浅谈中学几种常用证明不等式方法.docx

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浅谈中学几种常用证明不等式方法

浅谈中学几种常用证明不等式方法

成绩：

XXXXXX大学毕业论文题目：

浅谈中学几种常用证明不等式的方法（外文）：

OnthemethodmonlyusedinMiddleSchooltoproveinequality院（系）：

数学与计算机科学学院专业：

数学与应用数学学生姓名：

学号：

指导教师：

xx年3月20日目录1引言12放缩法证明不等式12.1放缩法12.2（改变分子分母）放缩法12.3拆补放缩法22.4编组放缩法32.5寻找“中介量”放缩法43反证明不等式43.1反证法定义43.2反证法步骤54．换元法证明不等式64.1利用对称性换元，化繁为简64.2三角换元法74.3和差换元法84.4分式换元法85．综合法证明不等式95.1综合法证明不等式的依据95.2用综合法证明不等式的应用95.3综合法与比拟法的内在106.分析法106.1分析法的定义106.2分析法证明不等式的方法与步骤116.3分析法证明不等式的应用117．构造法证明不等式137.1构造函数模型137.2构造数列模型148．数学归纳法证明不等式158.1分析综合法158.2放缩法168.3递推法169.判别式法证明不等式1710.导数法证明不等式1810.1利用函数的单调性证明不等式189.2利用极值（或最值）1911比拟法证明不等式2011.1差值比拟法2011.2商值比拟法2111.3比拟法的应用范围2112结束语：

2222浅谈中学常用几种证明不等式的方法摘要：

中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。

因而他是中学数学考试的难点。

不等式的证明的方法很多。

本文将列举出中学数学常用的几种方法：

放缩法、反、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比拟法。

关键词：

不等式证明方法1引言不等式，渗透在中学数学各个分支中。

而不等式的证明在不等式中占有极其重要的地位。

不等式的证明的方法是中学数学的重要知识，也成为了中学数学考试的热点问题。

本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法来和大家一起，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用，而且还能够培养分析和解决问题的能力。

2放缩法证明不等式2.1放缩法放缩法的定义：

在不等式的证明中，有时可把不等式中的某些项或因式换成数字较大或较小的数或式，以到达证明的目的，这种证明方法称为放缩法。

放缩法的形式：

欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得再利用传递性，到达欲证的目的。

2.2（改变分子分母）放缩法在不等式有分式时，长放大或缩小分式的分子或分母，从而到达“以小代大”或“以大代小”的目的。

例1：

求一切证明：

==2.3拆补放缩法在证有些不等式的时候，常将其中某些项拆开和或合并以完成证明。

例2：

求证：

证明：

2.4编组放缩法证明不等式有时把某项拆开，重新编组，利用根本不等式完成证明。

例3：

求证:

.证明：

左2.5寻找“中介量”放缩法当两式难以比拟大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明。

例4：

求证：

证明：

小结:

放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。

放缩必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻找。

3反证明不等式3.1反证法定义“证明某个命题时，先假设它的结论的否认成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和的真命题，经过推理，得出与事实（条件、公理、定义、定理、法那么、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否认不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法．3.2反证法步骤1、假设命题的结论不成立；2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：

提出假设——推出矛盾——肯定结论．例5：

：

都是小于1的正数；求证：

中至少有一个不大于。

分析：

采用反证法证明．其证明思路是否认结论从而导出与或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少有一个不大于”的否命题是“全都大于”。

证明：

假设都是小于1的正数又故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确说明：

反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，那么反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．例6：

假设，求证：

证明：

假设，那么，即。

因为，所以故又即所以故与假设不成立，原命题正确。

总结：

反证法是根据“正难那么反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。

反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。

用反证法证明不等式就是最好的应用4．换元法证明不等式4.1利用对称性换元，化繁为简例7:

设求证:

.分析:

把中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令那么原不等式等价于：

.证明:

令,那么,.时,有；当时,有（否那么中必有两个不为正值,不妨设,,那么,这与矛盾）,因此,,综上所述,把代入上式得:

4.2三角换元法三角换元法的根本思想是根据条件，引进新的变量---三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。

例8：

，求证分析：

由，令，那么证明：

令，说明:

