吉林大学离散数学课后习题答案.docx
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吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑
§2.2主要解题方法
2.2.1证明命题公式恒真或恒假
主要有如下方法:
方法一.真值表方法。
即列出公式的真值表,若表中对应公式所在列的每一取值全为1,这说明该公式在它的所有解释下都是真,因此是恒真的;若表中对应公式所在列的每一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假,因此是恒假的。
真值表法比较烦琐,但只要认真仔细,不会出错。
例2.2.1说明G=(PQR)(PQ)(PR)是恒真、恒假还是可满足。
解:
该公式的真值表如下:
P
Q
R
PQR
PQ
(PQR)(PQ)
PR
G
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表2.2.1
由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1,故G恒真。
方法二.以基本等价式为基础,通过反复对一个公式的等价代换,使之最后转化为一个恒真式或恒假式,从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2说明G=((PR)R)((QP)P)是恒真、恒假还是可满足。
解:
由(PR)R=PRR=1,以及
(QP)P=(QP)P=QPP=0
知,((PR)R)((QP)P)=0,故G恒假。
方法三.设命题公式G含n个原子,若求得G的主析取式包含所有2n个极小项,则G是恒真的;若求得G的主合取式包含所有2n个极大项,则G是恒假的。
方法四.对任给要判定的命题公式G,设其中有原子P1,P2,…,Pn,令P1取1值,求G的真值,或为1,或为0,或成为新公式G1且其中只有原子P2,…,Pn,再令P1取0值,求G真值,如此继续,到最终只含0或1为止,若最终结果全为1,则公式G恒真,若最终结果全为0,则公式G恒假,若最终结果有1,有0,则是可满足的。
例子参见书中例2.4.3。
方法五.注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是:
公式GH是恒真的;公式G,H等价的充要条件是:
公式GH是恒真的,因此,如果待考查公式是GH型的,可将证明GH是恒真的转化为证明G蕴涵H;如果待考查公式是GH型的,可将证明GH是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。
例2.2.3证明G=(PR)((QR)((PQ)R))恒真。
证明:
要证明(PR)((QR)((PQ)R))恒真,只需证明(PR)((QR)((PQ)R))。
我们使用形式演绎法。
(1)PR规则1
(2)QR附加前提
(3)PR规则2,根据
(1)
(4)QR规则2,根据
(2)
(5)(PR)(QR)规则2,根据(3)、(4)
(6)(PQ)R规则2,根据(5)
(7)(PQ)R规则2,根据(6)
(8)(PQ)R规则2,根据(7)
(9)(QR)((PQ)R)规则3,根据
(2)、(8)
2.2.2公式蕴涵的证明方法
主要有如下方法:
给出两个公式A,B,证明A蕴涵B,我们有如下几种方法:
方法一.真值表法。
将公式A和公式B同列在一真值表中,扫描公式A所对应的列,验证该列真值为1的每一项,它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1(真),则公式A蕴涵B。
例2.2.4设A=(PQR)(PQ),B=(PR),证明:
AB。
证明:
P
Q
R
PQR
PQ
A
B
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
表2.2.2
由表2.2.2可以看出,使A为真的解释均使B亦为真,因此,AB。
方法二.证明AB是恒真公式。
由例2.2.1知,(PQR)(PQ)(PR)恒真,因此,立即可得到例2.2.4中的结论:
(PQR)(PQ)(PR),即AB。
例2.2.5设A、B和C为命题公式,且AB。
请分别阐述(肯定或否定)下列关系式的正确性。
(1)(AC)(BC);
(2)(AC)(BC)。
解:
由AB知,AB是恒真公式,故A=1时,B不可能为0。
真值表如下:
A
B
C
AB
(AC)(BC)
(AC)(BC)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表2.2.3
从真值表可以看出,(AC)(BC)是恒真公式,所以,(AC)(BC)(AC)(BC)正确;(AC)(BC)不是恒真公式,所以,(AC)(BC)不正确。
例2.2.6设A=(RP)Q,B=PQ,证明A蕴涵B。
证明:
我们来证明AB恒真。
