与“且”字，此
p
有的“P或q”与题语句中，字面上未出现
时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是或q”还是“P且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为
“或”•
2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系•
拓展题例
【例1】写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.
（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；
（2）若xy=O，则x=0或y=0;
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：
（1）命题的否定：
x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.
原命题的否命题：
若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.
（2）命题的否定：
xy=O则x工0且目丰0,为假命题.
原命题的否命题：
若xyH0,则x半0且沪0，是真命题.
（3）命题的否定：
一个数是质数,则这个数不是奇数,是假命题.
原命题的否命题：
若一个数不是质数,则这个数不是奇数,为假命题.
【例2】有A、B、C三个盒子,其中一内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条
A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内
C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的,请问苹果究竟在哪个盒子里？
解：
若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.
若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.
同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.
综上，苹果在B盒内.
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