换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有

（1）假设，可设，；

（2）假设，可设；（3）假设，可设，。

4.3和差换元法在题中有两个变量，可设，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式。

例9:

对任意实数，求证：

分析：

对于任意实数与，都有。

令，那么有。

证明：

设，下面只须证：

∵不等式右边—不等式左边=∴即说明：

利用“和差换元”可以简证难度较大的不等式.4.4分式换元法例10：

分析：

此题的证明方法很多，下面我们利用分式换元来进行证明证明：

设当且仅当说明：

不等式的证明中，我们知道证明不等式时，可以利用分式换元，使其分式结构变得简单，分母变为单项式，然后把逐项别离，便于利用均值不等式。

5．综合法证明不等式5.1综合法证明不等式的依据

（1）条件和不等式性质；

（2）根本不等式：

“＝”号）．5.2用综合法证明不等式的应用例11：

是不全等的正数，求证：

．分析：

观察题目，我们很容易想到利用性质．证明：

，①同理可得：

②③是不全等的正数，①，②,③至少有一个不等式不能取等号①+②+③5.3综合法与比拟法的内在由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比拟法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比拟法来证明；摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法。

6.分析法6.1分析法的定义从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

6.2分析法证明不等式的方法与步骤用分析证“假设A那么B”这个命题的格式是：

欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，……只需证命题Bn为真，只需证命题A为真，令命题A为真，故命题B为真。

6.3分析法证明不等式的应用例12：

假设，求证：

分析：

采用分析法证明．证明：

原不等式成立。

说明：

从这道题目我们不难看出“分析法”的证明格式，是用“”符号，不断用充分条件代替前面的不等式6.4综合法与分析法的综合应用条件和结论之间的关系比拟复杂,根据既定法那么和事实条件,由因导果,一直推究下去,有时会在中途迷失方向,使解题无法进行下去.在这种情况下,可以同时运用综合法与分析法的解题方法,执行.例13：

假设是不全相等的正数，求证。

分析：

利用对数的性质，所要证的不等式等价于，所以只要证，于是我们可以利用不等式的性质：

即可得证。

证明：

，，，且这三个不等式的等号不能同时成立（它们是3个不全等的正数）说明：

分析法和综合法是对立统一的两个方面．在这道题目中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决．分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推。

7．构造法证明不等式构造法作为一种数学思维方法，在解题过程中通过观察分析给出式和欲证式，充分挖掘题目的隐含信息，并进行联想与思考，恰当地构造出一个与题目相关的数学模型，将欲证的问题转化到我们所熟悉的情景之中，从而到达证题的目的，这是构造法证题的解题模式。

本文以证明不等式为例，介绍几种常见的构造法。

7.1构造函数模型我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题。

在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问题的结构特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题。

例14：

:

求证:

证明:

构造函数,此图象为一条直线.∵∴又例15:

都是正数,；求证证明:

在（0,1）上的值域为所以,.7.2构造数列模型对于某些自然数的不等式问题，与数列有着密切的，这时可构造有关数列模型，利用其单调性解决。

例16：

求证：

证明:

构造数列模型那么有，所以数列为递增数列。

又因为，故即原不等式得证。

总结：

欲证含有与自然数有关的和的不等式，可以构造函数模型，只需证明数列是单调递增，且。

另外，此题也可以用数学归纳法证明，但是构造数列模型证明简洁。

8．数学归纳法证明不等式说明数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。

主要有两个步骤一个结论：

（1）证明当n取（如=1或2等）时结论正确

（2）假设n=k（k）时结论正确，证明n=k+1时结论也正确由

（1）、

（2）得出结论正确。

因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的其实归纳步骤可以看作是一个的证明问题，归纳假设“P（k）成立”是问题的条件而“命题P（k+1）成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析用数学归纳法证明不等式常涉及的方法。

8.1分析综合法例17：

求证：

证明：

（1）当

（2）假设即有：

时：

因此，要证明当时，原不等式成立，只要证明成立即证明也就是证明即从而于是当时，原不等式也成立。

由

（1）、

（2）可知，对于任意的正整数，原不等式都成立。

8.2放缩法例18：

求证：

证明：

（1）当时，，不等式成立。

（2）假设当时所以当时，不等式成立由

（1）、

（2）可知，8.3递推法例19：

设，定义，求证：

对一切有证明：

（1）当，显然命题成立

（2）假设，命题成立，即当时，由递推公式，知同时，当时，命题也成立。

即由

（1）、

（2）可知，对一切正整数n，有说明：

证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比拟法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．9.判别式法证明不等式判别式法是根据的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。

