人教版八年级数学下册 第18章《平行四边形》讲义 第11讲菱形及正方形精选文档.docx

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第11讲菱形、正方形

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：

“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

第一部分知识梳理

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

知识点一：

菱形的概念和性质

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

1、定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

2、基本性质：

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

（1）边：

菱形的四条边都相等；

（2）角：

菱形的对角相等，邻角互补；

（3）对角线：

菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角：

（4）对称性：

菱形是轴对称图形，中心对称图形，对称轴有两条；

（5）面积：

S=

ab（其中a、b分别是菱形的两条对角线的长）.或S=底×高。

知识点二：

菱形的判定方法

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

（2）四边都相等的四边形是菱形;

（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;

（4）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

知识点三：

正方形的基本概念

1、正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、基本性质：

（1）边：

正方形四条边都相等；

（2）角：

正方形的四个角都相等；

（3）对角线：

对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

（4）对称性：

是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴有四条；

知识点四：

正方形判定

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（3）有一个角是直角的菱形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形。

第二部分考点精讲精练

考点1、菱形的性质

例1、菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是________

例2、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是________．

例3、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为_______cm。

例4、如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，

∠BAE＝18°，求∠CEF的度数。

例5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

（1）证明：

四边形ACDE是平行四边形；

（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

例6、如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，点E为AB延长线上一点，DF=BE，CE=CF.

求证：

（1）△CFD≌△CEB；

（2）∠CFE=60°.

例7、已知：

如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）、若CE=1，求BC的长；

（2）、求证：

AM=DF+ME．

举一反三：

1、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长cm。

2、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为　　．

3、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（　　）

A、

B、

C、12D、24

（2）（3）

4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，  连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．

（1）求证：

OE=CD   

（2）若菱形ABCD的边长为4， ∠ABC=60°，求AE的长．

5、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：

∠DHO=∠DCO．

6、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE.

（1）求证：

四边形ACEF是平行四边形；

（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数.

7、已知：

如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是

，∠AEM=30°，求菱形ABCD的周长和面积。

考点2、菱形的判定

例1、在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）

A、如果AB=BC，AC⊥BD，∠A=90°，那么四边形ABCD是正方形

B、如果AC=BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形

C、如果AB=CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形

D、如果AO=CO，BO=DO，BC=CD，那么四边形ABCD是菱形

例2、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是。

例3、如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=

BD；其中正确结论的是（）

A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④

（例2）（例3）

例4、如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：

四边形EFGH是菱形。

例5、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．

求证：

四边形ADCF是菱形．

例6、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：

△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论

例7、如图，四边形BFCD为平行四边形，点E是AF的中点．

（1）求证：

CF=AD；

（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．

例8、如图①，在□ABCD中，AF平分∠BAD，交BC于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E．

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）如图②，若BE⊥EC，求证：

四边形ABFE是菱形．

变式训练：

1、下列条件能判定四边形是菱形的是（）

A、对角线相等的四边形B、对角线互相垂直的四边形

C、对角线互相垂直平分的四边形D、对角线相等且互相垂直的四边形

2、顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（）

A、AD∥BCB、AC=BDC、AC⊥BDD、AD=AB

3、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是（写出一个即可）

4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．

（1）求证：

四边形ECBF是平行四边形；

（2）当∠A=30°时，求证：

四边形ECBF是菱形．

5、已知：

如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．求证：

四边形ABCD是菱形．

6、如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

（1）试判断四边形AECF的形状；

（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求证：

四边形AECF是菱形．

7、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且BE=DF连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）若AC平分∠HAG，求证：

四边形AGCH是菱形．

考点3、正方形性质

例1、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）

A、3cmB、4cmC、5cmD、6cm

例2、如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为

（例1）（例2）

例3、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）

A、45°B、22.5°C、67.5°D、75°

例4、如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为。

（例3）（例4）

例5、如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求证：

EF＝AP

例6、已知：

如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

（1）求证：

AP=BQ；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

例7、如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．

求证：

（1）△APB≌△DPC；

（2）∠BAP=2∠PAC．

举一反三：

1、已知：

如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE＝4cm，DF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为。

2、如图，正方形ABCD的周长为28cm，则矩形MNGC的周长是（）

A、24cmB、14cmC、18cmD、7cm

（1）

（2）

3、一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示摆放，点G是BC中点，正方形对角线EG⊥BC，则∠AFE=（）

A、10°B、15°C、20°D、25°

4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，AD是△ABC的一条角平分线，点E，F，G分别在AD，AC，BC上，且四边形CGEF是正方形，则∠DEB的度数为

