word完整版高考圆锥曲线题型归类总结推荐文档.docx

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word完整版高考圆锥曲线题型归类总结推荐文档

圆锥曲线的七种常考题型

题型一：

定义的应用

1圆锥曲线的定义：

（1）椭圆

（2）双曲线

（3）抛物线

2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系

（2）等价转换，数形结合

3、定义的适用条件：

典型例题

2222

例1、动圆M与圆Ci：

x1y36内切，与圆C2：

x1y4外切，求圆心M的

轨迹方程。

例2、方程I,x62y2x6$y28表示的曲线是

题型二：

圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）

1、椭圆：

由x2、y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2、双曲线：

由x2、y2系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;

3、抛物线：

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题

（1）是椭圆；

（2）是双曲线.

题型三：

圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1常利用定义和正弦、余弦定理求解

2、PF1m,PF2n,mn,mn,mn,m2n2四者的关系在圆锥曲线中的应用

典型例题

22

例1、椭圆笃y牙1（ab0）上一点P与两个焦点Fl,F2的张角FPF，

ab

A.（1,3）

B.13

C.（3,+）

D.3,

求F1PF2的面积。

SF1PF2123•求该双曲线的标准方程

题型四：

圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值;

2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围;

3、注重数形结合思想不等式解法

典型例题

上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

2

例3、椭圆G:

冷

a

2

y21（ab0）的两焦点为R（c,0）,F2（c,0），椭圆上存在

b

uujuvuuuuv

点M使FMF2M

0.求椭圆离心率e的取值范围；

2

X

例4、已知双曲线巧

a

2

y21（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线

b

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

题型五：

点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系

AB

y2

1k2a

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:

4、圆锥曲线的中点弦问题:

1韦达定理：

2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简

（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2—4y2=4的弦AB—被点M（3,-1）平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l:

x+y=1交于A,B两点，C是AB

LJ5

的中点，若|AB|=2,2,O为坐标原点，0C的斜率为——，求椭圆的方程。

2

题型六：

动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：

建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：

直接利用条件建立匸卩之间的关系J'-;

例1、如已知动点P到定点F（1,0）和直线二：

-的距离之和等于4，求P的轨迹方程.

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m0）,端点A、B到x轴距离之积为2m

以x轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程

为

（3）定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的

轨迹方程；

例3、由动点P向圆'一•作两条切线PAPB,切点分别为AB,ZAPB=6d,则动点P的轨迹方程为

例4、点M与点F（4,0）的距离比它到直线hx+5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是

例5、一动圆与两圆OM/亠戸i和on：

疋+丁'-航mO都外切，则动圆圆心的轨迹为

⑷代入转移法：

动点J，l：

--"：

依赖于另一动点一--■1'■-的变化而变化，并且」'■-1'--又在某已知曲线上，则可先用兀少的代数式表示，再将A■:

-■■■：

代入已知曲线得要求的轨

迹方程：

例6、如动点P是抛物线】」■上任一点，定点为J-：

，点M分所成的比为2,

则M的轨迹方程为

（5）参数法：

当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考

虑将化匸均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

例7、过抛物线「i］的焦点F作直线■交抛物线于AB两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是

题型七：

（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：

①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:

之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）

三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：

抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

五、根据条件重转化；常有以下类型：

1“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：

需讨论K是否存在）

OAOB

K1?

K2

uuuruuur

OA?

OB0

x1x2y1y20

2“点在圆内、圆上、圆外问题”

向量的数量积大于、等于、小于0问题”

斜率关系（K1K20或K1K2）；

“直角、锐角、钝角问题”

x1x2y1y2>0；

3“等角、角平分、角互补问题”

4“共线问题”

uuuruuur

如：

AQQB数的角度：

坐标表示法；形的角度：

距离转化法）

（如：

A、0、B三点共线直线0A与0B斜率相等）；

5“点、线对称问题”坐标与斜率关系；

6“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题（提醒：

注意两个面积公式的合理选择）

六、化简与计算；

七、细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

基本解题思想：

1、“常规求值”问题：

需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：

当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：

⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：

⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求

出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：

将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：

有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：

大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而

然产生思路。

典型例题：

例1、已知点F0,1，直线l:

y1,P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足

uuuuuruuuuuu为Q,且QPgQFFPgFQ.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D0,2,圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B

两点，设DAl1,DB12，求--的最大值.

l2|1

例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODLABQ为

线段OD的中点，已知|AB=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上

运动且保持|PA+|PB的值不变•

（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程;

⑵过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点MN,且M在DN之间，设與=入，

DN

求入的取值范围

2

b21（ab0）的左右焦点。

2

x例3、设F,、F2分别是椭圆C:

仓

a

（1）设椭圆C上点（「3,仝）到两点R、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐

2

标；

（2）设K是

（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线

PM，PN的斜率都存在，并记为kpM，kpN，试探究kpMKpn的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为

3，最小值为1.

（I）求椭圆C的标准方程；

（n）若直线l:

ykxm与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB

为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标.

例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2.2，离心率为——,P是椭圆在第-

2

ujurULJLD

象限弧上一点，且PF1PF21，过P作关于直线F1P对称的两条直线PAPB分别交椭圆

于A、B两点。

（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值;

典型例题:

例1、

（1）«>设尸（砒）,则仑（m

・*・（O.y+l）C（—益2）=（u-1）4兀-2）.

即2（尸+1）=F-2（p-1）,3P=4y?

所以动点戸的轨迹亡的芳程H二3.

（2）ff：

设圆MEfl圆心坐标次I施仏b）,则二46*①

圆M的半径为=J/+3-卯.

园M的方程背©-a）2+（y-二出*@_肓.

令；7=0,=«<+（!

