第4讲 匀变速直线运动的速度与时间的关系.docx
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第4讲匀变速直线运动的速度与时间的关系
第4讲匀变速直线运动的速度与时间的关系
一、匀变速直线运动
（1）定义：
沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动。
（2）分类：
①匀加速直线运动：
物体的速度随时间均匀增加；
②匀减速直线运动：
物体的速度随时间均匀减小。
二、速度与时间的关系式
（1）速度公式
（2）理解：
做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v，就等于物体在开始时刻的速度v0，再加上在整个过程中速度的变化量at。
（3）公式的适用条件：
只适用于匀变速直线运动。
（4）公式的矢量性：
公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，取v0方向为正方向时，a，v符号意义如下表
物理意义
a>0
匀加速直线运动
a<0
匀减速直线运动
v>0
v与v0方向相反
v<0
v与v0方向相反
（5）公式的两种特殊形式
1）当a＝0时，v＝v0（匀速直线运动）。
2）当v0＝0时，v＝at（由静止开始的匀加速直线运动）。
（6）两个公式的比较
v＝v0＋at虽然是由a＝
变形后得到的，但二者含义不同，a＝
是加速度的定义式，适用于所有变速运动，而v＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动。
（7）应用v＝v0＋at的一般思路
1）画出运动过程的草图，标上已知量便于灵活选用公式。
2）选取一个过程为研究过程，以初速度方向为正方向。
判断各量的正负，利用v＝v0＋at由已知量求未知量。
3）讨论所得矢量的大小及方向。
[例1] 一质点从静止开始以1m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5s后做匀速直线运动，匀速直线运动的时间为4s，最后2s时间内质点做匀减速直线运动直到静止，则质点匀速直线运动时的速度是多大？
匀减速直线运动时的加速度多大？
[解析] 质点的运动过程包括加速—匀速—减速三个阶段，画出运动过程的示意图如图所示，图中AB段为加速，BC段为匀速，CD段为减速，匀速运动的速度既为AB段的末速度，也为CD段的初速度，由运动学公式可知
vB＝vA＋at＝0＋1×5m/s＝5m/svC＝vB＝5m/s
将v＝v0＋at应用于CD段（vD＝0）
a′＝
＝
m/s2＝－2.5m/s2负号表示a′与v0方向相反。
[答案] 5m/s 2.5m/s2，方向与速度方向相反
1．汽车一般有五个前进挡位，对应不同的速度范围，设在每一挡汽车均做匀变速直线运动，换挡时间不计。
某次行车时，一挡起步，起步后马上挂入二挡，加速度为2m/s2,3s后挂入三挡，再经过4s速度达到13m/s，随即挂入四挡，加速度为1.5m/s2，速度达到16m/s时挂上五挡，加速度为1m/s2。
求：
（1）汽车在三挡时的加速度大小；
（2）汽车在四挡行驶的时间；（3）汽车挂上五挡后再过5s的速度大小。
解析：
（1）汽车的运动过程草图如图所示。
在二挡时（A→B），a1＝2m/s2，t1＝3s，这一过程的末速度v1＝a1t1＝2×3m/s＝6m/s
在三挡时（B→C），v2＝13m/s，t2＝4s，加速度
a2＝
＝
m/s2＝1.75m/s2
即汽车在三挡时的加速度大小为1.75m/s2。
（2）在四挡时（C→D），a3＝1.5m/s2，v3＝16m/s，运动时间t3＝
＝
s＝2s
即汽车在四挡行驶的时间为2s。
（3）在五挡时（D→E），a4＝1m/s2，t4＝5s，速度
v4＝v3＋a4t4＝16m/s＋1×5m/s＝21m/s
故汽车挂上五挡后再过5s的速度大小为21m/s。
答案：
（1）1.75m/s2
（2）2s （3）21m/s
三、对速度—时间（vt）图象的理解和应用
（1）物理意义：
表示速度随时间的变化规律。
（2）匀变速直线运动的vt图象如图所示，匀变速直线运动的vt图象是一条倾斜的直线。
①直线a反映了速度随着时间是均匀增加的，为匀加速直线运动的图象；
②直线b反映了速度随着时间是均匀减小的，为匀减速直线运动的图象；
③直线c反映了速度随着时间先均匀减小，后均匀增加，由于加速度不变，整个运动过程也是匀变速直线运动；
④直线d反映了速度不随时间改变，为匀速直线运动。
（3）vt图象的应用
通过vt图象，可以明确以下信息：
（4）分析vt图象时的两点注意
1）加速度是否变化看有无折点：
在折点位置，图线的斜率改变，表示此时刻物体的加速度改变。
vt图象为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变。
2）速度方向是否改变看与时间轴有无交点：
在与时间轴的交点位置，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变。
