工程数学典型实验2.docx
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工程数学典型实验2
2.1生产计划安排
NWAC电力公司为军事承包商生产4种类型的电缆。
每种电缆必须经过4种相继的操作：
拼接、焊接、套管和检查。
表2.1给出了该问题相关的数据。
承包商保证对于四种电缆的每一种最低产量是100个单位。
表2.1不同产品的生产时间及收入单位:
分钟数
电缆
拼接
焊接
套管
检查
单位收入（$）
Sc320
10.5
20.4
3.2
5.0
9.40
Sc325
9.3
24.6
2.5
5.0
10.80
Sc340
11.6
17.7
3.6
5.0
8.75
Sc370
8.2
26.5
5.5
5.0
7.80
日能力（分钟）
4800
9600
4700
4500
（1）将问题建立成一个线性规划模型，并确定最优的产品进度表。
（2）基于对偶价格（DualPrice）,你会推荐增加四种操作中哪一种操作的能力？
试解释。
（3）对于四种电缆的最低产量要求对NWAC电力公司有利还是不利？
试分析。
解:
（1）设电缆Sc320为x1、Sc325为x2、Sc340为x3、Sc370为x4
于是有：
Max=9.4*x1+10.8*x2+8.75*x3+7.8*x4;
10.5*x1+9.3*x2+11.6*x3+8.2*x4<=4800;拼接时间
20.4*x1+24.6*x2+17.7*x3+26.5*x4<=9600;焊接时间
3.2*x1+2.5*x2+3.6*x3+5.5*x4<=4700;套管时间
5．0*（x1+x2+x3+x4）<=4500;检查时间
X1>=100;x2>=100;x3>=100;x4>=100;承包商保证
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;取整
将上面内容带入Lingo9.0
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4009.550
Extendedsolversteps:
3
Totalsolveriterations:
13
VariableValueReducedCost
X1100.0000-9.400000
X2101.0000-10.80000
X3137.0000-8.750000
X4100.0000-7.800000
RowSlackorSurplusDualPrice
14009.5501.000000
2401.50000.000000
30.50000000.000000
43084.3000.000000
52310.0000.000000
60.0000000.000000
71.0000000.000000
837.000000.000000
90.0000000.000000
总收入为：
4009.550$
最优的产品进度表为：
（个单位）
X1100.0000
X2101.0000
X3137.0000
X4100.0000
（2）去除X1>=100;x2>=100;x3>=100;x4>=100;承包商保证一句，带入Lingo9.0运行，得到：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4447.700
Extendedsolversteps:
3
Totalsolveriterations:
18
VariableValueReducedCost
X10.000000-9.400000
X2219.0000-10.80000
X3238.0000-8.750000
X40.000000-7.800000
RowSlackorSurplusDualPrice
14447.7001.000000
22.5000000.000000
30.0000000.000000
43295.7000.000000
52215.0000.000000
由此看出基于对偶价格（DualPrice）,x3达到极限时总收入最佳，所以我推荐增加x3操作的能力。
（3）对于四种电缆的最低产量要求对NWAC电力公司不利,原因是：
若去除X1>=100;x2>=100;x3>=100;x4>=100;承包商保证一句（见上面
（2）运行结果），带入Lingo9.0运行得到总收入为：
4447.700$，大于上面的总收入为：
4009.550$。
2、工程进度问题
某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程.每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样.表3.1提供这此项目的基本数据.
