立体几何一轮复习全解.docx
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立体几何一轮复习全解
平面的基本性质
学习目标
1、理解三个公理及三个推论及其本质；
2、会用三个公理及三个推论证明“线共点”、“线共面”、“点共线”•
重点三个公理及三个推论的理解及应用
难点三个公理及三个推论的理解及应用
【自学导引】
1.公理1如果一条直线的在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平
面内；
公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的;
公理3经过不在的三点，有且只有一个平面。
2.推论：
推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
推论2经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3经过两条平行直线有且只有一个平面*
【基础训练】
1.用符号表示“点A在I直线上，I在平面用外”为
2.空间四点中，三点共线是这四点共面的条件；
3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成
部分；
4.下列命题中正确的个数是个；
1若.ABC在平面:
夕卜，它的三边所在的直线分别交:
-于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;
2若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线I于A,B,C三点，则这四条直线共面；
3若两平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上
5.空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是；
6.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点
出发,沿表面运动到另一个端点，其最短路程是
【对点讲练】例1.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，MN分别为AA1,C1D1的中点，过
D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线I.
（1）画出直线l
⑵设IPlAB］二P,求截面DMPN面积
例2.已知：
A引，B引，C^I,D老丨；求证：
直线AD,BDCD共面。
例3.如图，在空间四边形ABCD中,E,H是边ABAD的中点,
-口CFCG2
点，且——=——=—,求证：
三条直线EF、GHAC交于一点。
CBCD3
F，G分别是边BCCD上的
课后练习
1下列命题正确的有
A
E
H
F
①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；②每两条都相交，但不共点的四
条直线一定共面；③两条相交直线上的三个点确定一个平面;
④两条互相垂直的直线
共面。
2、下列各图的正方体中，P,Q,R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是
3.在空间四边形ABCD各边ABBCCD
点M则M在直线上。
4•在正方体ABCD-ABGD1中，直线
AC交平面ABC1D1于点M试作出点M的位置。
5.如图，在正方体ABCD-ABC1D1中,求证：
①E、C、D1、F四点共面；
E、F分别是AB、AA的中点,
②CE、D1F、DA三线共点.
C1
C
6.如图，已知ABCD-ABQQ是棱长为3的正方体，点E在AA上,点F在CC1上,
且AE二GF=1.
求证：
E,B,F,D1四点共面;
1
B
C1
F
C
8题图
空间几何体
学习目标
1认识空间几何体，会求几何体的表面积和体积；
2、会画棱柱、棱锥的直观图；
3、了解球与长方体、正四面体的组合体。
重点空间几何体的认识及表面积和体积的求解难点空间几何体的认识及表面积和体积的求解
【自学导引】
1.多面体有,和。
其中棱台可以由棱锥被截得而得。
2.棱柱按底面多边形边数可分为等；按棱与底面的关系可分为
和。
3•常见的旋转体有。
圆柱可以由绕旋转形成；圆锥可以由绕
旋转形成；圆台可以由绕旋转形成；圆台也可以由圆锥被的平面截得。
4•球可以由绕旋转形成。
【基础训练】
1.写出下列集合间的关系是.
A=｛四棱柱｝B=｛平行六面体｝C=｛直平行六面体｝D=｛长方体｝
E=｛正四棱柱｝F=｛正方体｝
2•最简单的多面体是.
3.长方体的全面积为22，棱长之和为24,则其对角线长为.
4.正四面体的的棱长为a则其高为.
5.正方体的内切球与外接球的体积之比是
B
6.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点
上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为.
7•—张长、宽分别是8cm,4cm的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折
成正四棱柱，则此正四棱柱的对角线长为.
&如图将三边长分别为3皿、4cm.5c血的直角三角形绕斜边旋转一周形成的几何体表面积是体积是.
2下
9•将半径为2,中心角为—弧度的扇形卷成圆锥侧面，则该
3
圆锥体的体积是.
10•圆锥被中截面所截的小圆锥与圆台的体积之比是
【对点讲练】
例1•
（1）已知一正四棱柱的底面边长为1cm，高为3cm，请在右侧作出该几何体的直观
图，并计算其表面积和体积；
（2）已知一正三棱锥的边长为2cm，请在右侧作出该几何体的直观图，并计算其表
面积和体积。
例2.将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，求圆柱的底面半径与体积
2
例3.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a（a.0）。
用
a
它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，求a的
取值范围
课后练习
1棱长为1的正四面体的体积是，如果该正四面体所有顶点都在同一球面
上，则该球的表面积是；体积是
2•正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为
3.