[例2] 甲、乙两车从同一地点沿同一方向出发，如图所示是甲、乙两车的速度图象，由图可知（ ）
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．t1时刻甲、乙两车的加速度相等
C．t1时刻甲、乙两车相遇
D．0～t1时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
[解析] 由所给甲、乙两车的速度图象的斜率知，甲车的加速度小于乙车的加速度，A、B错误；t1时刻甲、乙两车速度相等，由于之前甲车的速度一直大于乙车的速度，故此时甲车位于乙车的前方，C错误；由甲、乙两车的速度图象与时间轴所围图形的面积知，0～t1时间内，甲车比乙车的位移大，故该段时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确。
[答案] D
2．[多选]一物体做匀变速直线运动，若从物体P点时开始计时，取向右为正方向，其vt图象如图所示，则物体在4s内（ ）
A．始终向右运动B．前2s向左运动，后2s向右运动
C．4s末离P点最远D．2s末离P点最远
解析：
选BD vt图象中速度的正负表示方向，向右为正方向，故物体前2s向左运动，后2s向右运动，A错误，B正确；物体前2s向左运动远离P点，而后2s向右运动靠近P点，可知物体在2s末离P点最远，C错误，D正确。
1．（多选）某物体做匀变速直线运动，在运用公式v＝v0＋at解题时，若取初速度方向为正方向，则下列说法正确的是（ ）
A．匀加速直线运动中，加速度a取负值
B．匀加速直线运动中，加速度a取正值
C．匀减速直线运动中，加速度a取负值
D．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动，加速度a均取正值
【解析】 物体做匀加速直线运动，速度方向与加速度方向相同，由于初速度为正值，故加速度也应取正值，A错，B对；匀减速直线运动中加速度方向与速度方向相反，加速度应取负值，C对、D错．【答案】 BC
2．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是（ ）
A．是加速度不变、速度随时间均匀变化的直线运动
B．是速度不变、加速度变化的直线运动
C．是速度随时间均匀变化、加速度也随时间均匀变化的直线运动
D．当加速度不断减小时，其速度也不断减小
解析：
选A 匀变速直线运动是速度均匀变化，而加速度不变的直线运动，A正确。
3．在匀变速直线运动中,下列说法正确的是（ ）
A.相同时间内的位移变化相同B.相同时间内速度变化相同
C.相同时间内加速度变化相同D.相同路程内速度变化相同
解析:
匀变速直线运动是加速度不变的运动,选项C错误;由加速度的定义知Δv=aΔt,即相同时间内速度的变化相同,选项B正确;若相同时间内位移变化相同,则
不变,即速度不变,这属于匀速直线运动,不是匀变速直线运动,故选项A、D错误。
答案:
B
4．如图所示，是几个质点的运动图象，其中是匀变速运动的是（ ）
甲 乙 丙 丁
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁C．甲、丙、丁D．乙
解析：
选C 匀变速直线运动的速度—时间图象为倾斜直线，故所给图中甲、丙、丁表示物体做匀变速直线运动，C正确。
5．[多选]物体做匀加速直线运动，已知第1s末的速度是6m/s，第2s末的速度是8m/s，则下面结论正确的是（ ）
A．物体零时刻的速度是3m/sB．物体的加速度是2m/s2
C．任何1s内的速度变化都是2m/sD．第1s内的平均速度是6m/s
解析：
选BC 物体的加速度a＝
＝
m/s2＝2m/s2，由v＝v0＋at得物体零时刻的速度v0＝v1－at＝（6－2）m/s＝4m/s，由于第1s末的速度等于6m/s，所以第1s内的平均速度一定小于6m/s，由以上分析可知，B、C正确。
6．以6m/s的速度在水平面上运动的小车，如果获得2m/s2与运动方向同向的加速度，它的速度增加到10m/s所经历的时间为（ ）
A．5sB．2sC．3sD．8s
【解析】 由速度公式v＝v0＋at得，运动时间t＝
＝
s＝2s，选项B正确．【答案】 B
7．一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5s时间，汽车的加速度为2m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为（ ）
A．2m/s B．10m/sC．2.5m/sD．5m/s
【解析】 由题意知v＝15m/s，a＝2m/s2，t＝5s，根据v＝v0＋at得，v0＝v－at＝15m/s－2×5m/s＝5m/s，故选D.【答案】 D
8．A、B两个物体在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度图象如图2 2 4所示，则以下说法正确的是（ ）
图2 2 4