工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成.必要时，其余的二项工程
可以在预算的限制内完成部分.然而，每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%.每年底，工程完成的部分立刻入住，并目实现一定比例的收入.例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是0.4x50（第二年）+0.4x50（第三年）+（0.4+0.6）x50（第四年）+（0.4+0.6）x50（第五年）=（4x0.4+2x0.6）x50（单位:
万元）.试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。
表3.1项目的基本数据
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
总费用（千万）
年收入（万元）
工程1
开始
结束
5.0
50
工程2
开始
结束
8.0
70
工程3
开始
结束
15.0
150
工程4
开始
结束
1.2
20
预算（千万）
3.0
6.0
7.0
7.0
7.0
解：
设四个工程为xa,xb,xc,xd，年数为1，2，3，4，5，则某工程某年的完成量为xa1~xa5,xb1~xb5,xc1~xc5,xd1~xd5。
根据题意于是有限定条件
Xa1+Xa2+Xa3=1;完成全部
Xb2+Xb3+Xb4+Xb5<=1;完成全部
Xb2+Xb3+Xb4+Xb5>=0.25;每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%
Xc1+Xc2+Xc3+Xc4+Xc5<=1;完成全部
Xc1+Xc2+Xc3+Xc4+Xc5>=0.25;每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%
Xd3+Xd4=1;完成全部
5000*Xa1+15000*Xc1<=3000;第一年预算限定
5000*Xa2+8000*Xb2+15000*Xc2<=6000;第二年预算限定
5000*Xa3+8000*Xb3+15000*Xc3+1200*Xd3<=7000;第三年预算限定
8000*Xb4+15000*Xc4+1200*Xd4<=7000;第四年预算限定
8000*Xb5+15000*Xc5<=7000;第五年预算限定
Max=50*（4*Xa1+3*Xa2+2*Xa3）+70*（3*Xb2+2*Xb3+1*Xb4）+150*（4*Xc1+3*Xc2+2*Xc3+1*Xc4）+20*（2*Xd3+1*Xd4）;总收入
输出结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
523.7500
Totalsolveriterations:
9
VariableValueReducedCost
XA10.0000000.000000
XA20.0000000.000000
XA31.0000000.000000
XB20.00000020.00000
XB30.00000010.00000
XB40.22500000.000000
XC10.20000000.000000
XC20.40000000.000000
XC30.5333333E-010.000000
XC40.34666670.000000
XD31.0000000.000000
XD40.0000008.000000
XB50.2500000E-010.000000
XC50.00000018.75000
RowSlackorSurplusDualPrice
1523.75001.000000
20.0000006.250000
30.75000000.000000
40.0000000.000000
50.00000018.75000
60.75000000.000000
70.00000017.50000
80.0000000.3875000E-01
90.0000000.2875000E-01
100.0000000.1875000E-01
110.0000000.8750000E-02
126800.0000.000000
工程确定最优的时间进度表，见运行结果中红色部分
五年内的总收入523.7500万元
3、投资问题
假设投资者有如下四个投资的机会.
（A）在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息.
（B）在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5元.两年后取息，可重新将本息投入生息.这种投资最多不得超过20万元.
（C）在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息0.6元，这种投资最多不得超过15万元.
（D）在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元可获利息0.4元，这种投资不得超过10万元.假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30万元的资金可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年底获得最高的收益.
解：
设有项目xa,xb,xb,xd。
三年用1，2，3表示，于是有a项目收益xa1~a3,b项目收益xb1~xb3,c项目收益xc1~xc3,d项目收益xd1~xd3。
max=1.2*xa3+1.6*xc2+1.4*xd3；总收益
s.t.
xa1+xb1=30;开始有30万元的资金
xa2+xc2=1.2*xa1;
xa3+xd3=1.2*xa2+1.5*xb1;
xb1<=20;xb1>=0;
xc2<=15;xc2>=0;
xd3<=10;xd3>=0;
将上面内容带入Lingo9.0,运行结果为
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
57.50000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
XA316.250000.000000
XC215.000000.000000
XD310.000000.000000
XA112.500000.000000
XB117.500000.000000
XA20.0000000.6000000E-01
RowSlackorSurplusDualPrice
157.500001.000000
20.0000001.800000
30.0000001.500000
40.0000001.200000
52.5000000.000000
617.500000.000000
70.0000000.1000000
815.000000.000000
90.0000000.2000000
1010.000000.000000
3年总收入为57.50000万元
投资方式为运行结果中红色部分
4生产计划与库存问题
表3.2每月每箱冰淇淋的价格
六月
七月
八月
供应商1
100美元
110美元
120美元
供应商2
115美元
108美元
125美元
model:
min=50*x16+60*x17+55*x18+75*x26+90*x27+80*x28+y17*1+y27*2+y18*1+y28*2;
0.6*x16<=800;
0.6*x17<=700;
0.6*x18<=550;
0.8*x26<=1000;
0.8*x27<=850;
0.8*x28<=700;
x16>=500;
x26>=500;
x16+x17>=950;
x26+x27>=950;
x16+x17+x18>=1550;
x26+x27+x28>=1550;
x16>=x26;
x16+x17>=x26+x27;
x16+x17+x18>=x26+x27+x28;
y17=x16-500;
y27=x26-500;
y18=x16+x17-950;
y28=x26+x27-950;
@gin（x17）;@gin（x18）;@gin（x16）;
@gin（x26）;@gin（x27）;@gin（x28）;
@gin（y17）;@gin（y18）;@gin（y27）;@gin（y28）;
5.
