初一数学等腰三角形的性质和判定.docx

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初一数学等腰三角形的性质和判定

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号：

学员编号：

年级：

初一课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

数学培训师：

薛子坤

课题

等腰三角形的性质和判定

授课日期及时段

教学目的

了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题．

教学内容

一、等腰三角形的性质：

1.等腰三角形的两腰相等；

2.等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”）；

3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

（简称“三线合一”）

4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。

等腰三角形的性质

文字叙述

几何语言

等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）

C

B

A

∵AB=AC

∴∠B=∠C

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）

∵AB=AC，∠1=∠2

∴AD⊥BC，BD=CD

性质应用：

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（　　）

A．42°B．60°C．36°D．46°

2.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（）

A.35°B.40°C.70°D.110°

3.等腰三角形的对称轴是（）

A．顶角的平分线B．底边上的高

C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线

4.一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长是5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）．

A．12cmB．17cmC．19cmD．17cm或19cm

5.如下图，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（　　）

A．10°B．12．5°C．15°D．20°

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．

7.若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．

8.如图，若等腰三角形的两腰长分别为

cm和（

）cm，且周长为17cm,则第三边的长为________．

9.如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD、AE，则∠DAE=_______．

10.如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是.

三、解答题（50分）

11.（12分）如图，已知△ABC中AB=AC，点P是底边的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，求证：

PD=PE.

12.（12分）（12分）如图，已知：

AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,求证：

∠C=∠D

二、等腰三角形的判定定理：

名称

图形

概念

性质与边角关系

判定

等

腰

三

角

形

两边有相等的三角形是等腰三角形

1.两腰相等

1.两边相等——如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．（在同一个三角形中，等角对等到边）

2.等边对等角,

2.等角对等边

3.三线合一。

4.是轴对称图形.

知识应用：

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）

A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm

2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：

①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）

A．①②③B．①②③④C．①②D．①

4．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）

A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．CH=HDD．AC=AF

5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）个

A.4B.4C.5D.6

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：

BC=_________．

7.△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=______

8.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC的边一定满足________．

9.△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个

三、解答题（50分）

11.（12分）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离．

12.（12分）已知：

如图所示，在△ABC中，AB=AC,CD及BE为三角形的高且交于点O

求证：

△OBC为等腰三角形.

13.（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD=∠ACD．

求证：

AD⊥BC

课后练习

一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案

1．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（）

A．3　　　　B．5　　　　C．7　　　　D．9

2．在射线、角和等腰三角形中，它们（）轴对称图形

A．都是　　　　　　　　B．只有一个是

C．只有一个不是　　　　D．都不是

3．如下图：

△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（）个等腰三角形。

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

4．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（）

A．等腰三角形

B．等腰直角三角形

C．非等腰三角形

D．等边三角形

5．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（）

A．70°　　　　　　　B．20°或70°

C．40°或70°　　　D．40°或20°

二、填空题（每题6分，共30分）

1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________。

2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________

3．如下图：

△ABC中，AB=AC，DE是AB中垂线交AB、AC于D，E，若△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，若∠A=50°，则∠CBE=______________。

4．等腰三角形中有两个角的比为1：

10，则顶角的度数是__________________。

5．如下图：

等边△ABC，D是形外一点，若AD=AC，则∠BDC=_____________度。

三、作图题（6分），只画图，不写作法。

如左图：

直线MN及点A，B。

在直线MN上作一点P，使∠APM=∠BPM。

四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）

1．已知：

如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。

求证：

HB=HC。

2．已知：

如图：

等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：

。

3．已知：

如图：

△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。

求：

∠C的度数。

选作题：

已知：

如图：

△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，若∠1=∠2，PB=PC。

求证：

AD⊥BC。

参考答案

1.A2.B3.D4.D5.C6.56º7.65º或50º8.5cm9.115°10.6+2a

11.证明：

连接AP，因为AB=AC，点P是底边的中点，所以AP平分∠BAC，又因为PD⊥AB，PE⊥AC，所以PD=PE.

12．证明：

连接AC、AD，如图所示，则△ABC≌△AED（SSS）,所以∠ACB=∠ADE,AC=AD,所以∠ACD=∠ADC,所以∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，也即∠BCD=∠EDC

1．A2．C3．A4．C5.D

6.17.2cm8.AB=AC9.610.8

11.解：

因为∠C+∠NAC+∠ABC=180º，∠NAC=32°，∠ABC=116°，所以∠C=∠NAC=32º，所以BC=AB=30×4=120（海里）

12.证明：

因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，又因为∠BDC=∠BEC=90°,且BC=BC（公共边），所以△BDC≌△CEB（AAS），所以∠BCD=∠EBC,所以OB=OC,所以△OBC为等腰三角形.

13.证明：

延长AD交BC于E，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∴D在BC和垂直平分线，∵AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∴AE为BC的垂直平分线，∴AE⊥BC，即AD⊥BC

14.证法一：

∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB＝∠AEC，∵在△ABD和△ACE中，AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，DB＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．

证法二：

过A作AF⊥BC于F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE且B，D，E，C在一条直线上，∴BD＋DF＝CE＋FE，∴BF＝CF，AF为BC的垂直平分线，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．

参考答案

一、选择题（每题6分，共30分）每题有且只有一个正确答案

1．C2．A3．C4．D5．B

二、填空题（每题6分，共30分）

1．50°或80°

2．6

3．10，15°

4．150°或

5．30

三、作图题（6分），只画图，不写作法。

四、解答题（第1小题12分，第2、3小题各11分）

证明：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（同一△中等边对等角）

∵CE⊥AB，∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形中两个锐角互余）

同理∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，

∴HB=HC（同一△中等角对等边）

2．证明：

∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°

在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠2=∠1

∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60°

∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30°

∵BM⊥AD，∴

（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）

3．解：

延长DB到E，使BE=AB，连结AE，则∠1=∠E。

∵∠ABC=∠1+∠E，∴∠ABC=2∠E

∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DC，即DE=DC

∵AD⊥BC，∴AE=AC，∴∠C=∠E，∴∠ABC=2∠C

∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=120°

∴2∠C+∠C=180°-120°=60°，

∴∠C=20°

答：

∠Ｃ的度数是20°

选作题

证明：

作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N

∵∠1=∠2，∴PM=PN

在Rt△BPM和Rt△CPN中

∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）

∴∠ABP=∠ACP

∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。

∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，即∠ABC=∠ACB。

∴AB=AC，∵∠1=∠2

∴AD⊥BC