第3题图
如图，在正三棱柱ABC-^BG中，D为棱AA的中点，若截面BC1D是
面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为.
4.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC
体积之比为
5.体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等
于.
6.若一个棱长.2的正四面体的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积
D
为.
7.圆锥的轴截面是等边三角形，则其侧面展开扇形中心角的大小
&用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为二，则球的体积
为
9.圆锥母长线长为6cm,底面直径为3cm,在母线SA上有一点B,AB=2皿，求由点A绕圆锥侧面一周到B点的最短距离。
10.试比较表面积相等的正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），球的体积的大小。
异面直线
学习目标
1理解空间两直线的三种位置关系;
2、了解异面直线所成的角。
重点异面直线的判定难点异面直线的判定
【自学导引】
1直线与直线的位置关系
异面直线：
不同在一个平面内
V
2•直线与直线平行
（1）平行线的传递性（公理4）
平行于的两条直线互相平行
（2）等角定理
如果一个角的两边分别和另一个角的两边且方向相同，那么这两个角相等。
3•直线与直线异面
（1）异面直线的判定定理
（2）异面直线所成角的概念
【基础训练】
1.给出下列四个命题：
①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线a,b,
如果a平行于平面〉，那么b不平行平面：
•；③两异面直线a,b，如果a_平面：
•，那么b不垂直于平面：
•；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.其中
正确的命题是.
2•在正方体ACi中，M是侧棱DDi的中点，0是底面ABCD的中心，P是棱AiBi上的一点，则0P与AM所成的角的大小为
3.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
4.两异面直线所成的角的范围是
5.三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有条
6.空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF=寸3，则异
面直线AD,BC所成的角
【对点讲练】
例1.求证：
平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
例2.已知ABCD-AiBiCiDi是棱长为a的正方体（图1）
1正方体哪些棱所在的直线与直线bc1异面直线？
2求异面直线AA1与BC所成的角；
3求异面直线BCi与AC所成的角.
例3.A是厶BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点,
（1）求证：
直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC丄BD,AC=BD，求EF与BD所成的角.
D
课后练习
1、角a与B的两边分别平行，当a=70°时，3=
2、"a、b为异面直线”是指：
①aAb=①，但a不平行于b;②a匚面a，b=面3
且aAb=①；③a匚面a,b匚面3且aCl3=①；④a匚面a,b広面a；⑤不存在平面a，能使a匚面a且b匸面a成立。
上述结论中，正确的是_；3、若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3,
22
FH=4，贝UAC+BD=
4、在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，贝UMN与a的大小关系是；
5.长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a,BC=b,AA1=c,且a>b,求：
异面直线D1B与AC所成角的余弦值.
D1
A1[%
B1
c
十宀
__S
/
a
B
C1
6、如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC中，E、F分别是AB■和AB的中点,
求异面直线AF与CE所成角的正切值.
7如图，已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P是直线a上的两点,
N,Q分别是b,c上的一点-
求证：
MN和PQ是异面直线■
直线与平面平行
学习目标
1掌握空间直线和平面的位置关系；
2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；
3•能实现“线线”、“线面”平行的转化重点线面平行的判定定理和性质定理的应用难点线面平行的判定定理和性质定理的应用
【自学导引】
1.直线I与平面a的位置关系有哪几种？
2.直线与平面所成角的概念：
3.线面平行的判定方法：
判定方法
图形
符号语言
直
线与平面平行
定义：
若一直线与一平面没有公共点，则直线与平面平行。
a
//
若平面外一直线与平面内一直线平行，则平面外这直线平行于平面。
a
若两个平面平行，则一个平面内的一条直线平行于另一平面。
~~a/
4.线面平行的性质:
1性质定理：
2一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是【基础训练】
1.两条直线a,b都平行于平面:
那么a,b的位置关系是
2.设m,n是平面〉内的两条不同直线，li,I2是平面：
内的两条相交直线，则可以作
为〉II的充分而不必要条件的是
1m//：
且Ii〃②m//11且n//I2③m//：
且n//：
④m//:
且n//12
3.已知直线I、m、n及平面：
•，下列命题中真命题的序号是
①若丨//m,m//n,则丨//n②若丨_：
■,n//二，贝y丨_n
③若丨_m,m〃n，则丨_n④若丨//：
•,n〃＞,则丨//n
4.在四面体ABCD中，M、N分别是面厶ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN
平行的是
5.已知AB两点到平面a的距离分别为1cm,3cm,则AB中点到平面a的距离为
6.与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有个
【对点讲练】
例1.如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M€AC,N€FB且AM=FN，求证：
MN//平面BCE.