((RP)Q)(PQ)=((RP)Q)(PQ)
=((RP)Q)(PQ)
=(RQ)(PQ)(PQ)
=1
方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。
对于例2.2.6,由基本等价式可得:
A=(RP)Q
=(RP)Q
=(RP)Q
=(RQ)(PQ)
=(RQ)(PQ)
由教材中基本蕴涵式2.PQQ可知,(RQ)(PQ)(PQ),即A蕴涵B。
方法四.任取解释I,若I满足A,往证I满足B。
例2.2.7设A=PQ,B=(RQ)((PR)Q),证明A蕴涵B。
证明:
任取解释I,若I满足A,则有如下两种情况:
(1)在解释I下,P为假,这时,B等价于(RQ)(RQ),因此,I亦满足B。
(2)在解释I下,P为真,Q为真,所以,PRQ为真,故B为真,即,I满足B。
综上,I满足B,因此,A蕴涵B。
方法五.反证法,设结论假,往证前提假。
对于例2.2.6,证明(RP)Q蕴涵PQ,若使用方法三,是很烦琐的,而使用方法四,就很简单。
假设存在解释I使PQ为假,则只有一种情形,P在I下为真,且Q在I下为假,这时RP在I下为真,故I弄假(RP)Q。
因此,(RP)Q蕴涵PQ。
方法六.分别将公式A和公式B转化为它们各自的主析取式或主合取式。
若公式A的主析取式所包含的所有极小项也包含在公式B的主析取式中;或者,公式B的主合取式中所包含的极大项均包含在公式A的主合取式中,则公式A蕴涵公式B。
使用这种方法需要注意,当公式A和公式B中包含的原子不完全相同时,在求两公式的极小项或极大项时,要考虑该两公式包含命题原子的并集中的所有原子。
在例2.2.6中,A和B的主析取式分别为:
A=(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR),
B=(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR),
可见,AB。
A和B的主合取式分别为:
A=(PQR)(PQR)(PQR),
B=(PQR)(PQR)
可见,AB。
另外若给出前提集合S={G1,…,Gk},公式G,证明SG有如下两种方法:
1.G1…GkG
2.形式演绎法:
根据一些基本等价式和基本蕴涵式,从S出发,演绎出G。
教材中已经给出了这方面的例子,在此不再赘述。
2.2.3求主合取式和主析取式
1.极小项与极大项的性质
以3个原子为例,则对应极小项和极大项的表为:
P
Q
R
极小项
极大项
0
0
0
m0=PQR
M0=PQR
0
0
1
m1=PQR
M1=PQR
0
1
0
m2=PQR
M2=PQR
0
1
1
m3=PQR
M3=PQR
1
0
0
m4=PQR
M4=PQR
1
0
1
m5=PQR
M5=PQR
1
1
0
m6=PQR
M6=PQR
1
1
1
m7=PQR
M7=PQR
表2.2.4
由表2.2.4可知,对n个命题原子P1,…,Pn,极小项有如下性质:
(1)n个命题原子P1,…,Pn有
个不同的解释,每个解释对应P1,…,Pn的一个极小项。
(2)对P1,…,Pn的任意一个极小项m,有且只有一个解释使m取1值,若使极小项取1的解释对应的二进制数为i,则m记为mi,于是关于P1,…,Pn的全部极小项为m0,m1,…,
。
(3)任意两个不同的极小项的合取式恒假:
mimj=0,i≠j。
(4)所有极小项的析取式恒真:
=1。
极大项有如下性质:
(1)n个命题原子P1,…,Pn有
个不同的解释,每个解释对应P1,…,Pn的一个极大项。
(2)对P1,…,Pn的任意一个极大项M,有且只有一个解释使M取0值,若使极大项取0的解释对应的二进制数为i,则M记为Mi,于是关于P1,…,Pn的全部极大项为M0,M1,…,
。
(3)任意两个不同的极大项的析取式恒真:
MiMj=1,i≠j。
(4)所有极大项的合取式恒假:
=0。
2.主合取式与主析取式之间的关系
由极小项和极大项的定义可知,二者有如下关系:
mi=Mi,Mi=mi
由此可知,若PQR为一公式G的主合取式,则
G=G
=M0
=(M1M2…M6)
=M1M2…M6
=m1m2…m6
为G的主析取式。
若(PQ)(PQ)(PQ)为一公式H的主析取式,则
H=H
=((PQ)(PQ)(PQ))
=((m0m1m3))
=(m2)
=M2
=PQ
为H的主合取式。
一般地,若公式A中含n个命题原子,且A的主析取式中含有k个极小项:
,则A的主析取式中必含有其余的
-k个极小项,不妨设为:
,即
A=
。
因此,
A=A
=(
)
=
=
。
由此可知,从一公式A的主析取式求其主合取式的步骤如下:
(1)求出A的主析取式中没有包含的所有极小项。
(2)求出与
(1)中极小项下标相同的极大项。
(3)将
(2)求出的所有极大项合取起来,即得A的主合取式。
类似地,从一公式A的主合取式求其主析取式的步骤为:
(1)求出A的主合取式中没有包含的所有极大项。
(2)求出与
(1)中极大项下标相同的极小项。
(3)将