model:
min=50*x16+60*x17+55*x18+75*x26+90*x27+80*x28+y17*1+y27*2+y18*1+y28*2;
0.6*x16<=800;
0.6*x17<=700;
0.6*x18<=550;
0.8*x26<=1000;
0.8*x27<=850;
0.8*x28<=700;
x16>=500;
x26>=500;
x16+x17>=950;
x26+x27>=950;
x16+x17+x18>=1550;
x26+x27+x28>=1550;
x16>=x26;
x16+x17>=x26+x27;
x16+x17+x18>=x26+x27+x28;
y17=x16-500;
y27=x26-500;
y18=x16+x17-950;
y28=x26+x27-950;
@gin（x17）;@gin（x18）;@gin（x16）;
@gin（x26）;@gin（x27）;@gin（x28）;
@gin（y17）;@gin（y18）;@gin（y27）;@gin（y28）;
6下料问题
用长度为500厘米的条材，截成长度分别为98厘米和78厘米二种毛坯，
要求共截出长98厘米的毛坯10000根，78厘米的20000根，问怎样截法，
（1）使得所用的原料最少?
（2）使得所剩余的边料最少?
试分析两种问题的答案是否相同.
解：
由已知可得现有500厘米的条材，要截出98厘米和78厘米两种不同的长度的条材，可选择的模式如下表所示：
选择模式
98厘米条材根数
78厘米条材根数
余料/厘米
1
5
0
10
2
4
1
30
3
3
2
50
4
2
3
70
5
1
5
12
6
0
6
32
（1）欲使所用原料最少，建立如下数学模型，其中xi为采用第i中模式的切割根数：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;
5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5>=10000;
x2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6>=20000;
7．最小覆盖问题
解：
设xi为是否在第i区设立消防站，i=1,2,3,4,5,6；如设立消防站，则xi=1，否则xi=0。
LINGO程序如下，
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;
x1+x2=1;
x2+x6=1;
x3+x4=1;
x4+x5=1;
x5+x6=1;
运行结果，
结果分析：
这个城市需要3个消防站，分别设在第2区、第3区和第5区。
8、加分实验（监控摄像头的最优安装）
在过去几个月里，某小区发生了多次夜间行窃案件.此小区有保安巡逻，但保安人数太少.因此，负责此小区的安全部门决定安装r监控摄像头，以协助保安工作.这此监控摄像头都可以360度旋转，因此，在几条街道的交汇处安装一个摄像头就可以同时对这此街道进行监控.图3.1是此小区的地图，其中给出了需要用闭路电视进行监控的区域范围，并用数字标出了49个可以安装摄像头的位置.应该洗择在哪此位置安装摄像头才能伸需要使用的摄像头数目最少?
解：
设xi表示i（i=1,2····49）处是否安装摄像头，为1表示要安装，为0表示不要安装，则目标函数为：
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48+x49；
为了使每条街道都能被拍摄到，我们有：
x1+x2>=1;
x1+x3>=1;
x2+x39>=1;
x2+x41+x42>=1;
x39+x40+x41>=1;
x3+x4>=1;
x4+x5>=1;
x4+x6+x8+x9>=1;
x6+x7>=1;
x9+x10>=1;
x3+x11>=1;
x12=1;
x11+x21+x22+x25+x26+x27>=1;
x22+x23>=1;
x23+x32+x38>=1;
x39=1;
x37+x38+x40>=1;
x31+x32>=1;
x25+x30>=1;
x26+x28>=1;
x28+x29>=1;
x30+x31+x33+x37+x43>=1;
x33+x34>=1;
x34+x35>=1;
x35+x36>=1;
x46=1;
x43+x44+x45>=1;
x44+x49>=1;
x45+x47>=1;
x47+x48>=1;
x24+x25>=1;
x17+x18+x19+x20+x21>=1;
x16+x20>=1;
x12+x15+x19>=1;
x14+x15+x16>=1;
x12+x13+x14>=1;
利用lingo软件进行求解得到：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
19.00000
Variable Value ReducedCost
X2 1.000000 0.000000
X3 1.000000 0.000000
X5 1.000000 0.000000
X6 1.000000 0.000000
X9 1.000000 0.000000
X12 1.000000 0.000000
X16 1.000000 0.000000
X18 1.000000 0.000000
X22 1.000000 0.000000
X25 1.000000 0.000000
X28 1.000000 0.000000
X32 1.000000 0.000000
X33 1.000000 0.000000
X35 1.000000 0.000000
X39 1.000000 0.000000
X40 1.000000 0.000000
X44 1.000000 0.000000
X46 1.000000 0.000000
X47 1.000000 0.000000
为0的在此没写出来，由此我们可以得到，在点2,3,5,6,9,12,16,18,22,25,28,32,33,35，3940,44,46,47处要安装摄像头，共19个。
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