A
E
例2.如图，ABCD—ABQQ!
中，点N在BD上，点M在BQ上,
且CM=DN,
求证：
MN//平面AARB
例3.求证：
如果二个平面两两相交于二条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行。
课后练习
1.给出下列命题，其中正确的命题是
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行
2
夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面
3直线m丄平面芒，直线n丄m,贝Un//二
4a、b是异面直线，则存在唯一的平面：
•，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.
2.给出下列四个命题：
1若一条直线不在平面内，则这条直线与该平面平行
2若一条直线平行于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面平行
3过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
4过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
其中正确的命题序号是
3.过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面
4.如图，：
•rv二cD,〉n二EF「n二ab,ab〃〉，求证:
5.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求
证：
（1）四点E、F、G、H共面；
（2）BD//平面EFGH,AC//平面EFGH。
6.已知正四棱锥P—ABCD勺底面边长及侧棱长均为13,MN分别是PABD上的点，且
PM：
MABN：
ND=5:
8
H
E
D
C
求证：
直线MIN/平面PBC
直线与平面垂直
学习目标
1.理解直线和平面垂直的概念；
2.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;
3.能实现“线线”“线面”垂直的转化.
重点掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理
难点能实现“线线”“线面”垂直的转化
【自学导引】
1线面垂直的判定:
直线与平面垂直
判定方法
图形
付号语言
疋义：
如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么，这条直线就垂直于这一平面。
a
i
-/
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那
么这条直线就垂直于这
个平面。
a
2.直线与平面垂直的性质：
1性质定理：
2其它性质：
【基础训练】
1.设I,m,n均为直线，其中m,n在平面：
•内，“I—：
•”是I—m且“I—n”的条件.
2.设m、n是两条不同的直线，确命题的序号是
①若m丄a,n〃a,贝Um丄n
③若m//a,n//a,贝Um//n
3.已知PA丄OO所在的平面,
a、B、丫是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正
②若a/BB/Y,m丄a，贝Um丄丫
④若a丄丫，B丄丫，^Ua//B
AB是OO的直径，C是OO上异于A、B的任意一点，图
中直角三角形的个数是
4.在正三棱柱ABC-AiBiCi中，已知AB=1,D在棱BBi上,BD=1,则AD与平面AA^iC
所成的角的正弦为
5.P为ABC所在平面外一点，0为P在平面ABC上的射影
⑴若PA、PB、PC两两互相垂直，则0是ABC的心。
⑵若P到ABC三边距离相等，且0在ABC内部，贝U0是△ABC
的心。
B
【对点讲练】
例i.①直线a//平面a,直线b丄平面a,求证：
a丄b②三棱锥中P-ABC，点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心，
求证：
PA丄BC
例2、①已知PA丄aPB丄3垂足分别为A,B，且an=，求证：
L丄面PAB
②在空间四边形ABCD中，AB=AD,BC=CD,求证：
AC丄BD
例3、如图在正方体ABCD-AiBiCiDi中，M,N,G分别是A、A、DiC、AD求证：
（1）MN//平面ABCD
（2）MN丄平面BiBG
的中点,
1、给定空间中的直线L及平面:
■,条件“直线L与平面「内无数条直线都垂直”是“直线L与平面「垂直”
D
的条件.
2、P为；ABC所在平面外一点，0为P在平面ABC上的射影
1若PA_BC,PB_AC,贝U0是△ABC的心.
2若PAPBPC与底面成等角，则O是厶ABC的心.
3、已知Rt△ABC的斜边BC在平面〉内,两直角边ABAC分别和平面:
-成45：
和
30角，贝U斜边BC上的高AD和与：
•所成的角为
4、在空间四边形ABCD中,BC=ACAD=BD作BE丄CD,E为垂足，作AH丄BE于H,求证：
AH丄平面BCD.
5、如图，PA_矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB和PC的中点.
（1）求证：
MN//平面PAD;
（2）求证：
MN_CD;
⑶若PDA=45：
求证:
MN—平面PCD.
6、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，AB=2BC=a,又侧棱PA丄底面ABCD.
（1）当a为何值时，BD丄平面PAC试证明你的结论.
（2）当a=4时，求证：
BC边上存在一点M,使得PMLDM.
