4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是避二1
2
（由二1-0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽2
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是也若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,
2
头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
sinY+x
5.函数=——F在［一兀河的图像大致为COSX+厂
概率是
—C.—D.—
323216
5兀
9,记S〃为等差数列｛4｝的前a项和.已知邑=0,%=5,则
A.。
〃=2〃-5
B.an=3n-10
C.=2,r—8/i
D.Sn=-n2-2〃
2
10.已知椭圆。
的焦点为"（一LO）,尼（1,0）,过三的直线与。
交于45两点.若1451=21尼81,
\AB\=\BFI\,则。
的方程为
2）））2
A・—+v=1B.—+—=1C・—H1
263243
11.关于函数/（x）=sinlxl+1sinxl有下述四个结论：
兀）单调递增
①f（x）是偶函数②f（x）在区间（工，
2
③/•（*）在［一兀网有4个零点④f（X）的最大值为2
D.①③
其中所有正确结论的编号是
A.®®®B.②④C.©©
12.已知三棱锥『月6。
的四个顶点在球。
的球面上，PA=PB=PC,△月6。
是边长为2的正三角形，E,尸分别是为，月5的中点，NCE后90°,则球。
的体积为
A.8瓜NB.4痴nC.2y/6nD.y/bn
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y=3（x2+x）ex在点（0,0）处的切线方程为.
14.记£为等比数列｛a,｝的前〃项和.若齿=4，则*.
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：
1获胜的概率是.
22
16.己知双曲线G二一二=1（〃>0/>0）的左、右焦点分别为片，尸二,过后的直线与C的两条渐近线分crlr
别交于45两点.若不=丽，耶・丽=0,则。
的离心率为.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答°
（-）必考题：
共60分。
17.（12分）
△A8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,设（sin8—sinC）。
=sin°A-sin8sinC.
（1）求左
（2）若及a+b=2c,求sinC
18.（12分）
如图，直四棱柱月〃的底面是菱形，出尸4,月庆2,/西氏60°,£,MN分别是5C,B民,4〃的中点.
（1）证明：
小〃平而QDEx
<2）求二面角月--网的正弦值.
19.（12分）
3
已知抛物线Gy二3*的焦点为尸，斜率为二的直线1与。
的交点为4B,与x轴的交点为尸.
2
（1）若1数+加1=4,求1的方程：
（2）若所=3而，求AB\.
20.（12分）
已知函数〃x）=sinx—ln（l+x）,/（幻为/*）的导数.证明：
（1）;（x）在区间（T,g）存在唯一极大值点；
（2）/*）有且仅有2个零点.
21.（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠
多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，
若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：
若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、
乙两种药的治愈率分别记为〃和尸，一轮试验中甲药的得分记为X
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，=…,8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=O,/入=1，Pi=api+bp］+cpm（i=1,2,…,7）,其中
a=P（X=—l）,8=P（X=0）,c=P（X=l）.假设2=0.5,Z?
=0.8・
⑴证明：
（i=。
」,2，…,7）为等比数列：
（ii）求〃4,并根据P«的值解释这种试验方案的合理性.
（-）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.
［选修4—4：
坐标系与参数方程］（10分）
x=
在直角坐标系才如中，曲线。
的参数方程为＜
）'=
正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2/9cos6+舟sin6+11=0.
（1）求。
和［的直角坐标方程；
（2）求。
上的点到［距离的最小值.
23.［选修4一5：
不等式选讲］（10分）
已知a,b,。
为正数，且满足证明：
111/2小，
（1）—+—+—+〃一+小：
abc
（2）（a+Z?
）3+S+c）3+（c+a）3N24.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D
二、填空题
121
13.产3*14.——15.0.1816.2
3
三、解答题
17.解：
（1）由已知得sin?
B+sin?
C-sii/A=sin8sinC,故由正弦定理得〃2a?
=Z?
c.
由余弦定理得COSA=.+厂—〃-1.
2bc2
因为0°<。
<180°,所以4=60°.
（2）由
（1）知8=120°—C,由题设及正弦定理得&sinA+sin（120"-C）=2sinC,
RPcosC+—sinC=2sinC,可得cos（C+600）=一^^.
2222
由于0°sinC=sin（C+60,-60°）
=sin（C+60°）cos60。
一cos（C+60）sin60。
■
4
18.解：
（1）连结民C,就.
因为M£分别为跖，员的中点，
所以J底〃属G且,际!
属仁
2
又因为A为儿加勺中点，所以.诙!
42
2
由题设知月田』2C,可得4.D,故由£也ND,
因此四边形必2次为平行四边形，必.〃故又必Q平面瓦匕.所以〃平面G庞.
