立体几何一轮复习全解.docx

1、立体几何一轮复习全解平面的基本性质学习目标1、 理解三个公理及三个推论及其本质 ；2、 会用三个公理及三个推论证明 “线共点”、“线共面”、“点共线” 重点 三个公理及三个推论的理解及应用难点 三个公理及三个推论的理解及应用【自学导引】1.公理1如果一条直线的 在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集 合是一条过这个公共点的 ;公理3经过不在 的三点，有且只有一个平面。2.推论：推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推论2经过两条相交直线有且只有一个平面 .推论3经过两条平行直线有且只有一个平面

2、*【基础训练】1. 用符号表示“点 A在I直线上，I在平面用外”为 2.空间四点中，三点共线是这四点共面的 条件；3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 部分；4.下列命题中正确的个数是 个；1若. ABC在平面:夕卜，它的三边所在的直线分别交 :-于P, Q, R,则P, Q, R三点共线;2若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线I于A, B, C三点，则这四条直线共面；3若两平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上5.空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是 ；6.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3,4,5，从长方体

3、的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点，其最短路程是 【对点讲练】 例1.如图，在棱长为 a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M N分别为AA1,C1D1的中点，过D, M, N三点的平面与正方体的下底面相交于直线 I .(1)画出直线l设IPlAB二P,求截面DMPN面积例2.已知：A引，B引，CI,D老丨；求证：直线 AD, BD CD共面。例3.如图，在空间四边形 ABCD中, E, H是边AB AD的中点,-口 CF CG 2点，且 =,求证：三条直线 EF、GH AC交于一点。CB CD 3F，G分别是边BC CD上的课后练习1下列命题正确的有 AEHF一条直线和两条

4、平行直线都相交， 那么这三条直线共面； 每两条都相交，但不共点的四条直线一定共面；两条相交直线上的三个点确定一个平面;两条互相垂直的直线共面。2、下列各图的正方体中， P, Q, R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是3.在空间四边形 ABCD各边AB BC CD点M则M在直线 上。4在正方体 ABCD-ABGD1中，直线AC交平面ABC1D1于点M试作出点M的位置。5.如图，在正方体 ABCD -ABC1D1 中, 求证：E、C、D1、F四点共面；E、F分别是AB、AA的中点,CE、D1F、DA三线共点.C1C6.如图，已知ABCD-ABQQ是棱长为3的正方体，点E在AA 上,

5、点F在CC1 上,且 AE 二GF =1.求证：E,B, F,D1四点共面;1BC1FC8题图空间几何体学习目标1认识空间几何体，会求几何体的表面积和体积；2、 会画棱柱、棱锥的直观图；3、 了解球与长方体、正四面体的组合体。重点 空间几何体的认识及表面积和体积的求解 难点 空间几何体的认识及表面积和体积的求解【自学导引】1.多面体有 , 和 。其中棱台可以由棱锥被 截得而得。2 .棱柱按底面多边形边数可分为 等；按棱与底面的关系可分为和 。3常见的旋转体有 。圆柱可以由 绕 旋转形成；圆锥可以由 绕旋转形成；圆台可以由 绕 旋转形成；圆台也可以由圆锥被 的平面截得。4 球可以由 绕 旋转形成

6、。【基础训练】1.写出下列集合间的关系是 . A=四棱柱 B=平行六面体 C=直平行六面体 D=长方体E=正四棱柱 F=正方体2 最简单的多面体是 .3.长方体的全面积为 22，棱长之和为24,则其对角线长为 .4.正四面体的的棱长为 a则其高为 .5.正方体的内切球与外接球的体积之比是B6.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1, 2, 3,则此球的表面积为 .7张长、宽分别是 8cm,4cm的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的对角线长为 .&如图将三边长分别为 3皿、4 cm. 5 c血的直角三角形绕斜边旋转一周 形成的几何体表

7、面积是 体积是 .2下9 将半径为2,中心角为 弧度的扇形卷成圆锥侧面，则该3圆锥体的体积是 . 10圆锥被中截面所截的小圆锥与圆台的体积之比是【对点讲练】例1 (1)已知一正四棱柱的底面边长为 1cm，高为3cm，请在右侧作出该几何体的直观图，并计算其表面积和体积；(2)已知一正三棱锥的边长为 2cm，请在右侧作出该几何体的直观图， 并计算其表面积和体积。例2.将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，求圆柱的底面半径与体积2例3.有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分别为 3a,4a,5a(a . 0)。用a它们拼成一个三棱柱或四棱柱， 在所有可能的情形中， 全面积最小的是一个