（3）（4）

5、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．

（1）求证：

△ADE≌△ABF；

（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．

6、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：

∠BAE=∠FEC；

（2）求△AEF的面积．

7、正方形ABCD的中点E为正方形边上D→C→B之间任意一点，且满足DM⊥AE于点M，BN⊥AE于点N．

（1）求证：

△ABN≌DAM．

（2）DM，MN，NB有怎样的数量关系？

证明你的结论．

考点4、正方形判定

例1、在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法：

①如果EF=AD，那么四边形AEDF是矩形②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形其中正确的有（）

A、3个B、2个C、1个D、0个

例2、在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（）

A、AO=BO=CO=DO，AC⊥BDB、AB∥CD，AC=BD

C、AO=BO，∠A=∠CD、AO=CO，BO=DO，AB=BC

例3、如图，在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，E、F、G、H分别为它们的交点．求证：

四边形EFGH是正方形．

例4、如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

例5、如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点。

（l）证明四边形EGFH是平行四边形；

（2）在

（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=

BC，证明平行四边形EGFH是正方形。

例6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF。

（1）求证：

AD=AF；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

举一反三：

1、下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（）

①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③B、②③C、②④D、①②③

2、已知四边形ABCD，则下列说法中正确的是（）

A、若AB∥CD，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形

B、若AC⊥BD，AC=BD，则四边形ABCD是矩形

C、若AC⊥BD，AB=AD，CB=CD则四边形ABCD是菱形

D、若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD是正方形

3、平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：

①AC平分∠BCD，②AC⊥BD，③OA=OC，④OB=OC，⑤∠BAD+∠BCD=180°，⑥AB=BC．从中任选两个条件，能使平行四边形ABCD为正方形的选法有（）

A、3种B、6种C、7种D、8种

4、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．

（1）求证：

DE=DF；

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．

5、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2。

（1）已知DG=6，求AE的长；

（2）已知DG=2，求证：

四边形EFGH为正方形．

第三部分课堂小测

1、下列命题正确的是（）

A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

B、对角线相等的四边形一定是矩形

C、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

D、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2、如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（　　）

A、

　B、

　　C、

D、8　

3、如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为（　　）

A、4B、3C、

D、

4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（　　）

A、10°B、15°C、20°D、30°

（2）（3）（4）

5、已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：

①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD，再选两个做为补充，使▱ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的是（）

A、①②B、①③C、②③D、②④

6、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出张。

7、在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP，接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。

（1）在△ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成矩形。

（2）在△ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成菱形。

（3）在△ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成正方形。

8、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

9、如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF的中点，连结CG．

求证：

①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．

10、如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF=DF．

（1）求证：

四边形ADCE是平行四边形

（2）当AB、AC之间满足时，四边形ADCE是矩形；

（3）当AB、AC之间满足时，四边形ADCE是正方形．

第四部分提高训练

1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）若E是线段AC的中点，如图1，求证：

BE=EF；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

2、如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.

（1）试说明OE＝OF；

（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗?

如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.

3、已知：

正方形ABCD的边长为4cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/秒的速度运动，与此同时，点F也从点D出发沿DC方向相同的速度运动，记运动的时间为t（0≤t≤4），AF与BE交于P点．

（1）如图，在运动过程中，AF与BE相等吗？

请说明理由．

（2）在运动过程中，要使得△BPC是等腰三角形，t应为何值？

请画出图形，并求出所有满足条件的t值．

4、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系．

（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断

（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断

第五部分课后作业

1、若菱形的两条对角线的长分别为4cm和6cm，则它的面积为（）

A、3cm2B、6cm2C、12cm2D、24cm2

2、如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）

A、16B、15C、14D、13

3、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，连接CE，BF相交于点G，则下列结论不正确的是（）

A、BF=CEB、∠AFB=∠ECDC、BF⊥CED、∠AFB+∠BEC=90°

4、如图，在□ABCD中，AC⊥BD于点O，若增加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列条件中，不正确的是（）

A、AC=BDB、AB=BCC、∠ABC=90°D、AO=BO

（2）（3）（4）

5、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是

6、如图，点F是正方形ABCD边CD上的一个动点，BF的垂直平分线EM与对角线AC相交于点E，与BF相交于点M，连接BE、FE，EM=3，则△EBF的周长是。

7、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件时，四边形BEDF是正方形．

（5）（6）（7）

8、如图，已知平行四边形

中，对角线

交于点

，

是

延长线上的点，且

是等边三角形．

（1）求证：

四边形

是菱形；

（2）若

，求证：

四边形

是正方形．

9、正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，连接CN、CE．

（1）求证：

AE=CE．

（2）求证：

△CAN为直角三角形．

（3）若AN=

，正方形的边长为6，求BE的长．

10、如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：

DE=DF；

（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？

请说明理由．

第11讲菱形、正方形

第二部分考点精讲精练

考点1、菱形的性质

例1、