A．A、B两物体运动方向一定相反B．A、B两物体的加速度方向相同
C．t＝4s时，A、B两物体的速度相同D．A物体的加速度比B物体的加速度大
【解析】 A、B两物体都向正方向运动，运动方向相同，A错；又因A加速运动，B减速运动，故A、B的加速度方向相反，B错；t＝4s时，两物体的速度相同，C对；两物体的vt图象，B的斜率较大，即B物体的加速度较大，D错．【答案】 C
9．甲、乙两质点在同一直线上，向同方向做匀加速直线运动vt图象如图2 2 8所示，在3s末两质点在途中相遇，则下列判断正确的是（ ）
图2 2 8
A．两质点出发点间的距离是甲在乙之前6m
B．两质点出发点间的距离是甲在乙之前4.5m
C．在第2秒，乙质点加速度为2m/s2，甲质点加速度为1m/s2
D．在第2秒，乙质点加速度为3m/s2，甲质点加速度为1m/s2
【解析】 在vt图象中图线与坐标轴形成的面积表示某段时间内物体的位移，0～3s内甲的位移为3m，乙的位移为9m，在3s末两质点相遇，二者初始距离为6m，故A正确，B错误；两质点做匀加速直线运动，a甲＝
＝
m/s2＝1.5m/s2，a乙＝
＝
m/s2＝2m/s2，故C、D错误．【答案】 A
10．（多选）a、b两个物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀变速直线运动，若初速度不同而加速度相同，则在运动过程中（ ）
A．a、b的速度之差保持不变B．a、b的速度之差与时间成正比
C．a、b的速度之和与时间成正比D．a、b的速度之和与时间成线性关系
【解析】 设a、b两个物体的初速度分别为v1和v2，由速度公式v＝v0＋at可得t时刻a、b两物体的速度分别为：
va＝v1＋at，vb＝v2＋at，两速度之差va－vb＝v1－v2，由此可知，va－vb与时间无关，保持不变，A正确，B错误；两速度之和va＋vb＝v1＋v2＋2at，与时间成线性关系，由于v1＋v2≠0，并非与时间成正比，C错误，D正确．【答案】 AD
11．我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，成功将第三颗北斗导航卫星送入预定轨道，这标志着北斗卫星导航系统工程建设又迈出了重要一步，卫星组网正按计划稳步推进．如图所示，发射过程中某段时间内火箭速度的变化规律为v＝（2t＋4）m/s，由此可知这段时间内（ ）
A．火箭的初速度为2m/sB．火箭的加速度为4m/s2
C．在3s末，火箭的瞬时速度为10m/sD．火箭做匀加速直线运动
解析：
在这段时间内，由速度的表达式可知，火箭的速度均匀增大，故火箭做匀加速直线运动，选项D正确；由匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at知，在这段时间内火箭的初速度v0＝4m/s，加速度a＝2m/s2，选项A、B错误；将时间t＝3s代入得v3＝10m/s，选项C正确．
答案：
CD
12．一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化规律如图所示，取开始运动方向为正方向，则如图所示的物体运动的vt图象中正确的是（ ）
解析：
由at图象可知0～1s时间内物体做正方向的匀加速直线运动，在1～2s物体做正方向的匀减速直线运动，2s末物体速度减小到0，物体在2～3s做正方向的匀加速直线运动，3～4s做正方向的匀减速直线运动，故选项C正确．答案：
C
13．一物体从静止开始以2m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5s后做匀速直线运动，最后2s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求：
（1）物体做匀速直线运动的速度是多大？
（2）物体做匀减速直线运动时的加速度是多大？
【解析】 解题关键是画出如下的示意图：
设图中A→B为匀加速直线运动，B→C为匀速直线运动，C→D为匀减速直线运动，匀速运动段的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度．
（1）由速度、时间的关系式得
vB＝a1t1＝2×5m/s＝10m/s，
即做匀速直线运动的速度为10m/s
vC＝vB＝10m/s.
（2）由v＝v0＋a2t2得
a2＝
＝
＝
m/s2＝－5m/s2.
负号表示加速度方向与vB方向相反．
【答案】
（1）10m/s
（2）5m/s2 方向与速度方向相反
14．A、B是做匀变速直线运动的两个物体的vt图象，如图所示．
（1）A、B两物体各做什么运动？
其加速度？
（2）求2s末A、B两物体的速度？
（3）求7s末A、B两物体的速度？
解析：
（1）A物体做初速度为4m/s的正方向匀减速直线运动，3s末速度减小到0，然后做反方向匀加速直线运动；B物体做初速度为－2m/s即反方向的匀减速直线运动，5s末速度减小到0，然后做正方向匀加速直线运动．
根据a＝
，则aA＝
m/s2＝－
m/s2，
aB＝
m/s2＝0.4m/s2.