8、四棱柱， 求a的取值范围课后练习1棱长为1的正四面体的体积是 ，如果该正四面体所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ；体积是 2正四棱锥的侧棱长为 2 3，侧棱与底面所成的角为 60，则该棱锥的体积为 3.第3题图如图，在正三棱柱ABC-BG中，D为棱AA的中点，若截面 BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .4.正六棱锥 P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥 D-GAC与三棱锥 P-GAC体积之比为 5. 体积为8的一个正方体，其全面积与球 O的表面积相等，则球 O的体积等于 .6.若一个棱长 .2的正四面体的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积D为 .7 .圆锥的

9、轴截面是等边三角形，则其侧面展开扇形中心角的大小&用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 二，则球的体积为 9.圆锥母长线长为 6 cm,底面直径为3 cm,在母线SA上有一点B , AB= 2 皿，求由点A绕圆锥侧面一周到 B点的最短距离。10.试比较表面积相等的正方体，等边圆柱(轴截面为正方形) ，球的体积的大小。异面直线学习目标1理解空间两直线的三种位置关系;2、了解异面直线所成的角。重点 异面直线的判定 难点 异面直线的判定【自学导引】1直线与直线的位置关系异面直线：不同在 一个平面内V 2直线与直线平行(1 )平行线的传递性(公理 4)平行于 的两条直线互相平行(2 )等角定

10、理如果一个角的两边分别和另一个角的两边 且方向相同，那么这两个角相等。3直线与直线异面(1)异面直线的判定定理(2 )异面直线所成角的概念【基础训练】1.给出下列四个命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线 a,b ,如果a平行于平面，那么b不平行平面：；两异面直线 a,b，如果a_平面：，那 么b不垂直于平面：；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 .其中正确的命题是 .2在正方体 ACi中，M是侧棱DDi的中点，0是底面ABCD的中心，P是棱AiBi上的一点， 则0P与AM所成的角的大小为 3.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 4.两异面直线所成

11、的角的范围是 5.三个平面把空间分成 7部分时，它们的交线有 条6.空间四边形 ABCD中，AD =BC =2 , E, F分别是AB,CD的中点，EF =寸3，则异面直线AD,BC所成的角 【对点讲练】例1.求证：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。例2.已知ABCD-AiBiCiDi是棱长为a的正方体（图1）1正方体哪些棱所在的直线与直线 bc1异面直线？2求异面直线AA 1与BC所成的角；3求异面直线BCi与AC所成的角.例3. A是厶BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点,（1） 求证：直线 EF与BD是异面直线；（2） 若AC丄BD , AC=B

12、D，求EF与BD所成的角.D课后练习1、 角a与B的两边分别平行，当 a =70时，3 = 2、 a、b为异面直线”是指：aAb= ，但a不平行于b;a 匚面a，b =面3且aA b=；a匚面a, b匚面3且aCl 3 =；a匚面a, b広面a ；不存在平 面a，能使a匚面a且b匸面a成立。上述结论中，正确的是 _； 3、若E、F、G、H顺次为空间四边形 ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且 EG=3 ,2 2FH=4，贝U AC +BD = 4、在空间四边形 ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设 BC+AD=2a，贝U MN与a 的大小关系是 ；5.长方体 ABCD A1B

13、1C1D1 中，已知 AB=a , BC=b , AA1=c,且 ab, 求：异面直线D1B与AC所成角的余弦值.D1A1 %B1c十宀_S/aBC16、如图，在棱长为 2的正方体 ABCD - ABC 中，E、F分别是AB 和 AB的中点,求异面直线AF与CE所成角的正切值.7如图，已知不共面的直线 a,b,c相交于O点，M,P是直线a上的两点,N,Q分别是b,c上的一点-求证：MN和PQ是异面直线直线与平面平行学习目标1掌握空间直线和平面的位置关系；2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；3能实现“线线”、“线面”平行的转化 重点 线面平行的判定定理和性质定理的应用 难点 线面平行的判

14、定定理和性质定理的应用【自学导引】1.直线I与平面a的位置关系有哪几种？ 2.直线与平面所成角的概念： 3.线面平行的判定方法：判定方法图形符号语言直线 与 平 面 平 行定义：若一直线与一平面没 有公共点，则直线与平面平 行。a/ /若平面外一直线与平面内一 直线平行，则平面外这直线 平行于平面。a若两个平面平行，则一个平 面内的一条直线平行于另一 平面。a /4.线面平行的性质:1性质定理： 2一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 【基础训练】1.两条直线a,b都平行于平面:,那么a,b的位置关系是 2.设m, n是平面内的两条不同直线，li, I2

15、是平面：内的两条相交直线，则可以作为II的充分而不必要条件的是 1m / ：且 I i m / 11 且 n / I 2 m / ： 且 n / ： m / :且 n / 123.已知直线I、m、n及平面：，下列命题中真命题的序号是 若丨/ m , m / n ,则丨/ n 若丨_ ： , n /二，贝y丨_ n若丨_m , m n，则丨_n 若丨/： , n ,则丨/ n4.在四面体 ABCD中，M、N分别是面厶 ACD、 BCD的重心，则四面体的四个面中与 MN平行的是 5.已知A B两点到平面 a的距离分别为1cm,3cm,则AB中点到平面 a的距离为6.与空间四边形ABCD四个顶点距离

