第七讲MATLAB在插值和逼近中的应用.docx
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第七讲MATLAB在插值和逼近中的应用
第七讲MATLAB在插值与逼近中的应用
1插值与逼近
为何要逼近
数学上来讲，逼近就是在精度要求的范围内对要研究函数给出近似的函数值，乃至函数表达式。
为何咱们不直接计算要研究的函数或函值本身？
理由如下：
用给定函数表达式计算函值很困难乃至根本不可能。
如，sinx、tgx、Inx等。
由实验与测量取得的变量间对应关系常常是一函数值表（此后咱们也称为表列函数）。
但表所表示函在表某个中间位置的函数值却是无法明白的。
函数可能被隐含地概念，而事实上又不能用一个直接规律给出。
例如，由方程
ey+y+sinx=0肯定的隐含数。
计算逼近函数的值往往比计算函值本身更快。
特别地，当原来函数以无穷级数的形式给出，只能如此。
运算机存储量有限，而其计算量相对来讲却专门大，从某种意义上来讲，逼近实际上也是为了扬长避短。
如，咱们不可能将所有的sinx的值都存在运算机内，但咱们将会看到，利用琏近咱们的却能够很方便地算出任一点的函数值。
实际应用中，只要函数值符合某一个精度要求也就够了。
逼近的分类
逼近函数是为了更方便地计算函数，更简单地表达函数。
因此，常常利用一些简单函数或这些简单函数的线性组合来逼近。
通常的逼近形式有：
咱们称ф（x）,i＝0，1，2，…，m为逼近函数，f（x）称为逼近函数。
逼近的原则
已知函数f（x）在n+1个点xi（i＝0，1，2，…，n）的函数值为f（xi）（i＝0，1，2，…，n）。
要求出f（x）的逼近函数g（x），则要选定逼近基函数，肯定上式中的常数ai（i＝0，1，2，…，m）。
基函数选定往往跟实际问题有关；而肯定常数ai（I＝0，1，2，…，m）以保证逼近函数g（x）能更近似地表示函数f（x），则是咱们这里要解决的问题。
为此，就要第一给出一个准则，来描述“更近似”。
概念距离：
其中，p>0为一实数。
则“更近似“即指“e更小“。
因此，肯定ai（i＝0，1，2，…，m）使得e取得最小即可。
e称为逼近误差。
若p=1，称为一致逼近，p=2，称为平方逼近。
从上式不难看出，就此式而言，e最好的最小值为零，现在，g（xi）=f（xi），逼近函数g（x）恰好通过所有n+1个已知点（xi，f（xi）），（i＝0，1，2，…，n）。
什么叫插值
给定n+1个数据点（x0,y0），（x1,y1），…，（xn,yn），若逼近函数通过n+1个数据点，即在已知数据点上的逼近误差为零，则称逼近函数为插值函数，简称为插值。
若存在P（xi）=yi（i=0,1,…,n）
称P（x）为y=f（x）的插值函数，求插值函数P（x）的方式称为插值法。
主要算法有Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、Hermite插值及三次样条插值等。
Lagrange插值
1.5.1线性插值
过函数y=f（x）上的两点（x0,y0）（x1,y1）作一直线p1（x）近似地替代f（x）
即：
p1（x0）=y0p1（x1）=y1
由点斜式
1.5.2抛物插值
过函数y=f（x）上的三点（x0,y0）,（x1,y1）,（x2,y2）作一抛物线p2（x）近似地替代f（x）
即：
p2（x0）=y0p2（x1）=y1p2（x2）=y2
作二次式l0（x）,使其知足
l0（x0）=1,l0（x1）=0,l0（x2）=0,
易推出：
同理
则
1.5.3Lagrange插值
设函数y=f（x）在给定的两两互异的节点x0,x1,…,xn上的函数值为y0,y1,…,yn,求作一个次数≤n的多项式
使它知足
这就是Lagrange插值多项式
1.5.4Lagrange插值的流程图
1.5.5Lagrange编程
functiony=lagrange（x0,y0,x）
%lagrangeinsert
n=length（x0）;
p=0;
fori=1:
n
l=;
forj=1:
n
ifj~=i
l=l*（x-x0（j））/（x0（i）-x0（j））;
end
end
p=p+l*y0（i）;
end
y=p;
例
例给出f（x）=e-x的数值表，用lagrange插值计算的近似值
x
ln（x）
x0=[];
y0=[];
y=lagrange（x0,y0,
y=
例给出f（x）=lnx的数值表，用lagrange插值计算的近似值
x
ln（x）
x0=[:
:
];
y0=[];
y=lagrange（x0,y0,
y=
y=log
y=
分段插值（将插值区间划分小区间[xi,xi+1]，在每一个小区间构造插值多项式pi（x），将每一个小区间插值多项式pi（x）拼接）
1.6.1高次插值的Runge现象
对于函数
x=[-5:
1:
5];
y=1./（1+x.^2）;
x0=[-5:
:
5];
y0=1./（1+x0.^2）;