(2)求出的所有极小项析取起来,即得A的主析取式。
3.求主合取式和主析取式的方法
方法一.真值表法。
主析取式恰好是使得公式为真的解释所对应的极小项的析取组成,主合取式恰好是使得公式为假的解释所对应的极大项的合取组成。
方法二.公式推导法。
设命题公式G中所有不同原子为P1,…,Pn,则G的主析取式的求法如下:
(a)将公式G化为析取式。
(b)删去析取式中所有恒假的短语。
(c)用等幂律将短语中重复出现的同一文字化简为一次出现,如,PP=P。
(d)对于所有不是关于P1,…,Pn的极小项的短语使用同一律,补进短语中未出现的所有命题原子,并使用分配律展开,即,如果短语Gi’不是关于P1,…,Pn的极小项,则Gi’中必然缺少原子,不妨设为Pj1,…,Pjk,于是
Gi’=Gi’(Pj1Pj1)…(PjkPjk)
=
这样,就将非极小项Gi’化成了一些极小项之析取。
将相同的短语的多次出现化为一次出现,就得到了给定公式的主析取式。
主合取式的求法类似,留给读者作为练习。
由上面讨论可知,只要求出一种式,可立即得到另外一种式。
例2.2.8求公式G=P→(Q→R)的主析取式与主合取式。
解:
(1)使用真值表法。
见表2.2.5。
P
Q
R
P→(Q→R)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
表2.2.5
根据真值表中使得公式为真的解释,所对应的极小项的析取即为其主析取式:
G=(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
=m0m1m2m3m4m5m7
根据真值表中使得公式为假的解释,所对应的极大项的合取即为其主合取式:
G=PQR=M6
(2)公式推导法
G=P→(Q→R)
=PQR
=(P(QQ)(RR))
(Q(PP)(RR))
(R(PP)(QQ))
=(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)
=m0m1m2m3m4m5m7
G=P→(Q→R)
=PQR
=M6
4.主合取式与主析取式的应用
(1)由2.2.1可知,利用主合取式与主析取式可求解判定问题。
(2)证明等价式成立。
由于任意公式的主式是唯一的,所以可以分别求出两个给定的公式的主式,若二者主式相同,则给定的两公式是等价的,否则,给定的两公式不等价。
例2.2.9判断P→(Q→R)与(PQ)→R是否等价。
证明:
我们利用求主合取式的方法来判断。
由例2.2.8知,P→(Q→R)的主合取式为:
M6。
下面求(PQ)→R的主合取式。
(PQ)→R=(PQ)R
=(PQ)R
=(PR)(QR)
=(P(QQ)R)((PP)QR)
=(PQR)(PQR)(PQR)
=M2M4M6
二者的主合取式不相同,因此,这两个公式不等价。
2.2.4联结词的转化和全功能集
关于联结词的转化和全功能集方面一般有如下题型:
(1)要求只用几个联结词表示某个命题公式,见例2.2.10。
(2)给出一个新的联结词的定义,要求证明其是全功能集,并用其表示某个命题公式。
这种题目的做法如下:
由于不难证明出{,},{,},{,→},{},{}都是全功能联结词集合,因此,若要证明新定义的联结词是全功能集,只需证明上面某个全功能集合(比如{,})中的每个联结词(如,和)都可以用新联结词表示。
若想用其表示某个命题公式,可以先将基本联结词(,,)用给定的新联结词表示,然后按要求把原命题公式转化成用新联结词表示的形式。
见例2.2.11。
(3)证明一个联结词集合不是全功能集。
一般用归纳法,证明在有限步,用这个联结词结合不可能表示所有的命题。
见例2.2.12。
应该说明的是,寻求最少联结词的全功能联结词集合,主要不是个理论问题,而是为了满足工程实践的需要。
但是,一般情况下,为了不至于因为联结词的减少而使得公式的形式变得复杂,我们仍常采用“,,,→,”这5个联结词。
例2.2.10将公式(P→(QR))(PQ)用仅含联结词和的公式等价表示。
解:
(P→(QR))(PQ)=(P(QR))(PQ)
=(P(PQ))((QR)(PQ))
=(PQ)(Q(PQ))(R(PQ))
=(PQ)(PQ)((PQ)R)
=PQ
=(PQ)
例2.2.11定义三元联结词如表2.2.6。
e1
e2
e3
f(e1,e2,e3)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
表2.2.6三元联结词f(e1,e2,e3)的真值表
(1)试证明{f}是完备的,即,联结词集合{,}或{,}可由该联结词表示。
(2)用该联结词表示公式:
(P→R)Q。
(1)证明:
因为
P=f(P,P,P),PQ=f(P,P,Q),
所以联结词集合{,}可由该三元联结词f表示。
而联结词集合{,}是完备的,因此,{f}是完备的。
(2)解:
因为
PQ=f(P,P,Q),
所以
P→Q=PQ=f(P,P,Q).
又由
PQ=(PQ)=(QP)
=f(P,P,Q)=f(Q,Q,P).