（2）由已知可得，及L加.
硒=（_1,0「2）,mN=（o,-6o）.
ni-AM=0
设机=（元乂Z）为平面月M的法向量，则〈一
m-AiA=0
—x+y/3y—2z=0,l
所以《,可取利=（J5」,o）.
-4z=0・
〃・mN=o,
设n=（p,q,r）为平面4加的法向量，则j
〃・4N=0.
所以，"'一°'可取〃=（2,0,-1）.
_p_2r=0.
于是cos=誓-==正
l/wllnI2x逐5
所以二面角A-M4「N的正弦值为巫.5
19.
3z
解：
设直线/：
＞=；工+/,4（%,力）,8（马，）’2）.
/335
（1）由题设得尸；口,0卜故IAFI+IBFLXi+^+q，由题设可得为+々=3.
3
2'+'，可得9/+12«-1）工+412=0,则占+赴=一'^^1^~-y2=3x
从而一芋=1'得'=彳
37
所以/的方程为丁=7X一：
.28
（2）由Q=3而可得y=-3为.
_3
由，’=5"+’,可得丁―2y+2f=0.y2=3x
所以）[+%=2.从而一3y2+为=2，故为=-1J=3・
代入。
的方程得XI=3,x）=!
.
-3
（2）/（刈的定义域为（—l,+co）.
（i）当工£（一1,0］时，由
（1）知，/'（x）在（一1,0）单调递增，而广（0）=0,所以当xe（—l,0）时,
/'（x）v0,故/（x）在（一1,0）单调递减，又/（0）=0,从而x=0是/⑴在（一1,0］的唯一零点.
IT7T
（ii）当0,—时，由
（1）知，/'（X）在（0,。
）单调递增，在。
，一单调递减，而/'（。
）=。
<22；
仁）<0,所以存在
使得/'（4）=0,且当xe（0,/7）时，/f（A-）>0;当
时，/'。
）<0.故/（外在（0,力）单调递增，在单调递减.
乙）
又/（0）=0,
=1—+所以当寸，/@）>。
.从而，/1）在（0,鼻没
有零点.
（iii）当xw—（2
7T
时，fr（x）<0,所以/（x）在一,兀单调递减.而/
［2>
（1）
>0,/（冗）<0,所以
7T
f（x）在—,兀有唯一零点.
I2
（iv）当X£（7l,+s）时，ln（x+l）>l,所以J'（x）〈O,从而/（X）在（兀,+8）没有零点.
综上，/（x）有且仅有2个零点.
21.解：
X的所有可能取值为—1,0,1.
P（X=-1）=（1-2）尸，
P（X=0）=3+（1_a）（l_0）,
P（X=1）=2（1-夕），
所以X的分布列为
（1-a）p«/?
+（1-tr）（l-P）ar（l-/?
）
（2）（i）由
（1）得a=0.4,b=0.5,c=0.1
因此p尸04pz+0,5〃"0.lp源,故0・1（/%1_月）=0・4（/，_化_1），即
Pi+「Pi=4（PiT*）・
又因为Pi-Po=PlH0，所以E+]—〃J（i=0,1,2,…,7）为公比为4,首项为Pi的等比数列.
（ii）由（i）可得
4—1
〃8=〃8-〃7+〃7一〃6+3+〃1一〃0+〃0=（〃8一四）+（〃7一〃6）+…+（P/〃o）=—
3
由于.8=1，故所以
44-11
〃4=（〃4一〃3）+（〃3一〃2）+（P2-PJ+（P「Po）=-^—P]=*-
P«表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8
时，认为甲药更有效的概率为〃4=击》0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
且工]=1匕二:
+-4r-r=l,所以0的直角坐标方程为①[\+r）0+r）-
23.
解：
（1）因为/+〃之2,以〃2+02之2儿,/+/之24,又abc=l,故有
7,•>.ab+bc+ca111
cr+/r+c~>ab+bc+ca==—+—+-・
abcabc
所以■!
•+，+，4/+b2+c2.
abc
/的直角坐标方程为2x+JJy+11=0.
x=cosa.
（2）由
（1）可设郎参数方程为｛（。
为参数，一兀＜2＜兀）.
y=2sina
当a=—?
时，4cos（a—g]+ll取得最小值7,故6±的点到/距离的最小值为".
（2）因为。
，4c为正数且出七=1,故有
（a+/?
）'+S+c）3+（c+aY>3y]（a+b）3（b+c）3（a+c）3=3（a+b）（b+c）（a+c）
>3x（2y/c^）x（2y/bc）x（2\fac）
=24.
所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3>24.
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