等差数列学生版.docx
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等差数列学生版
等差数列
导引：
若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:
等差数列:
3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:
通项公式:
第几项=首项+（项数-1）×公差
项数公式:
项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式:
总和=（首项+末项）×项数÷2
在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题1有一个数列：
4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项
练习：
1、有一个数列:
2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?
。
2、有一个数列:
5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?
3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?
例题2有一等差数列：
2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？
练习：
1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?
例题3计算2+4+6+8+…+1990的和。
练习：
1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
2、计算5+10+15+20+⋯+190+195+200的和。
3、计算100+99+98+…+61+60的和
例题4计算（1+3+5+…+l99l）-（2+4+6+…+1990）
练习：
1、计算（1+3+5+7+…+2003）-（2+4+6+8+…+2002）
2、计算（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）
3、计算（2OO1+1999+1997+1995）-（2OOO+1998+1996+1994）。
例题5已知一列数：
2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
练习：
1、有一列数是这样排列的:
3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
2、有一列数是这样排列的:
2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。
3、在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?
例题6小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？
练习：
1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
2、李师傅做一批零件，第一天做了25个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？
例题7建筑工地上堆着一些钢管（如图所示）,求这堆钢管一共有多少根。
练习：
1、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？
2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
3、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?
例题8有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
练习：
1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
3、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?
例题9四
（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
练习：
1、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
2、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？
3、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。
如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？
作业
（一）
1.把一堆苹果分给8个朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的话,这堆苹果至少应该有几个?
2.图中是一个堆放铅笔的
形架,如果最上面一层放60支铅笔.问一共有多少支铅笔?
3.全部两位数的和是多少?
4.下面的算式是按一定规律排列的,那么第100个算式的得数是多少?
4+3,5+6,6+9,7+12,…
5.若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果共有304人,最外圈有几人?
6.在1~100这一百个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?
7.在2949,2950,2951,…2997,2998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?
8.求一切除以4后余1的两位数的和?
9.一个剧场设置了20排座位,第一排有38个座位,往后每一排都比前一排多2个座位.这个剧场一共设置了多少个座位?
10.小明和小刚赛跑,限定时间为10秒,谁跑的距离长谁胜.小刚第一秒跑了1米,以后每秒都比前面一秒多跑0.1米;小明从始至终每秒都跑1.5米.问两人谁能取胜?
11.若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没有装棋子.然后他外出了,小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内,再把盒子重新排列了一下.小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子.问共有多少个盒子?
12.小刚计算从1开始若干个连续自然数的和,结果误把1当成10来算,得错误结果恰为100.你能帮助小刚纠正错误吗?
小刚算的是哪些自然数的和?
13.有10只盒子,44只乒乓球,能不能把44只乒乓球放到盒子中去,使各盒子里的乒乓球数不相等?
14.一个正三角形
每边长1米,在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点,然后从这些点出发作两条直线,分别和其他两边平行（如图）.这些平行线相截在三角形
中得到许多边长为2厘米的正三角形.求边长为2厘米的正三角形的个数.
作业
（二）
1.求193+187+181+…+103的值.
2.某市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2人;第三名并列3人;……;第十五名并列15人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?
3.全部三位数的和是多少?
4.在1949,1950,1951,…1997,1998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?
5.某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个剧院一共有多少个座位?
6.小明从一月一日开始写大字,第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写589个大字,小明每天比前一天多写几个大字?
7.九个连续偶数的和比其中最小的数多232,这九个数中最大的数是多少?
8.39个连续奇数的和是1989,其中最大的一个奇数是多少?
9.在1~200这二百个数中能被9整除的数的和是多少?
10.在1~100这一百个自然数中所有不能被9整除的奇数的和是多少?
11.若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果最内圈有32人,共有多少?
12.有一列数:
1,1993,1992,1,1991,1990,1,…,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,求从第一个起到1993个数这1993个数之和.
13.学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场,一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?
14.跳棋棋盘上一共有多少个棋孔?
拓展：
1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
2
8
14
20
26
32
38
44
50
56
62
3
9
15
21
27
33
39
45
51
57
63
4
10
16
22
28
34
40
46
52
58
64
5
11
17
23
29
35
41
47
53
59
65
图1-1
2、计算：
1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
3、计算：
（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。
4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6
计算：
15×15+16×16+……+21×21。
5、计算：
20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。
6、计算：
3333×5555+6×4444×2222。
7、计算：
19931993×1993-19931992×1992-19931992。
8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?
9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。
已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？
10、求和：
l×2+2×3+3×4+……+9×10。
11、计算：
1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。
12、在两个数之间写上一个▽，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：
13▽5=3，6▽2=0．试计算：
（2000▽49）▽9．
13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。
所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：
羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。
以上运算的意思是：
羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：
羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。
这个运算的意思是：
羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。
混合运算的法则是从左到右，括号内先算，运算结果或是羊，或是狼。
求下式的结果：
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。
14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）。
问：
这100个乘积之和为多少?
15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？
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