y1=lagrange（x,y,x0）;
plot（x0,y1,'--or'）
holdon
plot（x0,y0,'-b'）
clf
x1=[-5:
1:
0];
y1=1./（1+x1.^2）;
x2=[0:
1:
5];
y2=1./（1+x2.^2）;
x3=[-5:
:
0];
x4=[0:
:
5];
x0=[-5:
:
5];
y0=1./（1+x0.^2）;
y3=lagrange（x1,y1,x3）;
y4=lagrange（x2,y2,x4）;
plot（x3,y3,'or',x4,y4,'+r'）
holdon
plot（x0,y0,'-b'）
MATLAB插值函数
插值函数及其功能
函数
功能描述
interp1
一维插值
interp2
二维插值
interp3
三维插值
interpft
一维快速傅立叶插值
interpn
N-D维插值
spline
三次样条数据插值
pchip
保形分段三次插值（分段三次Hermit插值多项式）
yi=interp1（x,y,xi,method）
methodsare:
'nearest'-nearestneighborinterpolation
'linear'-linearinterpolation
'spline'-piecewisecubicsplineinterpolation（SPLINE）
'pchip'-shape-preservingpiecewisecubicinterpolation
'cubic'-sameas'pchip'
'v5cubic'-thecubicinterpolationfromMATLAB5,whichdoesnot
extrapolateanduses'spline'ifXisnotequallyspaced.
x=0:
8;
y=sin（x）;
xi=0:
:
8;
ni=interp1（x,y,xi,'nearest'）;
li=interp1（x,y,xi,'linear'）;
si=interp1（x,y,xi,'spline'）;
ci=interp1（x,y,xi,'cublic'）;
plot（x,y,'o',xi,ni,'ms',xi,li,'b*',xi,ci,'k+',xi,si,'r-'）
legend（'原数据','nearest','linear','cublic','spline'）
样条曲线的MATLAB实现
1.8.1样条曲线在工程实践与科学中的应用
●样条曲线拟合问题：
由实验或观测取得了一批数据点，要求用一个函数近似地表明数据点间的函数关系，并画出函数的样条曲线。
●样条曲线插值问题：
由实验、观测或计算取得了若干离散点组成的点列，要求用滑腻的样条把这些离散点联结起来。
●样条曲线逼近问题：
在样条曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用样条曲线逼近那个折线轮廓。
MATLAB专门提供了样条工具箱，以便能够方便地处置各类数据，生成样条曲线。
1.8.2Splinetool的利用
功能：
用一系列方式生成各类样条曲线
语法：
splinetool（x,y）（回车）按照数组x,y在图形用户界面下生成样条曲线。
splinetool（回车）启动图形用户界面
选择数据输入的方式（如选第一项Provideyouowndata）
x=linspace（0,2*pi,31）y=cos（x）
选择各类生成样条曲线的方式：
三次样条插值法，可选择各类约束条件
光滑样条法，可选择函数的阶数（4或6）,可改变精度的允许值
最小二乘法，可选择函数的阶数（1到14）
样条插值法，可选择函数的阶数（1到14）
选择方式的辅助图形（通过View菜单）
显示样条函数的一阶导数曲线图
显示样条函数的二阶导数曲线图
显示误差曲线图
第一个点的三次导数和第二点的三次导数一样；最后一个点的三次导数和倒数第二个点一样
'complete'or'clamped'
第一类边界条件（缺省边界条件）
第二类边界条件
周期（第三类）边界条件
使最后一个点的二阶导数等于零
自然边界条件
用所给定四个点通过Lagrange插值法生成三次样条曲线
第一类边界条件：
给定函数在x0,xn端点处的一阶导数，
第二类边界条件：
给定函数在x0,xn端点处的二阶导数，
当函数在x0,xn端点处的二阶导数等于0时，称为自然边界条件，现在的样条函数称为自然样条函数
第三类边界条件：
设f（x）是周期函数，并设x0,xn是一个周期，给定函数在x0,xn端点处的一阶导数和二阶导数相等
通过菜单中各项选择，取得所需样条曲线。
最小二乘拟合
对于有限区间[a,b]上的持续函数f（x）,找到一个多项式p（x）,使得f（x）-p（x）的欧几里德模
小于某一误差限ε
1.9.1利用polyfit功能函数进行多项式拟合
例用最小二乘法拟合如下数据
x
y
假设拟合多项式为f=a0+a1*x+a2x2
x=[];
y=[];