（3）若在BC边上至少存在一点M使PMLDM求a的取值范围
直线和平面平行和垂直
学习目标
1.掌握直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理；2.能运用判定定理和性质定理解决有关平行、垂直问题；3•能理解转化思想在解题中的运用.
重点掌握直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理
难点能运用判定定理和性质定理解决有关平行、垂直问题
【自学导引】
1.直线l与平面a的位置关系有哪几种？
2.直线与平面所成角的概念：
3.线面平行的判定方法有哪些：
4•线面平行的性质有哪些:
5.线面垂直的判定方法有哪些:
6.线面垂直的性质有哪些:
【基础训练】
1•如果直线l与平面〉不垂直，那么在平面内
A、不存在与直线l垂直的直线
C、存在无数条与l垂直的直线
（）
B、有且仅有一条与l垂直的直线;
D、任意一条直线都与l垂直
2.对于平面〉和共面的直线m、n,
A.若m丄二匚，m±n,贝Un//:
二
C.若m二：
n//二，贝Um//n
F列命题中真命题是
B.若m//二，n//•=，贝Um//n
D.若m、n与〉所成的角相等，则n//m
3.给出以下四个命题：
其中真命题的个数是
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行.
2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和两平面的交线平行。
4.给出下列命题，其中正确的命题是
1直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行•
2夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面
3直线m丄平面a，直线n丄m,贝Un//a.
4a、b是异面直线，则存在唯一的平面a，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.
5.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是9,17,过AB的中点E且平行于BDAC的截面四边形的周长为
【对点讲练】
例1、P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且AM
DN
求证：
MN//平面PBC
P
1.如图，平面
的公垂线,
Bi
例2、如图，P为厶ABC所在平面外一点，PA丄面ABC,/ABC=90°,AE丄PB交于E,AF丄PC交于F,
（2）AE丄平面PBC（3）PC丄平面AEF
求证：
（1）BC丄平面PAB
例3、如图，在三棱柱ABC-A^G中，AB_BC,BC_BC1,A^BC1,段AC1,AC1,BB1的中点
求证：
（1）EF//面BCC1B1;
（2）GF_平面ABQ
aA3=EF,AC、BD为异面直线，且AC丄B,BD丄a,求证：
AB//EF
2.平行四边形ABCD与平行四边形ABEF所在的平面交于AB,
33
MAC,NBF,且CM二AC,BN=BF,求证：
MN〃平面BCE
77
3.如图，a,b是异面直线，代C与B,D分别是a,b上的两点，直线a//平面〉直线b//平面：
，AB：
二M,CD：
二N,AM二BM，求证：
CN=DN
4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M为棱CC'的中点，AC与BD交于点O，求证：
A'O—平面MBD。
5.如图，正三棱柱AB-C1A的（侧面三条对角线
E
AC
A
M
C
C1
B1
A^,BC,1CA中，AB丄BC，求证：
ARICA
两平面平行
学习目标
1、掌握面面平行的判定定理和性质定理；2、能运用判定定理和性质定理证明有关平行问题，
并会求平行平面的距离；3、能熟练进行线线平行，线面平行，面面平行的转化重点掌握面面平行的判定定理和性质定理
难点能运用判定定理和性质定理证明有关平行问题，并会求平行平面的距离；
【自学导引】
1、两个平面的两种位置关系：
2、两平面平行的判定
平面与平面平行
判定方法
图形
符号语言
定义：
没有公共点的两个平面平行。
定理：
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。
厶/
垂直于同一条直线的两平面平行
/「b/
3、两个平面平行的性质定理
4、两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义【基础训练】
1、i）一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。
2）两个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。
3）两个平面都与第三个平面平行，则这两个平面平行。
4）一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行。
5）若两个平面平行，则一个平面内的任一条直线都平行与另一个平面。
6）若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。
7）若一个平面内有三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。
以上命题中真命题的序号为.
2、设直线a在平面M内，则面M/（面N是a//面N的条件。
3、平面:
-内有不共线的三点到平面：
的距离相等，则［与：
的关系是
4、已知a//〉、a丄1,则面:
与面1的位置关系是
5、面M//N,aM、bN，则在下面四种情况：
①a//b，②a丄b,③a与b异面，④a、b相交，其中可能出现的情况有种
【对点讲练】
N
M
E
1
，D
C
B
例1、
（1）正方体A®中，求证：
平面ACB〃/平面AiCiD
（2）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设M、N分别为棱
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