二次函数假设判别式恒成立。

例20：

，求证：

证明：

令恒成立说明：

用判别式法证不等式关键在于构造二次函数，操作简单，使用方便。

10.导数法证明不等式证明有些不等式的题目，看似简单，但是我们无从下手，几种常用的方法都一一尝试，却没有任何作用。

这时我们不妨从已有的知识下手，构造一个函数，再借助导数来确定单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。

利用导数证明不等式的步骤：

构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等式关系——得出结论。

10.1利用函数的单调性证明不等式例20：

当时，证明不等式成立。

证明：

设内单调递减成立说明：

一般地：

证明，可以构造函数，如果，那么是减函数，同时假设，由减函数的定义可知，时，有，即证明。

例21：

求证：

，其中证明：

设，那么在单调递增，又故，成立。

说明：

一般地：

证明，可以构造函数如果，那么是减函数，同时假设，由减函数的定义可知，时，有，即证明。

9.2利用极值（或最值）例22：

对任意实数x,证明不等式总结：

利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也是考试的一个热点，其关键是构造适当的函数，判段区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性及其极值（或最值），从而证明不等式。

11比拟法证明不等式11.1差值比拟法差值比拟法：

欲证AB，只需证A-B0。

把不等式的两边相减，转化为不等式的差值与0的大小的问题。

差值比拟法的步骤：

“做差—变形—判断符号”，为了便于判断符号，我们往往把其差值转化为积的形式和完全平方的形式。

例23：

:

，都是正数，（并且≠）求证，分析：

要证，只需证明（作差）。

再对其差值做出变形：

（因式分解），再运用条件a,b∈R+，且a≠b，可把问题解决。

证明：

==又，都是正数（并且≠）此题是不等式的典型的题目：

其拆项也是有一定得技巧，需要一定的观察能力。

11.2商值比拟法商值比拟法：

“假设”。

商值比拟法步骤为：

①作商：

将左右两端作商；②变形：

化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。

例24：

，，求证。

分析：

发现做差变形后，很难比拟其符号的大小。

再看不等式的两边都是正数，可以利用商值法来与1进行比拟。

证明：

①，那么②，那么综上所述：

11.3比拟法的应用范围差值比拟法应用范围：

当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比拟法商值比拟法应用范围：

当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比拟法。

12结束语：

众所周知,在中学不等式的证明以其变形复杂、方法多样成为学习的难点。

本文通过阐述中学几种常用方法，以及相应的一些例题来培养大家对数学式的变形的能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

《机关公文常用词句集锦》一一1、常用排比：

新水平、新境界、新举措、新开展、新突破、新成绩、新成效、新方法、新成果、新形势、新要求、新期待、新关系、新体制、新机制、新知识、新本领、新进展、新实践、新风貌、新事物、新高度；重要性，紧迫性，自觉性、主动性、坚决性、民族性、时代性、实践性、针对性、全局性、前瞻性、战略性、积极性、创造性、性、复杂性、艰巨性、可讲性、煽动性、方案性、敏锐性、有效性；法制化、标准化、制度化、程序化、集约化、正常化、有序化、智能化、化、常态化、科学化、年轻化、知识化、专业化、系统性、时效性；热心、耐心、诚心、决心、红心、真心、公心、柔心、铁心、上心、用心、痛心、童心、好心、专心、坏心、爱心、良心、关心、核心、内心、外心、中心、忠心、衷心、甘心、攻心；意识、意识、大局意识、忧患意识、责任意识、法律意识、廉洁意识、学习意识、上进意识、管理意识；出发点、切入点、落脚点、着眼点、结合点、关键点、着重点、着力点、根本点、支撑点；活动力、控制力、影响力、创造力、凝聚力、战斗力；找准出发点、把握切入点、明确落脚点、找准落脚点、抓住切入点、把握着重点、找准切入点、把握着力点、抓好落脚点；必将激发巨大热情，凝聚无穷力量，催生丰硕成果，展现全新魅力。

