《水塔流量估计》word版.docx
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《水塔流量估计》word版
水塔流量的估计
一.问题的提出
某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约2h（小时）。
水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆
柱。
按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动
启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水
泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。
表1：
水位测量记录（时刻：
h，水位：
cm）
时刻
0
0.92
1.84
2.95
3.87
4.98
5.90
7.01
7.93
8.97
水位
968
948
931
913
898
881
896
852
839
822
时刻
9.98
10.92
10.95
12.03
12.95
13.88
14.98
15.90
16.83
17.93
水位
//
//
1082
1050
1021
994
965
941
918
892
时刻
19.04
19.96
20.84
22.01
22.96
23.88
24.99
25.91
水位
866
843
822
//
//
1059
1035
1011
二、问题分析
流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算:
一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。
下面我们用第二种方法处理。
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。
其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从t=0到t=8.97（h）水位下降了968–822=146（cm），乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。
这个数值可以用来检查拟合的结果。
3、模型假设
1.流量只取决于水位差，与水位本身无关。
按照Torricelli（托里切利,1608-1647,意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者）定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m（设出口的水位为零）,因为
所以可忽略水位对速度的影响。
2.根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位测量记录,假设水泵第1次供水时段为
到
第2次供水时段为
到
。
其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。
3.水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。
4.流量是对时间的连续函数。
5.流量与水泵是否工作无关。
6.由于水塔截面积是常数,
为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可。
即：
水位是时间的连续函数
水位对时间的变化率（流量）
任何时刻的流量：
四、模型建立
1.拟合水位~时间函数
从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段（以下称第1用水时段
到
，第2用水时段
到
第3用水时段
以后）。
对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数
和
。
为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。
由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。
2.确定流量~时间函数
对于第1、2用水时段，只需将水位函数
求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。
3.一天总用水量的估计
总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。
五、模型求解
根据表一，可以对各时段的数据进行拟合。
建立时间和水位向量
的函数关系。
为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。
先用3次函数进行拟合第一时段[0,9]的水位、流量。
设t、h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入）:
>>h=[9689489319138988818698528398220010821050102199496594191889286684382200105910351018];
>>t=[00.921.842.953.874.985.907.017.938.979.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91];
>>x1=t（1:
10）;x2=x1.^2;x3=x1.^3;
>>n=10;m=3;
>>x=[ones（n,1）,x1',x2',x3'];
>>[b,bint,r,rint,stats]=regress（h（1:
10）',x,0.05）
b=
967.7356
-22.1079
1.3586
-0.0785
bint=
966.5367968.9345
-23.3536-20.8622
1.02411.6932
-0.1030-0.0541
r=
0.2644
-0.4851
-0.1676
0.6754
0.0260
-0.6328
0.5374
-0.4676
0.3089
-0.0590
rint=
-0.32160.8505
-1.59340.6232
-1.36341.0282
-0.28831.6392
-1.24271.2947
-1.70320.4376
-0.53391.6088
-1.55600.6207
-0.86961.4874
-0.65340.5353
stats=
1.0e+004*
0.00012.32220.00000.0000
>>rcoplot（r,rint）
残差分析可以看到，拟合比较符合，拟合效果较好。
经过实验，选取3次较合适。
故以下选用三次函数进行拟合。
1、拟合第1用水时段各时刻的流量，可由如下程序代码得到：
c1=polyfit（t（1:
10）,h（1:
10）,3）;%用3次多项式拟合第1用水时段水位h1=h1（t），c1输出
3次多项式的系数
a1=polyder（c1）;%a1输出多项式（系数为c1）导数的系数，
h1=-polyval（a1,t（1:
10））;%给出水位变化率h1=h1（t）在t