（2）根据v＝v0＋at得
vA＝4m/s＋
×2m/s＝
m/s，
vB＝（－2＋0.4×2）m/s＝－1.2m/s.
（3）根据v＝v0＋at得
vA′＝4m/s＋
×7m/s＝－
m/s，
vB′＝－2m/s＋0.4×7m/s＝0.8m/s.
答案：
（1）见解析
（2）vA＝
m/s，vB＝－1.2m/s
（3）vA′＝－
m/s,vB′＝0.8m/s
15．卡车原来以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方即开始刹车，使卡车匀减速前进，当车减速到2m/s时，交通灯转为绿灯，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程的一半时间卡车就加速到了原来的速度，从刹车开始到恢复原速的过程用了12s．求：
（1）减速与加速过程中的加速度；
（2）开始刹车后2s末及10s末的瞬时速度．
解析：
（1）卡车先做匀减速直线运动，再做匀加速直线运动，其运动示意图如图所示，设卡车从A点开始减速，则vA＝10m/s，用t1时间到达B点，从B点又开始加速，用时间t2到达C点，则vB＝2m/s，vC＝10m/s，且t2＝
t1，t1＋t2＝12s，可得t1＝8s，t2＝4s.
由v＝v0＋at得，在AB段，vB＝vA＋a1t1，①
在BC段，vC＝vB＋a2t2，②
联立①②两式代入数据解得a1＝－1m/s2，a2＝2m/s2.
（2）2s末的瞬时速度为v1＝vA＋a1t′＝10m/s－1×2m/s＝8m/s,10s末的瞬时速度为v2＝vB＋a2t′′＝2m/s＋2×（10－8）m/s＝6m/s.
答案：
（1）－1m/s2 2m/s2
（2）8m/s 6m/s
一、单项选择题
1．在运用公式v＝v0＋at时，关于各个物理量的符号下列说法中正确的是（ ）
①必须规定正方向，式中的v、v0、a才取正、负号
②在任何情况下a>0表示加速运动，a<0表示做减速运动
③习惯上总是规定物体开始运动的方向为正方向，a>0表示做加速运动，a<0表示做减速运动
④v的方向总是与v0的方向相同
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
答案：
A解析：
习惯上我们规定v0的方向为正方向，当a与v0方向相同时a取正号，a与v0方向相反时a取负号，像这种规定我们一般不作另外的声明，但不说不等于未规定，所以①③正确，②错误，由v＝v0－at可以看出v的方向与v0方向有可能相反，④错误。
2．一辆汽车在平直的高速公路上行驶。
已知在某段时间内这辆汽车的加速度方向与速度方向相同，则在这段时间内，该汽车（ ）
A．一定做匀减速直线运动B．一定做匀加速直线运动
C．可能做匀变速直线运动D．一定做匀变速直线运动
解析：
选C 汽车的加速度方向与速度方向相同，所以一定是加速运动。
因为不能判断加速度大小是否恒定，所以不能确定汽车是否做匀变速直线运动，A、B、D错误，C正确。
3．物体做匀加速直线运动，已知第1s末的速度是6m/s，第2s末的速度是8m/s，则下列结论正确的是（ ）
A．物体零时刻的速度是3m/sB．物体的加速度是4m/s2
C．任何1s内的速度变化都是2m/sD．第1s内的平均速度是6m/s
解析：
由题意知t1＝1s时，v1＝6m/s；t2＝2s时，v2＝8m/s.由v2＝v1＋a（t2－t1）知，物体的加速度a＝
m/s2＝2m/s2.因为物体做匀加速运动，所以任何1s内速度的变化量都为Δv＝aΔt＝2×1m/s＝2m/s.故B、C正确．由v1＝v0＋at得，零时刻的速度v0＝v1－at＝6m/s－2×1m/s＝4m/s，故A不正确．第1s内的平均速度大于4m/s，小于6m/s，故D不正确．答案：
C
4．（多选）如图所示为物体甲的x-t图象和物体乙的v-t图象,则这两个物体的运动情况是（ ）
A.甲在整个t=6s时间内有来回运动,它通过的总位移为零
B.甲在整个t=6s时间内运动方向一直不变,它通过的总位移大小为6m
C.乙在整个t=6s时间内有来回运动,它通过的总位移为零
D.乙在整个t=6s时间内运动方向一直不变,它通过的总位移大小为4m
解析:
甲的图象是x-t图象,甲在整个t=6s时间内做匀速直线运动,总位移大小为4m,选项A错,选项B对。
