不等式与方程综合二.docx

不等式与方程综合二.docx

《不等式与方程综合二.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式与方程综合二.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

不等式与方程综合二

一、知识要点

1．一次方程组

解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”

2．不定方程

不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解或正整数解。

定理：

若整系数不定方程ax+by=c（a、b互质）有一组整数解为x0，y0，则此方程的全部整数解可表示为：

3.一元一次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。

它的标准形式：

ax+b＜0或ax+b＞0（a≠0）

解不等式的根据是不等式的同解原理。

4．不等式的基本性质和同解原理

1.不等式的基本性质

（1）互换性如果a＞b，那么b＜a

（2）传递性如果a＞b，b＞c，那么a＞c

（3）平移性如果a＞b，那么a+c＞b+c

（4）伸缩性如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc

这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘（或去除）不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘（或除）的数或式子大于零时，不等号方向不变（性质（5））；当所乘（或除）的数或式子小于零时，不等号方向要改变（性质（6））．

基本性质1：

不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

基本性质2：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

基本性质3：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

5．解一元一次不等式的步骤

（1）去分母（根据不等式性质2或3）；

（2）去括号（根据整式运算法则）；

（3）移项（根据不等式基本性质1）；

（4）合并同类项（根据整式的运算法则）；

（5）将x项系数化为1（根据不等式性质2或3）；

6．不等式组及其解集

几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。

7．解一元一次不等式组的方法和步骤：

（1）分别求出这个不等式组中各不等式的解集；

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分（这些不等式的解集在数轴上表示出来的各部分的重合部分），即求出这个不等式组的解集。

8．一元一次不等式组的基本类型

由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简，最终可归纳为四种基本类型：

设a＜b，则①

；②

；③

；④

。

利用数轴可以确定它们的解集，也可以用口诀帮助分析：

“同大（于）取大（数），同小（于）取小（数），小（于）大（数）大（于）小（数）取中间，大（于）大（数）小（于）小（数）是空集”。

9．带有绝对值的不等式有两种形式：

含有一个绝对值的不等式有两种形式：

（1）

，可以变形为不等式组

；注意：

若b＞0时才如此；若b≤0时，本不等式无解。

（2）

，可以变形为a＞b或a＜－b，条件是b≥0，这里的解集是“或者”的关系，两个不等式的解集都是

的解集中的一部分。

若b＜0时，a可以取全体有理数。

含绝对值的不等式的性质：

（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；

　　（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．

题型一：

一次方程组的解法

例1解方程

例2解关于x的方程

例3解方程组

（1）

（2）

例4当k取何值时，关于x的方程

3（x+1）=5-kx

分别有

（1）正数解；

（2）负数解；（3）不大于1的解．

例5已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．

例6.已知关于x，y的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。

你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？

题型二：

不等式

热身练习

1.不等式│x-2│>1的解集是（）

A．x>3或x<1B．x>3或x<-3C．1

2.如果不等式组

无解.那么m的取值范围是（）

A．m>8B．m≥8C．m<8D．m≤8

3..不等式组

的解集是＿＿＿.毛

4..不等式组

的整数解的个数是＿＿＿.　

5..不等式组

的最小整数解是__________.

6..若x=

.y=

.且x＞2＞y.则a的取值范围是________．

7..如果2m、m、1－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列.那么m的取值范围是＿＿＿.

8..某旅游团有48人到某宾馆住宿.若全安排住宾馆的底层.每间住4人.房间不够；每间住5人.有一个房间没有住满5人.则该宾馆底层有客房＿＿＿间.

