符号
（－∞，＋∞）
[a，＋∞）
（a，＋∞）
（－∞，b]
（－∞，b）
生活中的变量关系及判断
下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？
其中哪些是函数关系？
（1）将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；
（2）做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；
（3）商品的销售额与广告费之间的关系；
（4）家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
（5）在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
【思路探究】 两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．
【自主解答】
（1）温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；
（2）科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离（h）与时间（t）具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；
（3）商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；
（4）家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；
（5）在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程（因变量）随时间（自变量）的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．
综上可知，
（1）
（2）（5）中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；（3）中变量间存在依赖关系，不是函数关系；（4）中两个变量间不存在依赖关系．
1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．
2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．
（1）下列说法不正确的是（ ）
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
（2）张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则（ ）
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数D．x是y的函数
【解析】
（1）根据依赖关系与函数关系的区别可知A、B正确．若变量m是变量n的函数．因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．
（2）虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．
【答案】
（1）C
（2）A
函数概念的理解
下列对应关系是否为A到B的函数．
（1）A＝R，B＝{x|x＞0}，f：
x→y＝|x|；
（2）A＝Z，B＝Z，f：
x→y＝x2；
（3）A＝R，B＝Z，f：
x→y＝.
【思路探究】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y值与之对应．
【自主解答】
（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
（2）对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：
x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
（3）A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝＋是函数
B．A＝N，B＝Z，f：
x→y＝±，则f是从集合A到集合B的一个函数
C．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，f：
x→y＝x2，则f是从A到B的一个函数
D．y2＝x是函数
【解析】 对于A，由于，则无解，所以f（x）不是函数．
对于B，对集合A中的元素4，在B中有2个元素与之对应，不是函数．
对于D，当x＝4时，y＝±2两个值与之对应，不满足函数定义．
对于C，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念．
【答案】 C
函数的定义域
求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝2x＋3；
（2）f（x）＝·＋2；
（3）y＝.
【思路探究】 对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．
【自主解答】
（1）函数f（x）＝2x＋3的定义域为R.
（2）要使函数有意义，需满足
解得1≤x≤4.所以函数f（x）＝·＋2的定义域为{x|1≤x≤4}．
（3）要使函数有意义，需满足1＋x≠0，解得x≠－1.
所以函数y＝的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）．
1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：
（1）分式中，分母不为零；
（2）偶次根式中，被开方数非负；
（3）对于y＝x0要求x≠0；
（4）由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．
2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
求下列函数的定义域
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝＋.
【解】
（1）当x－2≠0，即x≠2时，有意义，
∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．
（2）当3x＋2≥0，即x≥－时，有意义，
∴函数f（x）＝的定义域是[－，＋∞）．
（3）由题意解得
∴这个函数的定义域是{x|x≥－1}∩{x|x≠2}＝[－1,2）∪（2，＋∞）.
求定义域时盲目化简函数解析式致误
求函数f（x）＝－的定义域．
【错解】 f（x）＝－＝x＋1－.
要使函数有意义，需满足．
1－x≥0，即x≤1.
故f（x）的定义域为（－∞，1]．
【错因分析】 本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化．
【防范措施】 讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．
【正解】 要使函数f（x）有意义，需满足：
解得x≤1且x≠－1.
所以函数的定义域为：
（－∞，－1）∪（－1,1]．
1．函数符号“y＝f（x）”是数学中抽象符号之一，“y＝f（x）”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f（x）也不一定是解析式，还可以是图表或图像．
2．函数的三要素包括：
定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到N的函数关系的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 由函数的定义，M中任意一个x，N中都有唯一y对应，故
（1）
（2）（4）正确．
【答案】 C
2．下列函数完全相同的是（ ）
A．f（x）＝|x|，g（x）＝（）2
B．f（x）＝|x|，g（x）＝
C．f（x）＝|x|，g（x）＝
D．f（x）＝，g（x）＝x＋3.
【解析】 A、C、D的定义域均不同．
【答案】 B
3．（2012·四川高考）函数f（x）＝的定义域是________．（用区间表示）
【解析】 由题意，需1－2x>0，解得x<.
故f（x）的定义域为（－∞，）．
【答案】 （－∞，）
4．已知函数f（x）＝－，
（1）求函数f（x）的定义域；（用区间表示）
（2）求f（－1），f（12）的值．
【解】
（1）根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f（x）的定义域为[－4,1）∪（1，＋∞）．
（2）f（－1）＝－＝－3－.
f（12）＝－＝－4＝－.
一、选择题
1．已知f（x）＝，则f
（2）＝（ ）
A．1 B. C. D.
【解析】 f
（2）＝＝.