因此
(P→R)Q=f(P,P,R)Q
=f(Q,Q,f(P,P,R))
=f(Q,Q,f(P,P,f(R,R,R)))
=f(f(Q,Q,f(P,P,f(R,R,R))),f(Q,Q,f(P,P,f(R,R,R))),f(Q,Q,f(P,P,f(R,R,R))))。
例2.2.12{,→}是否是联结词的全功能集合?
证明你的结论。
在证明此题之前,我们先直观分析一下。
考虑和→这两个联结词的特点:
当一个命题公式中只含有联结词和→时,则当公式中出现的所有命题原子都取真值1时,公式也必然取真值1。
这就是说,仅含和→的公式不能表示所有的命题公式,比如恒假式:
AA。
因此,联结词集合{,→}不是全功能集。
证明:
下面证明{,→}不是联结词的全功能集。
对公式中出现的联结词个数使用数学归纳法来证明下面的结论:
当一个命题公式中只含有联结词和→时,则当公式中出现的所有命题原子都取真值1时,公式也必然取真值1。
n=0时,即公式中不含任何联结词时,公式为原子,结论显然。
假设n≤k时,命题成立,即,如果一个公式中含有n个联结词,→,则当公式的所有原子真值取1时,公式也取真值1。
当n=k+1时,设任一含k+1个联结词的公式为A,则存在公式B和C,使得:
A=B→C或A=BC,
且B和C中的联结词个数均≤k。
由归纳假设知,当所有原子取真值1时,B和C在该解释下的真值均为1,因此,A在该解释下的真值亦为1。
归纳完成。
由该结论知,如果一个命题公式中只含有联结词和→,那么至少存在一个解释满足该公式。
因此,只含有联结词和→的公式肯定不能表示恒假公式。
所以,{,→}不是联结词的全功能集。
2.2.5综合应用题
综合题主要是先符号化,再使用上面的知识进行联结词的转化、或求主合取式、主析取式、利用基本等价式化简、或进行逻辑推理来论证或做逻辑判断等。
例2.2.13一个排队线路,输入为A,B,C,其输出分别为FA,FB,FC。
在同一时间只能有一个信号通过。
如果同时有两个或两个以上信号通过时,则按A,B,C的顺序输出。
例如,A,B,C同时输入时,只能A有输出。
写出FA,FB,FC的逻辑表达式,并化成全功能集{}中的表达式。
解:
先将已知事实中的各简单命题符号化,设:
P:
A输入;
Q:
B输入;
R:
C输入。
然后根据已知条件,写出FA,FB,FC的真值表如表2.2.7。
P
Q
R
FA
FB
FC
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
表2.2.7
于是,
FA=(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
=((PQ)(RR))((PQ(RR))
=(PQ)(PQ)
=P(QQ)
=P
=(PP)
=(PP)
=((PP)(PP))
=(PP)(PP).
FB=(PQR)(PQR)
=(PQ)(RR)
=PQ
=(PQ)
=(PQ)
=PQ
=P(QQ)
FC=PQR
=(PQR)
=(PQ)(R)
=((PQ))(R)
=((PQ))(R)
=((PQ)(PQ))(RR)
例2.2.14一一个公安人员审查一件盗窃案,已知的事实如下:
(1)A或B盗窃了x
(2)若A盗窃了x,则作案时间不能发生在午夜前
(3)若B证词正确,则在午夜时屋里灯光未灭
(4)若B证词不正确,则作案时间发生在午夜前
(5)午夜时屋里灯光灭了
(6)A并不富裕
试用演绎法找出盗窃犯。
解:
先将已知事实中的各简单命题符号化,设:
P:
A盗窃了x
Q:
B盗窃了x
R:
作案时间发生在午夜前
S:
B证词正确
T:
在午夜时屋里灯光未灭
U:
A并不富裕
再将各前提写出:
G1:
P∨QG2:
P→
R
G3:
S→TG4:
:
S→RG5:
TG6:
U
演绎过程为:
(1)S→T (规则1)
(2)
T(规则1)
(3)
S(规则2)
(4)
S→R(规则1)
(5)R(规则2)
(6)P→
R(规则1)
(7)
P(规则2)
(8)P∨Q(规则1)
(9)Q(规则2)
因此,是B盗窃了x。
例2.2.15一甲、乙、丙、丁四个人有且仅有两个人参加围棋优胜比赛。
关于谁参加比赛,下面四种判断都是正确的:
(1)甲和乙只有一人参加;
(2)丙参加,丁必参加;
(3)乙或丁至多参加一人;
(4)丁不参加,甲也不会参加。
请推断出哪两个人参加了围棋比赛。
解:
先将已知事实中的各简单命题符号化,设:
P:
甲参加了比赛;
Q:
乙参加了比赛;
R:
丙参加了比赛;
S:
丁参加了比赛.
依已知条件
(1)--(4)有:
(1)(PQ)(PQ