审判工作有新水平、队伍建设有新境界、廉政建设有新举措、自身建设有新开展、管理有新突破；不动摇、不放弃、不改变、不妥协；认同、理论认同、感情认同；是必然、现实的选择、未来的方向。

多层次、多方面、多途径；要健全制度，丰富形式，拓宽渠道，依法实行选举、决策、管理、监督2、常用短语：

立足当前，着眼长远，自觉按规律办事抓住机遇，应对挑战:

量力而行，尽力而为有重点，分步骤，全面推进，统筹兼顾，综合治理，融入全过程，贯穿各方面，切实抓好，减轻，扎实推进，加快开展，持续增收，积极稳妥，落实，从严控制严格执行，坚决制止，明确职责，高举旗帜，坚决不移，牢牢把握，积极争取，深入开展，注重强化，标准，改良，积极开展，努力建设，依法实行，良性互动，优势互补，率先开展，互惠互利，做深、做细、做实、全面分析，全面贯彻，持续推进，全面落实、实施，逐步扭转，根本形成，普遍增加，根本建立，更加完备（完善），明显提高（好转），进一步形成，不断加强（增效,深化），大幅提高，显着改善（增强），日趋完善，比拟充分。

3、常用动词：

推进，推动，健全，统领，协调，统筹，转变，提高，实现，适应，，创新，扩大，加强，促进，稳固，保障，方向，取决于，完善，加快，振兴，崛起，分工，扶持，改善，调整，优化，解决，宣传，教育，发挥，支持，带动，帮助，深化，标准，强化，统筹，指导，效劳，健全，确保，维护，优先，贯彻，实施，深化，保证，鼓励，引导，坚持，深化，强化，监督，管理，开展，规划，整合，理顺，推行，纠正，严格，满足，，遏制，整治，保护，健全，丰富，夯实，树立，尊重，制约，适应，发扬，拓宽，拓展，标准，改良，形成，逐步，实现，标准，坚持，调节，取缔，调控，把握，弘扬，借鉴，倡导，培育，打牢，武装，凝聚，激发，说服，感召，尊重，包容，树立，培育，发扬，提倡，营造，促进，唱响，主张，弘扬，通达，引导，疏导，着眼，吸引，塑造，搞好，履行，倾斜，惠及，简化，衔接，调处，关切，聚集，分析，排查，协商，化解，发动，联动，激发，增进，汲取，检验，保护，鼓励，完善，宽容，增强，融洽，凝聚，聚集，筑牢，考验，进取，凝聚，设置，吸纳，造就4、常用名词关系，力度，速度，反映，诉求，形势，任务，本质属性，重要保证，总体布局，战略任务，内在要求，重要进展，决策部署，结合点，突出地位，最大限度，指导思想，科学性，协调性，体制机制，根本方略，理念意识，根本路线，根本纲领，秩序，根本经验，出发点，落脚点，要务，核心，主体，积极因素，水平，方针，结构，增量，比重，规模，标准，方法，主体，作用，特色，差距，渠道，方式，主导，纽带，主体，载体，制度，需求，能力，负担，体系，重点，资源，职能，倾向，秩序，途径，活力，工程，工程，政策，工程，竞争力，环境，素质，权利，利益，权威，气氛，职能，作用，事权，需要，能力，根底，比重，长效机制，举措，要素，精神，根本，地位，成果，核心，精神，力量，纽带，思想，理想，活力，信念，信心，风气，意识，主旋律，正气，热点，情绪，内涵，管理，格局，准那么，网络，稳定，平安，支撑，局面，环境，关键，保证，本领，突出，位置，敏锐性，针对性，有效性，覆盖面，特点，规律，阵地，政策，措施，制度保障，水平，紧迫，任务，合力。