乙的图象是v-t图象,乙在整个t=6s时间内先向负方向运动,后向正方向运动,总位移为零,C对,D错。
答案:
C
5．（海南高考）一物体做直线运动，其加速度随时间变化的at图象如图所示。
则在图中的vt图象中，可能正确描述此物体运动的是（ ）
解析：
选D 在0～
时间内，加速度恒定，物体从静止开始做匀加速直线运动；
～T时间内，加速度恒定为零，物体做匀速直线运动；在T～
时间内，加速度恒定但反向，物体做匀减速直线运动，根据Δv＝aΔt，
时刻物体速度为零；在
～2T时间内，加速度恒定，物体做反方向的匀加速直线运动。
综上所述，D正确。
二、多项选择题
6．一物体的速度随时间变化的关系为v＝5－2t，则下列说法正确的是（ ）
A．物体的初速度为5m/sB．物体做匀加速直线运动
C．物体每秒的速度变化量为－2m/sD．经过3s物体的速度为零
解析：
选AC 由速度公式v＝v0＋at可知，物体的初速度为5m/s，加速度为－2m/s2，A正确；由于加速度方向与初速度方向相反，所以物体做匀减速运动，B错误；物体每秒的速度变化量为－2m/s，C正确；根据速度公式可以计算出经过3s物体的速度为－1m/s，负号表示方向与初速度方向相反，D错误。
7．某质点的速度图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．在t＝2s末，质点的加速度为1.5m/s2
B．在t＝12s末，质点的加速度为1m/s2
C．在6～10s内，质点做匀速直线运动
D．在t＝2s末，质点的瞬时速度大小为3m/s
答案：
ACD解析：
由图可知，在t＝2s末，a1＝1.5m/s2，A正确；在t＝12s末，a2＝－1m/s2，B错；6～10s做匀速直线运动，故C正确；t＝2s末，v＝3m/s，D项正确。
8．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度大小为10m/s。
在这一过程中（BD）
A．物体一定向一个方向运动B．物体的运动方向可能发生改变
C．加速度大小可能小于4m/s2D．加速度大小可能大于10m/s2
解析：
物体做匀变速直线运动，题中只告诉了物体在某时刻速度的大小为4m/s，可能和10m/s的速度同向，也可能反向，所以B正确，A错误。
已知条件中涉及时间和速度的大小，可求加速度，有两种可能：
以初始时刻的速度方向为正方向，当物体做匀加速运动时，v＝10m/s，a＝
＝6m/s2，当物体初始做匀减速运动时，v＝－10m/s，a＝
＝－14m/s2，故C错误，D正确。
三、非选择题
9．在某品牌汽车4S店，一顾客正在测试汽车的加速和减速性能。
某段时间内汽车以36km/h的速度匀速行驶，若汽车以0.6m/s2的加速度加速，则10s后速度能达到多少？
若汽车以0.6m/s2的加速度刹车，则10s后和20s后速度各减为多少？
解析：
取初速度的方向为正方向，初速度v0＝36km/h＝10m/s，加速度a1＝0.6m/s2，a2＝－0.6m/s2
由速度公式得加速10s后的速度
v1＝v0＋a1t1＝10m/s＋0.6×10m/s＝16m/s
从开始刹车至汽车停下所需时间
t＝
＝
s≈16.7s
t2v2＝v0＋a2t2＝10m/s－0.6×10m/s＝4m/s
t3>t，故刹车20s后汽车速度为零。
答案：
16m/s 4m/s 零
10．如图2 2 10所示，小球以v0＝6m/s的速度从中间滑上足够长的光滑斜面．已知小球在斜面上运动时的加速度大小为2m/s2，问小球速度大小为3m/s时需多长时间？
（小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小和方向均不变）
图2 2 10
【解析】
（1）当小球在上升过程中，速度减为3m/s时，以沿斜面向上的方向为正方向，此时，v0＝6m/s，v＝3m/s，a＝－2m/s2，
根据v＝v0＋at得t1＝
＝
s＝1.5s.
（2）当小球在下滑过程中，速度达3m/s，以沿斜面向上的方向为正方向，则v0＝6m/s，v＝－3m/s，a＝－2m/s2，
由v＝v0＋at得：
t2＝
＝
s＝4.5s.
【答案】 1.5s或4.5s
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