（1）-t（10）上的离散值，即流量
t1=0:
0.1:
9;%将第一用水时段[0,9]细分
h11=-polyval（a1,tp1）;%h11输出多项式a1在t11点的函数值（取负后边为正值），即t11
时刻的流量（水位下降的速率）。
用程序进行计算，求得在[0，9]内各时刻的流量值（水位变化率）如下表：
0
0.92
1.84
2.95
3.87
4.98
5.90
7.01
7.93
8.97
22.11
19.81
17.91
16.14
15.12
14.42
14.28
14.64
15.38
16.69
第一用水段流量（水位变化率）曲线图
2.拟合第2用水时段[11,20.8]的水位、流量
c2=polyfit（t（13:
23）,h（13:
23）,3）;%用3次多项式拟合第2用水时段水位水位h2=h2（t），
c2输出3次多项式的系数
a2=polyder（c2）;%a2输出多项式（系数为c2）导数的系数,
h2=-polyval（a2,t（13:
23））;%给出水位变化率h2’=h’2（t）
t2=11:
0.1:
20.8;%将第二用水时段[11,20.8]细分
h22=-polyval（a2,t2）;%x2输出多项式（a2）在tp2点的函数值（取负后边为正值），即tp2
时刻的流量（水位下降的速率）。
进行计算，求得在[11,20.8]内各时刻的流量值（水位变化率）如下表：
10.95
12.03
12.95
13.88
14.98
15.90
16.83
17.93
19.04
19.96
20.84
22.11
19.81
17.91
16.14
15.12
14.42
14.28
14.64
15.38
16.69
67.81
第二用水段流量（水位变化率）曲线图
3.拟合第1供水时段[9，11]的流量
在第1供水时段（t=9~11）之前（即第1用水时段）和之后（第2用水时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量。
为使流量函数在t=9和t=11连续我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：
x1=-polyval（a1,[89]）%取第1时段在t=8,9的流量
x2=-polyval（a2,[1112]）%取第2时段在t=11,12的流量
x12=[x1x2];%将四个点合并
c12=polyfit（[891112],x12,3）;%拟合3次多项式
t12=9:
0.1:
11;%将第一供水时段[11,20.8]细分
xx12=polyval（c12,t12）;%xx12输出第一供水时段各时刻的流量
进行计算，求得在[9,11]内各时刻的流量值（水位变化率）如下表：
9.98
10.92
25.39
32.45
第一供水段流量（水位变化率）曲线图
4.拟合第2供水时段[20.8,24]的流量
在第2供水时段之前取t=20,20.8两点的水流量，在该时刻之后（第3用水段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下：
dt3=diff（t（26:
28））;%最后3个时刻之后的两两之差
dh3=diff（h（26:
28））;%最后3个水位的两两之差
dht3=-dh3./dt3;%t（22）和t（23）的流量（差商代替微商）
t3=[2020.8t（26）t（27）]；%取第二供水时段前后各两点
x3=[-polyval（a2,t3（1:
2））,dht3];%求得t3各时刻的流量
c3=polyfit（t3,x3,3）;%拟合3次多项式
t3=20.8:
0.1:
24；%将第二供水时段和第三用水时段细分
xx3=polyval（c3,t3）;%xx3输出第2供水时段及第三用水时刻的流量
用程序进行计算，求得在[20.8,24]内各时刻的流量值（水位变化率）如下表：
22.01
22.96
23.88
24.99
25.91
25.547
23.937
21.622
18.478
16.08
第二供水段流量（水位变化率）曲线图
4.一天总用水量的估计
第1、2用水时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。
虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。
（1）.第一用水时段的用水量
其中积分值h1通过梯形公式计算：
（2）.第二用水时段的用水量
（3）.第一供水时段的用水量
（4）.第二供水和第三用水时段的用水量
m1=0.1*trapz（h1）;%第1用水时段用水量（按高度计）,0.1为积分步长
m2=0.1*trapz（h2）;%第2用水时段用水量
m12=0.1*trapz（xx12）;%第1供水时段用水量
m3=0.1*）trapz（xx3）;%第2供水时段用水量
V=（m1+m2+m12+m3）*237.8*0.01;%一天总用水量,高度是cm，换算成m。
通过程序可以计算出各时段的用水量及一天的总用水量如下：
用水量
第1用水时段
第2用水时段
第1供水十点
第2供水时段
一天总用水量
吨
347.62
613.63
119.85
178.14
1259.2
其中四个时段都用三次多项式进行拟合，如果第一用水时段、第一、二供水时段用三次多项式，第二用水时段用四次多项式拟合，得另一计算结果：
用水量
第1用水时段
第2用水时段
第1供水十点
第2供水时段
一天总用水量
吨
347.62
613.76
115.33
187.02
1263.7
下图为一天用水流量的曲线图：
5.流量及总用水量的检验
计算出的各时刻的流量可用水位记录的数据来检验。
用水量V1用第1用水时段水位测量记录中下降高度h1=968-822=146cm来计算并检验，在第一用水时段水的实际用量为：
V1=S*h1=237.8*146*0.01=347.19（吨）
类似地，第二用水时段用去的水的高度h2=1082-822=260cm,实际用水量为：
V3=S*h2=237.8*260*0.01=618.28（吨）
而计算值为：
V1=347.62（吨），V2=613.76（吨）比较接近。
供水时段流量的一种检验方法如下：
供水时段的用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的功率应大致相等。
第1、2时段水泵的公率可以计算如下：
p1=（V1+260*0.01*237.8）/2;%第1供水时段水泵的功率（水量以高度计）
tp2=20.8:
0.1:
23;
xp2=polyval（c3,tp2）;%xp2输出第2供水时段各时刻的流量
p2=（0.1*trapz（x3）+260*0.01）*237.8/2.2;%第2供水时段水泵的功率（水量仍以高度计）
六.模型评价
在实际中，各时段的函数拟合次数不一定相同，本题中为了方便，由第一用水时段的分析而推广至全部时段，应运了3次拟合。
因此可以对此进行改进。
本文分段处理，并应运了第2用水时段的外推，得到供水时段的用水量，方法简便，且有较好的实际效果，比较成功。
（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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