16、相等的平面共有 个【对点讲练】例1.如下图，两个全等的正方形 ABCD和ABEF所在平面相交 于 AB，M AC, N FB 且 AM=FN，求证：MN /平面 BCE.AE例2.如图，ABCDABQQ!中，点N在BD上，点M在BQ上,且 CM = DN ,求证：MN /平面AARB例3.求证：如果二个平面两两相交于二条直线，并且其中两条直 线平行，那么第三条直线也和它们平行。课后练习1.给出下列命题，其中正确的命题是 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行2夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面3直线m丄平面芒，直线n丄m,贝U n /二4a、b是异面直线，则存

17、在唯一的平面 ：，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.2.给出下列四个命题：1若一条直线不在平面内，则这条直线与该平面平行2若一条直线平行于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面平行3过直线外一点有无数个平面与这条直线平行4过平面外一点有无数条直线与这个平面平行其中正确的命题序号是 3.过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面4.如图，： rv 二cD,n 二 EFn 二ab,ab，求证:5.如图， E、F、G、H分别是空间四边形 ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)BD/ 平面 EFGH , AC/ 平面 EFGH 。6.已

18、知正四棱锥 P ABCD勺底面边长及侧棱长均为 13, M N分别是PA BD上的点，且PM： MABN： ND=5 : 8HEDC求证：直线MIN/平面PBC直线与平面垂直学习目标1.理解直线和平面垂直的概念 ；2.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;3.能实现“线线” “线面”垂直的转化.重点 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理难点 能实现“线线” “线面”垂直的转化【自学导引】1线面垂直的判定:直 线 与 平 面 垂 直判定方法图形付号语言疋义：如果一条直线垂直 于平面内的任意一条直 线，那么，这条直线就垂 直于这一平面。ai-/如果一条直线垂直于平 面内的两条相交直线，那么这条

19、直线就垂直于这个平面。a2.直线与平面垂直的性质：1性质定理： 2其它性质： 【基础训练】1.设I , m , n均为直线，其中 m , n在平面：内，“I ： ”是I m且“In ”的 条件.2.设m、n是两条不同的直线， 确命题的序号是 若m丄a, n a,贝U m丄n若 m /a, n /a,贝U m / n3.已知PA丄O O所在的平面,a、B、丫是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正若a / B B / Y , m丄a，贝U m丄丫若a丄丫，B丄丫， Ua/BAB是O O的直径，C是O O上异于 A、B的任意一点，图中直角三角形的个数是 4.在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，已

20、知AB=1 , D在棱BBi 上, BD=1 ,则AD与平面AAiC所成的角的正弦为 5.P为 ABC所在平面外一点，0为P在平面ABC上的射影若PA、PB、PC两两互相垂直，则 0是 ABC的 心。若P到 ABC三边距离相等，且 0在 ABC内部，贝U 0是 ABC的 心。B【对点讲练】例i .直线a /平面a ,直线b丄平面a,求证：a丄b 三棱锥中P- ABC，点P在平面ABC内的射影是 ABC 的垂心，求证：PA丄BC例2、已知 PA丄a PB丄3垂足分别为 A,B，且an =，求证：L丄面PAB在空间四边形 ABCD中， AB=AD , BC=CD,求证：AC丄BD例3、如图在正方体

21、 ABCD-A iBiCiDi中，M,N,G分别是A、A、DiC、AD 求证： (1) MN /平面 ABCD (2) MN丄平面BiBG的中点,1、给定空间中的直线 L及平面:,条件“直线L与平面内无数条直线都垂 直”是“直线L与平面垂直”D的 条件.2、P为；ABC所在平面外一点，0为P在平面ABC上的射影1若 PA_BC, PB_AC,贝U 0是 ABC 的 心.2若PA PB PC与底面成等角，则 O是厶ABC的 心.3、已知Rt ABC的斜边BC在平面内,两直角边AB AC分别和平面:-成45：和30角，贝U斜边BC上的高AD和与：所成的角为 4、在空间四边形 ABCD中, BC=A

22、C AD=BD作BE丄CD, E为垂足，作AH丄BE于H, 求证：AH丄平面BCD.5、如图，PA _矩形ABCD所在平面，M , N分别是AB和PC的中点.(1)求证：MN/ 平面 PAD; (2)求证：MN_CD; 若 PDA =45：,求证:MN 平面PCD.6、在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD是矩形，AB=2 BC=a,又侧棱PA丄底面 ABCD.(1 )当a为何值时，BD丄平面PAC试证明你的结论.(2) 当a=4时，求证：BC边上存在一点 M,使得PML DM.(3) 若在BC边上至少存在一点 M使PML DM求a的取值范围直线和平面平行和垂直学习目标1.掌握直线与平面平行、

