4份高考数学浙江理科专用二轮专题复习精练突破练.docx

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4份高考数学浙江理科专用二轮专题复习精练突破练

【4份】2016年高考数学二轮专题复习精练

（浙江理科专用）

突破练

目录

突破练

（一）1

突破练

（二）7

突破练（三）13

突破练（四）17

突破练

（一）

1.已知函数f（x）＝sinxcosx＋cos2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）＝1.

（1）求角B的大小；

（2）若a＝，b＝1，求c的值．

解　

（1）因为f（x）＝sin2x＋cos2x＝sin，

所以f（B）＝sin＝1，

又∈，

所以2B＋＝，

所以B＝.

（2）法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得

c2－3c＋2＝0，

所以c＝1，或c＝2.

法二　由正弦定理＝＝得sinA＝，

所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；

当A＝时，C＝，所以c＝1.

2.如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.

（1）求证：

AB∥GH；

（2）求二面角D－GH－E的余弦值．

（1）证明　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，

所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.

又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，

所以EF∥GH.又EF∥AB，

所以AB∥GH.

（2）解　在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，

所以∠ABQ＝90°.

又PB⊥平面ABQ，

所以BA，BQ，BP两两垂直．

以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设BA＝BQ＝BP＝2，则E（1,0,1），F（0,0,1），Q（0,2,0），D（1,1,0），C（0,1,0），P（0,0,2）．

所以＝（－1,2，－1），＝（0,2，－1），＝（－1，－1,2），＝（0，－1,2）．

设平面EFQ的一个法向量为m＝（x1，y1，z1），

由m·＝0，m·＝0，

得取y1＝1，得m＝（0,1,2）．

设平面PDC的一个法向量为n＝（x2，y2，z2），

由n·＝0，n·＝0，

得取z2＝1，得n＝（0,2,1），

所以cos〈m，n〉＝＝.

因为二面角D－GH－E为钝角，

所以二面角D－GH－E的余弦值为－.

3．某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表所示：

（单位：

万美元）

项目

类别

年固定成本

每件产品成本

每件产品销售价

每年最多可生产的件数

A产品

20

m

10

200

B产品

40

8

18

120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

（1）写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；

（2）如何投资最合理（可获得最大年利润）?

请你作出规划．

解　

（1）由年销售量为x件，按利润的计算公式，得生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为

y1＝10x－（20＋mx）＝（10－m）x－20（x∈N,0≤x≤200），

y2＝18x－（8x＋40）－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40（x∈N,0≤x≤120）．

（2）因为6≤m≤8，

所以10－m>0，函数y1＝（10－m）x－20是[0,200]上的增函数，

所以当x＝200时，生产A产品有最大利润为（10－m）×200－20＝1980－200m（万美元）．

又y2＝－0.05（x－100）2＋460（x∈N,0≤x≤120）．

所以当x＝100时，生产B产品有最大利润为460万美元．

因为y1max－y2max＝1980－200m－460＝

1520－200m

所以当6≤m<7.6时，可投资生产A产品200件；

当m＝7.6时，要生产A产品与生产B产品均可；

当7.6

4．如图，点P（0，－1）是椭圆C1：

＋＝1（a>b>0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：

x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

解　

（1）由题意得

所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：

x2＋y2＝4，

故点O到直线l1的距离d＝，

所以|AB|＝2＝2.

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.

由

消去y，整理得（4＋k2）x2＋8kx＝0，故x0＝－.

所以|PD|＝.

设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|

＝，所以S＝

≤＝，

当且仅当k＝±时取等号．

所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.

5．数列{an}满足：

a1＋2a2＋…＋nan＝4－，n∈N*.

（1）求a3的值；

（2）求数列{an}前n项和Tn；

（3）令b1＝a1，bn＝＋an（n≥2），证明：

数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2＋2lnn.

（1）解　a1＝1，a1＋2a2＝2，a2＝，a1＋2a2＋3a3＝4－，a3＝.

（2）解　n≥2时，a1＋2a2＋…＋（n－1）an－1＝4－，

与原式相减，得nan＝，an＝，n＝1也符合，

Tn＝＝2－.

（3）证明　n≥2时，

bn＝＋an＝＋an

故Sn＝i＝a1＋＋a2＋＋a3＋…＋＋an

＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝Tn

＝<2，

只需证明2<2＋2lnn，n∈N*.

对于任意自然数k∈N，

令x＝－∈（－1,0）时，ln＋<0，

即

∴k＝1时，

k＝2时，

…

k＝n－1时，

∴1＋＋＋…＋<1＋（ln2－ln1）＋（ln3－ln2）＋…＋[lnn－ln（n－1）]，

即1＋＋＋…＋<1＋lnn，

所以n≥2时，2<2＋2lnn，

综上n∈N＋时，Sn<2＋2lnn.

突破练

（二）

1．已知函数f（x）＝sin＋2cos2x－1（x∈R）．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．

解　f（x）＝sin＋2cos2x－1＝－cos2x＋sin2x＋cos2x＝cos2x＋sin2x＝sin.

（1）最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）由f（A）＝sin＝得

2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ（k∈Z），

即A＝kπ或A＝＋kπ，

又A为△ABC的内角，所以A＝.

又因为b，a，c成等差数列，所以2a＝b＋c.

∵·＝bccosA＝bc＝9，

∴bc＝18，

∴cosA＝＝－1＝－1＝－1.

∴a＝3.

2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．

（1）证明：

平面EAC⊥平面PBD；

（2）若PD∥平面EAC，并且二面角B－AE－C的大小为45°，求PD∶AD的值．

（1）证明　因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC.

所以平面EAC⊥平面PBD.

（2）解　连接OE，因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B（0，m,0），E（0,0，h），＝（－m，m,0），＝（0，－m，h），向量n1＝（0,1,0）为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2＝（x，y，z）

则n2·＝0，且n2·＝0，

即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.

取x＝1，则y＝，z＝，

则n2＝，

∴cos45°＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，

解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.

3．已知二次函数f（x）＝x2－16x＋q＋3.

（1）若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；

（2）是否存在常数t（t≥0），当x∈[t,10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12－t（视区间[a，b]的长度为b－a）．

解　

（1）∵函数f（x）＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f（x）在区间[－1,1]上是减函数．

∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即

∴－20≤q≤12.

（2）∵0≤t<10，f（x）在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.

①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f（t）最大，f（8）最小，

∴f（t）－f（8）＝12－t，

即t2－15t＋52＝0，

解得t＝，

∴t＝；

②当6

∴f（10）－f（8）＝12－t，解得t＝8；

③当8

∴f（10）－f（t）＝12－t，

即t2－17t＋72＝0，

解得t＝8,9，

∴t＝9.综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件．

4．已知椭圆＋＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.

（1）求椭圆方程；

（2）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：

M·M为定值．

（1）解　化圆的标准方程为（x＋1）2＋y2＝1，

则圆心为（－1,0），半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.

又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.

故所求椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）证明　①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.

可求得A，B.

此时，M·M＝·＝－.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋1），

由得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为M·M＝·

＝＋y1y2

＝x1x2＋（x1＋x2）＋2＋k（x1＋1）·k（x2＋1）

＝（1＋k2）x1x2＋（x1＋x2）＋k2＋

＝（1＋k2）·＋＋k2＋

＝＋＝－2＋＝－.

所以，M·M为定值，且定值为－.

5．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点（an＋1，Sn）在直线3x＋2y－3＝0上．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）是否存在实数λ，使得数列为等差数列？

若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．

解　

（1）由题意可得3an＋1＋2Sn－3＝0，