a=polyfit（x,y,2）
f=poly2str（a,'x'）
x1=[:
:
];
y1=a（3）+a
（2）*x1+a
（1）*x1.^2;
plot（x,y,'*'）
holdon
plot（x1,y1,'-r'）
a=
f=
x^2+x+
1.9.2利用矩阵的除法求系数，解决复杂型函数的拟合
例用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，使它与如下数据拟合
xi
19
25
31
38
44
yi
x=[1925313844];
y=[];
x1=x.^2
x1=[ones（5,1）,x1']
ab=x1\y'
x0=[19:
:
44];
y0=ab
（1）+ab
（2）*x0.^2;
clf
plot（x,y,'o'）
holdon
plot（x0,y0,'-r'）
x1=36162596114441936
x1=1361
1625
1961
11444
11936
ab=
1.9.3利用MATLAB优化工具箱中lsqcurvefit函数进行非线性曲线拟合
[a,resnorm]=lsqcurvefit（,a0,x,y）
a---返回待定系数向量
resnorm---返回a处残差的平方和范数值：
sum{（fun（（a,x）-y）.^2}
fun---拟合函数
a0---待定系数向量初始值
x,y---原始输入输出数据向量
例x=0:
:
10;
y=*exp*x）+*exp*x）.*sin*x）;
%设数据知足原型为
%y（x）=a1e-a2x+a3e-a4xsin（a5x）
%其中ai为待定系数
aaa=inline（'a
（1）*exp（-a
（2）*x）+a（3）*exp（-a（4）*x）.*sin（a（5）*x）','a','x'）;
a0=[1,1,1,1,1];
[a,resnorm]=lsqcurvefit（aaa,a0,x,y）
Optimizationterminatedsuccessfully:
Relativefunctionvaluechangingbylessthan
a=
resnorm=
1.9.4利用MATLAB优化工具箱中CurveFittingToolbox进行曲线拟合
主要包括数据预处置、数据拟合和数据后处置。
曲线拟合工具箱在拟合数据时利用最小二乘法。
进行拟合需要一个能表示实验数据与理论数据之间关系的模型，模型中有一些需要肯定的系数。
拟合的目的就是要获得对这些未知系数的估计。
最小二乘法通过最小化残差的平方和来获得待定系数的估计。
式中（m+1）个为参与拟合的数据点的个数，
支持的最小二乘拟合类型包括：
*线性最小二乘；
*加权线性最小二乘；
Wi为权重因子
*稳健最小二乘：
最小二乘法的主要缺点是对异样值太敏感。
异样值对拟合结果具有专门大的影响，因为对残差取平方会将异样值的影响放大。
要使异样值的影响最小，能够用稳健最小二乘拟合数据。
工具箱提供了下面2个稳键回归方案：
最小绝对残差（LAR）：
LAR方案要求残差的绝对差，而不是平方差最小的曲线。
所以，极值对拟合的影响更小。
双二次加权：
本方案使加权平方和最小，其中每一个数据点的权重与该点到拟合线的距离有关。
离拟合线更近的点权重更大，离拟合线更远的点权重更小，超出预期范围的点的权重为0。
对于大多数情形，双二次加权方案比LAR方案的效果更好，因为它不仅用一般最小二乘法找到了拟合数据的曲线，还使异样值的影响最小。
*非线性最小二乘。
工具箱提供的非线性选代算法包括：
置信域法:
默许算法，若是指定系数约束，必需利用该方式。
该方式求解复杂非线性问题的效率比其他几种算法高得多，而且它是普通Levenberg-Marquardt法的改良版本。
Levenberg-Marquardt法:
老牌的非线性迭代算法，通过了很连年的考验。
若是置信域法取得的结果不睬想，而且没有系数约束，试用本法。
Gauss-Newton法本算法比其他算法快得多，可是它假设数据残差接近0。
把该算法
放到工具箱中，主要出于教学的目的，解决实际问题时，应该把它作为最后的选择。
评价拟合的优度：
用一个或多个模型拟合数据以后，应该评价拟合的优度，即拟合的好坏情形。
评价拟合优度，第一个办法是将拟合曲线显示出来，从图上直接观察。
另外，工具箱还用下面几种指标来评价拟合的优度：
SSE:
误差平方和，误差平方和越接近0。
说明拟合越好。
R-square:
R的平方能够取0到1之间的所有值，值超接近1，拟合效果越好。
AdjustedR-square:
调整的R平方统计量能够能够是任何小于等于1的值，值超接近1表示拟合效果更好。
RMSE:
均方误差的模，RMSE的值接近O表示拟合效果专门好。
例子：
已知铜的热容实验数据，求铜的焓、熵和吉布斯自由能。
T
CP
10
15
20
25
30
50
70
100
150
200
250
298
400
500
600
700
800
1000
1200
升级会员 