（2），所以函数f（x）是增函数．（ ）
（2）增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x1、x2”可以改为“存在两个自变量的值x1、x2”．（ ）
（3）若函数f（x）在区间（1,2]和（2,3）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1,3）上为增函数．（ ）
【解析】
（1）×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．
（2）×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”．
（3）×.反例：
f（x）＝
【答案】
（1）×
（2）× （3）×
2．函数f（x）＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
【解析】 因为f（x）＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f（x）的单调减区间是（－∞，1）．
【答案】 （－∞，1）
[小组合作型]
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f（x）＝－
；
（2）f（x）＝
（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.
【精彩点拨】
（1）根据反比例函数的单调性求解；
（2）根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；（3）做出函数的图象求其单调区间．
【自主解答】
（1）函数f（x）＝－
的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．
（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），（1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在（1，＋∞）上是增函数．
（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f（x）的单调区间为（－∞，－1]，[0,1），（－1,0），[1，＋∞）．
f（x）在（－∞，－1]，[0,1）上是增函数，在（－1,0），[1，＋∞）上是减函数．
1．求函数单调区间的方法
（1）利用基本初等函数的单调性，如本例
（1）和
（2），其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；
（2）利用函数的图象，如本例（3）．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例（3）．
[再练一题]
1．函数f（x）＝－x2＋2ax＋3（a∈R）的单调减区间为________.
【导学号：
60210039】
【解析】 因为函数f（x）是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f（x）的单调减区间为（a，＋∞）．
【答案】 （a，＋∞）
函数单调性的判定与证明
（1）下列四个函数中在（0，＋∞）上为增函数的是（ ）
A．f（x）＝3－xB．f（x）＝（x－1）2
C．f（x）＝
D．f（x）＝x2＋2x
（2）用定义法证明函数f（x）＝
在区间（0,1）上是减函数．
【精彩点拨】
（1）根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．
（2）利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．
【自主解答】
（1）A.f（x）＝3－x在（0，＋∞）上为减函数．B.f（x）＝（x－1）2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为（1，＋∞），所以它在（0，＋∞）上不为单调函数．C.f（x）＝
在（0，＋∞）上为减函数．D.f（x）＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是（－1，＋∞），所以它在（0，＋∞）上为增函数．
【答案】 D
（2）设x1，x2∈（0,1）且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝
－
＝
＝
，
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵x1，x2∈（0,1），∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以，函数f（x）＝
在区间（0,1）上是减函数．
判断函数的单调性除用定义判断外，还可用图象法、直接法等．
1．图象法：
先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性．
2．直接法：
就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们的单调性．
[再练一题]
2．已知函数f（x）＝
－
，用单调性定义证明f（x）在（0，＋∞）上是单调递增函数．
【证明】 设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
∵f（x2）－f（x1）＝
－
＝
－
＝
>0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，＋∞）上是单调递增函数．
[探究共研型]
函数单调性的应用
探究1 根据函数单调性的定义，若函数f（x）是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值是越大还是越小？
如果函数f（x）是减函数呢？
【提示】 若函数f（x）是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值就越大；若函数f（x）是其定义域上的减函数，那么当自变量x越大，函数值就越小．
探究2 若函数f（x）＝ax2－4ax＋3，显然其图象的对称轴为x＝2，那么f（4）>f（3）一定成立吗？
【提示】 不一定．如果函数f（x）是图象开口向上的二次函数，则f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，则f（4）>f（3）；如果函数f（x）是图象开口向下的二次函数，则f（x）在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，则f（4）探究3 若函数f（x）＝x2－2ax＋3在（2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是什么？
【提示】 因为函数f（x）＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为（a，＋∞），由题意可得（2，＋∞）⊆（a，＋∞），所以a≤2.
（1）f（x）为（－∞，＋∞）上的减函数，a∈R，则（ ）
A．f（a）＜f（2a）B．f（a2）＜f（a）
C．f（a2＋1）＜f（a）D．f（a2＋a）＜f（a）
（2）如果函数f（x）＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞）上是增函数，则b的取值范围为（ ）
A．b＝3B．b≥3
C．b≤3D．b≠3
【精彩点拨】
（1）先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．
（2）分析函数f（x）＝x2－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围．
【自主解答】
（1）因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，没法比较f（a）与f（2a）的大小，故A错；而a2－a＝a（a－1）与0的大小关系也不定，也无法比较f（a2）与f（a）的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝
2＋
＞0，所以a2＋1＞a.又f（x）为（－∞，＋∞）上的减函数，故有f（a2＋1）＜f（a），故C对；易知D错．故选C.
（2）函数f（x）＝x2－2bx＋2的图象是开口朝上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f（x）＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞）上是增函数，则b≤3，故选C.
【答案】
（1）C
（2）C
1．已知函数的单调性比较函数值的大小，首先要确定自变量的大小，并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内，然后利用函数的单调性确定函数值的大小．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
（2）依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．
（3）要注意：
“函数f（x）的增区间是（a，b）”与“函数f（x）在区间（a，b）上单调递增”是不同的，后者意味着区间（a，b）是函数f（x）的增区间的一个子集．
[再练一题]
3．已知函数f（x）＝
在（－2，＋∞）内单调递减，则实数a的取值范围________．
【解析】 设x2>x1>－2，f（x2）－f（x1）＝
－
＝
，
因为f（x）在（－2，＋∞）内单调递减，所以
<0，因为（x2＋2）（x1＋2）>0，x2－x1>0，所以2a－1<0，所以a<
.
【答案】
1．如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（ ）
A.
>0
B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0
C．若x1D.
>0
【解析】 因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1【答案】 C
2．函数f（x）＝－x2＋2x＋3的单调减区间是（ ）
A．（－∞，1） B．（1，＋∞）
C．（－∞，2）D．（2，＋∞）
【解析】 易知函数f（x）＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是（1，＋∞）．
【答案】 B
3．若x1，x2∈（－∞，0），且x1，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（ ）
A．f（x1）>f（x2）B．f（x1）C．f（x1）＝f（x2）D．以上都有可能
【解析】 ∵函数f（x）＝－
在（－∞，0）上是增函数，又∵x1，x2∈（－∞，0），且x1【答案】 B
4．已知f（x）是定义在R上的增函数，且f（x－2）【导学号：
97512015】
【解析】 ∵f（x）是定义在R上的增函数，
又∵f（x－2）∴x－2<1－x，∴x<
，
即x的取值范围是
.
【答案】
5．证明函数f（x）＝x＋
在（－1,0）上是减函数．
【证明】 设－1＜x1＜x2＜0，则有f（x1）－f（x2）＝
－
＝（x1－x2）＋
＝（x1－x2）·
，
由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，
则f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数在（－1,0）上为减函数．
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