【答案】 C
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．y＝x2和y＝（x＋1）2
D．f（x）＝和g（x）＝
【解析】 A中y＝x－1定义域为R，而y＝定义域为{x|x≠1}；
B中函数y＝x0定义域{x|x≠0}，而y＝1定义域为R；
C中两函数的解析式不同；
D中f（x）与g（x）定义域都为（0，＋∞），化简后f（x）＝1，g（x）＝1，所以是同一个函数．
【答案】 D
3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是（ ）
图2－2－1
【解析】 水面的高度h随时间t的增加而增加，而且增加的速度越来越快．
【答案】 B
4．函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．[1,2）∪（2，＋∞）B．（1，＋∞）
C．[1,2]D．[1，＋∞）
【解析】 要使函数有意义，需
解得x≥1且x≠2，
所以函数的定义域是{x|x≥1且x≠2}．
【答案】 A
5．函数f（x）＝（x∈R）的值域是（ ）
A．（0,1）B．（0,1]C．[0,1）D．[0,1]
【解析】 由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，
即0【答案】 B
二、填空题
6．集合{x|－1≤x<0或1【解析】 结合区间的定义知，
用区间表示为[－1,0）∪（1,2]．
【答案】 [－1,0）∪（1,2]
7．函数y＝的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，自变量x须满足
解得：
x≥1且x≠2.
∴函数的定义域为[1,2）∪（2，＋∞）．
【答案】 [1,2）∪（2，＋∞）
8．设函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a＝________.
【解析】 由f（a）＝2，得＝2，解得a＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知函数f（x）＝＋，
求：
（1）函数f（x）的定义域；
（2）f（4）的值．
【解】
（1）由得x>0，所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．
（2）f（4）＝＋＝2＋＝.
10．求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝.
【解】
（1）要使y＝有意义，则必须解得x≤0且x≠－，
故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－}．
（2）要使y＝有意义，
则必须3x－2>0，即x>，
故所求函数的定义域为{x|x>}．
11．已知f（x）＝，x∈R，
（1）计算f（a）＋f（）的值；
（2）计算f
（1）＋f
（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）的值．
【解】
（1）由于f（a）＝，f（）＝，
所以f（a）＋f（）＝1.
（2）法一 因为f
（1）＝＝，f
（2）＝＝，f（）＝＝，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，
所以f
（1）＋f
（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）＝＋＋＋＋＋＋＝.
法二 由
（1）知，f（a）＋f（）＝1，则f
（2）＋f（）＝f（3）＋f（）＝f（4）＋f（）＝1，即[f
（2）＋f（）]＋[f（3）＋f（）]＋[f（4）＋f（）]＝3，
而f
（1）＝，所以f
（1）＋f
（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）＝.
（教师用书独具）
求下列函数的值域：
（1）y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}；
（2）y＝1－x2；
（3）y＝1＋（x>0）．
【思路探究】 求函数的值域就是求函数值的取值集合．
【自主解答】
（1）x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝7；x＝4时，y＝9.
所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．
（2）因为1－x2≤1，
所以y＝1－x2的值域为（－∞，1]．
（3）∵x＋1>1，∴0<<1，
∴1<1＋<2，∴y＝1＋的值域为（1,2）．
求函数值域的常用方法
1．观察法：
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
2．配方法：
是求“二次函数”类值域的基本方法．
3．分离常数法：
分子、分母是一次函数的有理式函数，即形如y＝（c≠0）的函数可用分离常数法，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．
4．换元法：
运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法．
（1）函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是（ ）
A．[1,6] B．[－3,1]
C．[－3,6]D．[－3，＋∞）
【解析】 函数y＝x2－4x＋1是二次函数形式，配方得y＝（x－2）2－3，画出函数y＝（x－2）2－3，x∈[2,5]的图像（如图），由图像可知，函数的值域为{y|－3≤y≤6}，用区间可表示为[－3,6]．
【答案】 C
（2）函数y＝的值域为________．
【解析】 ∵y＝＝＝2－，
又∵≠0，∴y≠2.
∴函数y＝的值域为{y|y≠2}．
【答案】 {y|y≠2}
知识拓展
函数值域的求法
函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．
求函数值域的常用方法有：
（1）观察法：
通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y＝的值域时，由x2≥0及4－x2≥0知∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．
（2）数形结合法：
利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．
如求函数y＝的值域时，若令u＝x2＋2，则y＝（u≥2），可借助反比例函数的图像，易得0（3）配方法：
若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y＝x－2＋3的值域，因为y＝x－2＋3＝（－1）2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞）．
（4）换元法：
对于形如y＝ax＋b±（a，b，c，d∈R，ac≠0）的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．
如求函数y＝x－2＋3的值域，我们可以令＝t（t≥0），得y＝t2－2t＋3，即y＝（t－1）2＋2（t≥0），结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞）．
（5）判别式法：
把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y＝（a1，a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解．
（6）分离常数法：
对于形如y＝的函数，可将其变形为y＝k＋的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．
例如：
求函数y＝的值域．
由于y＝＝＝－＋，因为≠0，所以y≠－.
所以函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠－}．
2．2 函数的表示法
（教师用书独具）
●三维目标
1．知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法．
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数．
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法
学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情感、态度与价值观
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法
●重点难点
重点：
函数的三种表示方法，分段函数的概念．
难点：
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．
本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．
（教师用书独具）
●教学建议
教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：
解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．
●教学流程
创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法⇒研究新知，明确三种表示方法的优缺点⇒完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法⇒通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式
⇒学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样⇒完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.
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