9..已知关于x的不等式组

的解集是-1

10..把一篮苹果分组几个学生.若每人分4个.则剩下3个；若每人分6个.则最后一个学生最多得3个.求学生人数和苹果数？

设有x个学生.依题意可列不等式组为________．

11..若不等式组

无解.则m的取值范围是______．

12...若关于x的不等式组

的解集为x<2.则k的取值范围是_______．

13.解不等式组.并把解集在数轴上表示出来．

（1）

（2）

（3）－7≤

≤9.　　（4）

14.如果方程组

的解x、y满足x>0.y<0求a的取值范围．

典型例题

　例1.解下列不等式：

（1）||≤4；　　

（2）<0；　

总结

例2.小红用60元班费为班级买了甲乙两种笔.甲种每支3元,乙种2元一支.购买的甲种笔比乙种多,但比乙种的两倍少.就甲乙两种笔各买了多少支？

例3.我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。

按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。

根据下表提供的信息，解答以下问题：

脐橙品种

A

B

C

每辆汽车运载量（吨）

6

5

4

每吨脐橙获得

（百元）

12

16

10

（1）设装运A种脐橙的车辆数为

，装运B种脐橙的车辆数为

，用含

的式子表示

；

（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于6辆，，如果你是水果老板，请你写出运送方案；

（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？

并求出最大利润的值

例4.现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下：

占地面积（m

/垄）

产量（千克/垄）

利润（元/千克）

西红柿

30

160

1.1

草莓

15

50

1.6

（1）若设草莓共种植了

垄，通过计算说明共有几种种植方案？

分别是哪几种？

（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？

最大利润是多少？

例5设a、b、c、d是四个正数，且满足下列条件：

①d＞c②a+b=c+d③a+d＜b+c

试判断a、b、c、d的大小

例6解关于x的不等式：

k（x+3）＞x+4

例7关于x的不等式组

，有四个整数解，则a的取值范围是

例8.已知m、n为实数，若不等式（2m-n）x+3m-4n<0的解集为

，求不等式

（m-4n）x+2m-3n>0的解。

例9.已知

求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．

例10若－5≤2a－3b≤1，－2≤3a+b≤7

求

（1）a，b的范围

（2）a－7b的范围

例11.已知x，y，z为非负实数，且满足

x+y+z=30，3x+y-z=50．

求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

能力提高：

1.已知x+y+z=0，且x＞y＞z，则

的取值范围是

2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，-a），点B坐标为（b，c），a，b，c满足

3a−b+2c＝8

a−2b−c＝−4

（1）若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由；

（2）若点A到x轴的距离是点B到x轴距离的3倍，求点B的坐标；

（3）点D的坐标为（4，-2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，求点B的坐标．

3.为庆祝“六一”儿童节，幼儿园举行用火柴摆“金鱼”比赛，如图所示：

按照图中的规律，摆第n个“金鱼”需要用火柴的根数为

2+6n

4.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文，接受方由密文→明文（解密），已知约定的加密规律为：

明文x、y、z分别对应密文：

2x+3y，3x+4y，3z，例如，明文1，2，3→对应密文-8，11，9．若当接收方收到密文-12，17，27时，则解密得到地明文为（-2，0），（3，5），（3，-5）

5.如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（-5，-1），B（0，4），C（0，-6）．

（1）若将△ABC向右平移三个单位，再向上平移一个单位得△A′B′C′，请在坐标系中画出△A′B′C′，点A′、B′、C′的坐标分别为（-2，0），（3，5），（3，-5）

（2）求△ABC与△A′B′C′不重合的面积是

6.在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是（a，0）（b，0），a，b满足方程组

2a+b＝−5

3a−2b＝−11

c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB=

S△ABC？

若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若M是AC的中点，N是BC上一点，CN=2BN，连AN、BM相交于点D，求四边形CMDN的面积是（-2，0），（3，5），（3，-5）

7.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3台

5台

1800元

第二周

4台

10台

3100元

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在

（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？

若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

8.阅读下列材料：

解答“已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：

解∵x-y=2，∴x=y+2

又∵x＞1，∴y+2＞1．

∴y＞-1．

又∵y＜0，∴-1＜y＜0．…①

同理得：

1＜x＜2．…②

由①+②得-1+1＜y+x＜0+2

∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2

请按照上述方法，完成下列问题：

（1）已知x-y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是（-2，0），（3，5），（3，-5）

（2）已知y＞1，x＜-1，若x-y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．

9.已知三元一次方程组

x+y＝5

x+z＝−1

y+2z＝−3

（1）求该方程组的解；

（2）若该方程组的解使ax+2y+z＜0成立，求整数a的最大值．

10.已知方程组

x+y＝−7−m

x−y＝1+3m

的解满足x为非正数，y为负数．

（1）求m的取值范围；

（2）化简：

|m-3|-|m+2|；

（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为