23、 垂直的判定定理和性质定理； 2.能运用判定定理和性质定理解决有 关平行、垂直问题；3能理解转化思想在解题中的运用 .重点 掌握直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理难点 能运用判定定理和性质定理解决有关平行、垂直问题【自学导引】1.直线l与平面a的位置关系有哪几种？ 2.直线与平面所成角的概念： 3.线面平行的判定方法有哪些： 4 线面平行的性质有哪些:5.线面垂直的判定方法有哪些:6.线面垂直的性质有哪些:【基础训练】1如果直线l与平面不垂直，那么在平面内A、不存在与直线l垂直的直线C、存在无数条与l垂直的直线( )B、有且仅有一条与l垂直的直线;D、任意一条直线都与l垂直2.对于平面和

24、共面的直线 m、n,A.若 m丄二匚，mn,贝U n / :二C.若 m 二：,n / 二，贝 U m / nF列命题中真命题是B.若 m / 二，n / =，贝U m / nD.若m、n与所成的角相等，则n / m3.给出以下四个命题：其中真命题的个数是 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行.2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和两平面的交线平行。4.给出下列命题，其中正确的命题是 1直线上有两点到平面的距离

25、相等，则此直线与平面平行 2夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面3直线m丄平面a，直线n丄m,贝U n / a .4a、b是异面直线，则存在唯一的平面 a，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.5.若空间四边形 ABCD的两条对角线 AC,BD的长分别是9, 17,过AB的中点E且平行于BD AC的截面四边形的周长为 【对点讲练】例1、P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且 AMDN求证：MN/平面PBCP1.如图，平面的公垂线,Bi例2、如图，P为厶ABC所在平面外一点， PA丄面ABC,/ ABC=90 ,AE丄PB交于E, AF 丄PC交

26、于F,(2) AE丄平面PBC ( 3) PC丄平面AEF求证：(1) BC丄平面PAB例 3、如图，在三棱柱 ABC -AG 中，AB _ BC,BC _ BC1,ABC1 , 段AC1,AC1,BB1的中点求证：(1) EF / 面 BCC1B1; (2) GF _ 平面 ABQaA3 =EF, AC、BD为异面直线，且 AC丄B , BD丄a , 求证：AB / EF2.平行四边形ABCD与平行四边形ABEF所在的平面交于AB ,3 3M AC,N BF,且CM二 AC , BN= BF ,求证：MN平面 BCE7 73.如图，a,b是异面直线，代C与B,D分别是a,b上的两点，直线a/

27、平面 直线 b/平面：，AB ：二 M ,CD ：二 N , AM 二 BM，求证：CN = DN4 .如图，在正方体 ABCD - ABCD中，M为棱CC的中点，AC与BD 交于点O，求证：AO 平面MBD。5.如图，正三棱柱A B -C1 A 的 (侧面三条对角线EA CAMCC1B1A, BC ,1CA 中，AB 丄 BC，求证：ARICA两平面平行学习目标1、掌握面面平行的判定定理和性质定理； 2、能运用判定定理和性质定理证明有关平行问题，并会求平行平面的距离； 3、能熟练进行线线平行，线面平行，面面平行的转化 重点 掌握面面平行的判定定理和性质定理难点 能运用判定定理和性质定理证明有

28、关平行问题，并会求平行平面的距离；【自学导引】1、 两个平面的两种位置关系： 2、 两平面平行的判定平 面 与 平 面 平 行判定方法图形符号语言定义：没有公共点的两个平面平行。定理：如果一个平面内有两条相 交直线平行于另一个平面，那么这 两个平面互相平行。厶/垂直于同一条直线的两平面平行/b /3、 两个平面平行的性质定理 4、 两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义 【基础训练】1、i )一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。2)两个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。3)两个平面都与第三个平面平行，则这两个平面平行。4)一条直线与两个平面成等角，则这两

29、个平面平行。5)若两个平面平行，则一个平面内的任一条直线都平行与另一个平面。6)若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。7)若一个平面内有三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。以上命题中真命题的序号为 .2、 设直线a在平面M内，则面M /(面N是a /面N的 条件。3、 平面:-内有不共线的三点到平面 ：的距离相等，则与：的关系是 4、 已知a/、a丄1 ,则面:与面1的位置关系是 5、面M / N, a M、b N，则在下面四种情况： a/ b，a丄b,a与b异面，a、b 相交，其中可能出现的情况有 种【对点讲练】NME1，DCB例1、(1)正方体 A中，求证：平面 ACB/平面AiCiD(2)在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，设M、N分别为棱