5、其它：

以求真务实的态度，积极推进综合调研制度化。

以为决策效劳为目的，积极推进xx正常化。

以表达水平为责任，积极推进xx工作程序化。

以畅通平安为保障，积极推进xx工作智能化。

以立此存照为借鉴，积极推进xx工作标准化。

以解决问题为重点，积极推进xx工作有序化。

以效劳机关为宗旨，积极推进xx效劳化以统筹兼顾为重点，积极推进xx工作常态化。

以求真务实的态度，积极参与综合调研。

以为决策效劳为目的，把好信息督查关。

以表达xx水平为责任，进一步标准工作。

以畅通平安为保障，全力指导机要保密工作。

以立此存照为借鉴，协调推进档案史志工作。

以平安稳定为根底，积极稳妥做好工作。

以效劳机关为宗旨，全面保障后勤效劳。

以整体推进为出发点，协调做好xx工作。

以周到效劳为前提，xx工作迅速到位。

以提高效劳水平为目标，开始推行xx。

一.求真务实，积极推进xx工作制度化二.建立体系，积极推进xx工作正常化。

三.标准办文，积极推进xx工作程序化。

四.各司其职，积极推进xx工作有序化。

五.注重质量，积极推进xx效劳标准化。

六.统筹兼顾，积极推进xx工作正常化。

一是求真务实，抓好综合调研。

二是提高质量，做好信息工作。

三是紧跟进度，抓好督查工作。

四是高效标准，抓好文秘工作。

五是高度负责，做好保密工作。

六是协调推进，做好档案工作。

七是积极稳妥，做好工作。

八是严格要求，做好效劳工作。

一、创思路，订制度，不断提高效劳水平二、抓业务，重实效，开创工作新局面

（一）着眼全局，充分发挥参谋助手作用

（二）明确分工，充分搞好统筹协调工作三、重协调，强进度，信息化工作有新成果四、抓学习，重廉洁，自身素质取得新提高一、注重学习，自身素质取得新提高二、围绕中心，不断开创工作新局面1.着眼全局，做好辅政工作。

2.高效标准，做好文秘工作。

3.紧跟进度，做好督查工作。

4.提高质量，做好信息工作。

5.周密细致，做好协调工作。

6.协调推进，做好档案工作。

一是建章立制，积极推进xx管理制度化。

二是标准办文，积极推进xx工作程序化。

三是建立体系，积极推进xx督查正常化。

四是注重质量，积极推进xx工作标准化。

五是各司其职，积极推进xx工作有序化。

首先要树立正确的群众利益观，坚持把实现好、维护好、开展好最广阔人民群众的根本利益作为促进社会和谐的出发点，在全社会形成和谐社会人人共享的生动局面。

其次，是要树立正确的维护稳定观，坚持把确保稳定作为人民促进社会和谐的生命线。

第三，是要树立正确的纠纷解决观，坚持把调判结合作为有效化解不和谐因素、增加和谐因素的有效途径。

第四，是要树立正确的司法和谐观，最大限度地实现法律效果与社会效果的高度统一。

机关公文常用词聚集锦动词一字部：

抓，搞，上，下，出，想，谋动词二字部：

分析，研究，了解，掌握，发现，提出，推进，推动，制定，，完善，建立，健全，加强，强化，增强，促进，加深，深化，扩大，落实，细化，突出，建设，营造，开展，发挥，发扬，创新，转变，开展，统一，提高，提升，保持，优化，召开，，贯彻，执行，树立，引导，标准，整顿，效劳，协调，沟通，配合，合作，支持，加大，开拓，拓展，稳固，保障，保证，形成，指导名词：

体系，机制，体制，系统，规划，战略，方针，政策，措施，要点，重点，焦点，难点，热点，亮点，矛盾，问题，建设，思想，认识，作风，整治，环境，秩序，作用，地方，基层，传统，运行，监测，监控，调控，监督，工程，方案，行动，创新，增长，方式，模式，转变，质量，水平，效益，会议，文件，精神，意识，效劳，协调，沟通，力度，领域，空间，成绩，成就，进展，实效，根底，前提，关键，保障，动力，条件，环节，方法，思路，设想，途径，道路，主意，方法，力气，功夫，台阶，形势，情况，意见，建议，网络，指导，指南，目录，方案形容词一字部：

多，宽，高，大，好，快，省，新形容词二字部：

持续，快速，协调，健康，公平，公正，公开，透明，富强，，文明，和谐，祥和，优良，良好，合理，稳定，平衡，均衡，稳健，平稳，统一，现代副词一字部：

狠