）-2）\

整理得.F-2符十4右-仁〔〕・②

由①、②解得，xa2.

不妨设Aa2,0,Ba2,0,

11l2ljl222a216

12

|i|i|2.：

'a464

当且仅当a22时，等号成立.

当a0时，由③得，上d2.

l2l1

故当a22时，h匕的最大值为2门.

l2ll

例2、解：

（1）以AB0D所在直线分别为x轴、y轴，0为原点，建立平面直角坐标系,•••|PA+IPB=|QA+IQB=2__2亦>|AB=4.

•••曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2.5,•a=.5,c=2,b=1.

2

•曲线C的方程为—+y2=1.

5

⑵设直线l的方程为y=kx+2,

2

代入L+y2=1,得（1+5k2）x2+20kx+15=0.

5

A=（20k）2-4X15（1+5k2）>0,得k2>3.由图可知DM乞=入

5DNx2

X1

由韦达定理得

X1

当a0时，由③得,

11l2

12ll

22•

\22

）X2

400k2

（15k2）2

X2

15

15k2

X2

20k

15k2

X2

15

15k2

将X1=XX2代入得

两式相除得

（1

）2

4OOk2

2

8O

15（15k）

1

3（5门）

k2

2

3

15

1

2O刚

8O

16

k

o

5

，即4

5’

k23

k25

3

1

S5）

3

k2

（1

）2

16

DM小

1

4

o,

解得-

3

3

DN

3

x-i

DM

-,M在DN中间，•••

入v1

X2

DN

又•.•当

k不存在时，显然

入=DM1

（此时直线

l与y轴重合）

DN3

综合得：

1/3w入v1.

例3、解：

（1）由于点（.3,-

在椭圆上,

（G）2

.32

（牙）

221得2a=4,…2分

b2

22

椭圆C的方程为xy

4

（2）设KF1的中点为B

，焦点坐标分别为（1,0）,（1,0）

（x,y）

则点

K（2x1,2y）

2

把K的坐标代入椭圆—

4

2

（2y）1

3

线段KF1的中点B的轨迹方程为

（x

i）2

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，

设M（x°,y°）N（Xo,yo）,p（x,y）,

4

2

牙1

4

N关于坐标原点对称

M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程,

kPMKpn=ji

xxoxxo

2

y

2

x

2

yo

2

Xo

2

~2

a

a

y。

2

2

x

，~2

a

10分

13分

故：

kPMKpn的值与点P的位置无关，同时与直线

L无关,

14分

2

x

（5分）

例4、解：

（I）椭圆的标准方程为一

4

（n）设a（X1,y1）,B（x2,y2）,

ykxm,

联立x2y2得（34k2）x28mkx4（m23）0,

1.

43

x1x2

XigX2

2222

64mk16（34k）（m3）

8mk

34k2，

4（m23）

34k2.

0,即34k2

0,则

又y〃2

2

（kx1m）（kx2m）kx1x2

mkgx2）

m2

3（m24k2）

2，

4k2

因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点

D（2,0）,

1,

kADkBD1，即

yiy2榔22（xiX2）40,

3（m24k2）

34k2

4（m2

3

3）

16mk

3~m?

4

22

9m216mk4k2

0.

解得：

2k,m22k,

且均满足

3

4k2m20,

7

1、当

2k时，

l的方程为

yk（x

2）,

直线过定点（2,0），与已知矛盾;

2、当

m2

2k亠

时，

l的方程为

ykx

2

2

，直线过定点,0.

7

7

7

所以，

直线

l过定点，

定点坐标为

-,•

（14分）

7

4k2

例5、

2

（1）匕

4

2

x-1

2。

Fi（0,、、2）,F2（0,

2），设P（X0,y°）（x。

0,

0）

unr

则PF1

（x°八2

uum

y0）,PF2

x0,2

y。

）.

uuruum22

PF1PF2x：

（2yo）

2x°

Q点P（x°,y°）在曲线上，则2

2

X0

42

从而于（2y2）1，得y0

则点p的坐标为（1八2）

则PB的直线方程为:

.2k（x1）

2得

y

1

4

（2）由

（1）知PFJ/X轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k0）,

y

y、.2k（x1）由x2

2

（2k2）x22k（、、2

k）xC、2k）240

设B（Xb，Yb），则Xb

2k（k.2）

2k2

k22.2k

2

k1

同理可得

Xa

2

2

k

Ya

Yb

k（xA

1）

k（x

所以:

ab

的斜率

kAB

Ya

Xa

解:

（1）

由23

1

|0F||

b

2

例6、

FP|sin

得tan

Yb

Xb

43t

4/31tan

（2）设P（Xo，yo）,则FP（Xo

uuu

of

Sofp

iOpi,X2

•••当且仅当

1）

Xa

Xb

8k

2k2

2为定值

4.2k

k2

得|OF||FP|

42,由cos

sin

OFFP

|0F||FP|

tsin

43

[0,

•夹角的取值范围是（一，一）

43

c,Yo）,OF

（c,0）.

uur

FP（xoc,y°）（c,0）（xo

1LULT

2

|OF||y°|2.3

yo

c）c

4」3

c

t（.31）c2

xo■.3c

2

y。

（3c）2（4c3）2

2.6

10分

3c

4-2即c2时,|0P|取最小值26,此时，0P（2.3,2.3）c

3__

0M（23,23）（0,1）（2,3）

3

3——

或0M（23,23）（0,1）（2,1）

3

12分

椭圆长轴

2a.（22）2（30）2,（22）2（30）28a4,b212

或2a（22）2

2

（10）

（22）2

（10）21..17

1■1721.17

a,b

22

22

故所求椭圆方程为

xy

1.或

x2

2

y1……

14分

1612

9

17

1.17

2

2