中考数学热身训练 相似三角形解析版.docx

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中考数学热身训练相似三角形解析版

相似三角形

一、选择题

1．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：

（1）

；

（2）

；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（　　）

A．1B．2C．3D．4

3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，

，DE=4cm，则BC的长为（　　）

A．8cmB．12cmC．11cmD．10cm

二、填空题

5．相似三角形的判定方法

（1）若DE∥BC（A型（图1）和X型（图2））则　　．

（2）射影定理：

若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）图3则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=　　，CD2=　　，BC2=　　．

10．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：

2，则对应边上的高的比为　　，周长之比为　　，面积之比为　　．

11．若两个相似三角形的周长的比为4：

5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为　　．

12．如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为　　．

13．在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D．BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是　　和　　；并写出它的面积比　　．

三、解答题

14．在△ABC（图1）和△DEF（图2）中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．

15．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．

16．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映的银幕规格为2m×2m，若影机的光源距胶片20cm时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个银幕？

17．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：

△ABF∽△EAD．

2014年中考数学课时热身训练30：

相似三角形

参考答案与试题解析

一、选择题

1．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】首先证明△AED∽△ACB，再根据相似三角形的性质：

对应边成比例可得答案．

【解答】解：

∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，

∴△AED∽△ACB，

∴

=

．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质．

2．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：

（1）

；

（2）

；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（　　）

A．1B．2C．3D．4

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据相似三角形的判定定理：

三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断△ABC∽△A′B′C′的有：

（1）

（2），

（2）（4），（3）（4），继而求得答案．

【解答】解：

能判断△ABC∽△A′B′C′的有：

（1）

（2），

（2）（4），（3）（4），

∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．

故选C．

【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题比较简单，注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理中的夹角．

3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，

，DE=4cm，则BC的长为（　　）

A．8cmB．12cmC．11cmD．10cm

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】根据已知DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用

，可求AD：

AB=1：

3=DE：

BC，再求BC的长．

【解答】解：

若DE∥BC，

，

∴△ADE∽△ABC，

∵

，

则AD：

AB=1：

3=DE：

BC，

DE=4cm，

所以BC=12．

故选：

B．

【点评】本题考查相似三角形的性质，本题的关键是理解已知条件的比不是相似比，由此从给出的已知条件中求出线段的长．

二、填空题

5．相似三角形的判定方法

（1）若DE∥BC（A型（图1）和X型（图2））则　△ADE∽△ABC　．

（2）射影定理：

若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）图3则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=　AB•AD　，CD2=　AD•BD　，BC2=　AB•BD　．

【考点】相似三角形的判定与性质；射影定理．

【分析】

（1）根据相似三角形的判定定理填空即可；

（2）由Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．

【解答】解：

（1）∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

故答案为：

△ADE∽△ABC；

（2）∵Rt△ABC∽Rt△ACD，

∴AB：

AC=AC：

AD，

∴AC2=AB•AD，

同理：

CD2=AD•BD，BC2=AB•BD，

故答案为：

AB•AD；AD•BD；AB•BD．

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，比较简单，都是一些基础知识，要求学生熟练掌握．

10．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：

2，则对应边上的高的比为　3：

2　，周长之比为　3：

2　，面积之比为　9：

4　．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比，对应高的比、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答．

【解答】解：

∵两个相似三角形对应边上中线的比等于3：

2，

∴它们的相似比为3：

2，

∴对应边上的高的比为3：

2，周长之比为3：

2，

面积之比为9：

4．

故答案为3：

2；3：

2；9：

4．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键，要注意先求出两三角形的相似比．

11．若两个相似三角形的周长的比为4：

5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为　20，25　．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据比例设两三角形的周长分别为4k、5k，然后列式求出k值，再解答即可．

【解答】解：

∵两个相似三角形的周长的比为4：

5，

∴设两三角形的周长分别为4k、5k，

由题意得，4k+5k=45，

解得k=5，

∴4k=4×5=20，

5k=5×5=25，

即两个三角形的周长分别为20，25．

故答案为：

20，25．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，利用“设k法”求解更加简便．

12．如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为　30°　．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】相似三角形的对应角相等．

【解答】解：

∵△ABC∽△DEF，∴∠D=∠A=30°

故应填30°．

【点评】要掌握相似三角形的性质．

13．在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D．BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是　△BCD　和　△CAD　；并写出它的面积比　9：

16　．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【专题】开放型．

【分析】因为直角三角形斜边上的高，把直角三角形分成的两个三角形与原三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

【解答】解：

∵∠C=90°，CD⊥AB

∴△CDB∽△ADC

∴BC：

AC=3：

4

∴面积比为9：

16．

（答案不唯一，也可以填：

①△CDB∽△ACB，面积比为9：

25；②△ACD∽△ABC，面积比为16：

25．）

【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：

相似三角形的面积比等于相似比的平方；找准相似三角形的对应边是解题的关键．

三、解答题

14．在△ABC（图1）和△DEF（图2）中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据已知利用相似三角形的判定方法即可得到所缺的条件．

【解答】解：

∵∠A=∠D，

∴当△ABC∽△DEF时，

∴AB：

DE=AC：

DF，

∵AB=4，AC=3，DE=1，

∴DF=

；

当△ABC∽△DFE时，

则：

AB：

DF=AC：

DE，

∴4：

DF=3：

1，

∴DF=

，

∴当DF等于

或

时，这两个三角形相似．

【点评】此题考查了相似三角形的判定的应用，注意：

相似三角形的判定定理有：

①如果两个三角形的三边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

15．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．

【考点】相似三角形的应用．

【专题】应用题．

【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．

【解答】解：

设正方形的边长为xmm，

则AI=AD﹣x=80﹣x，

∵EFHG是正方形，

∴EF∥GH，

∴△AEF∽△ABC，

∴

=

，

即

=

，

解得x=48mm，

所以，这个正方形零件的边长是48mm．

【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．

16．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映的银幕规格为2m×2m，若影机的光源距胶片20cm时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个银幕？

【考点】位似变换．

【专题】计算题．

【分析】由题可知此题是一道利用位似知识来解答的题，先根据胶片和银幕边之比，求出位似比，从而借助位似比来求问题的答案

【解答】解：

如图，O为位似中心，先计算位似比K=

．

设银幕距镜头xcm，则

，

解得：

x=

．

答：

银幕应在离镜头

，放映的图象刚好布满整个银幕．

【点评】先根据胶片和银幕边之比，求出位似比，从而借助位似比来求问题的答案．

17．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：

△ABF∽△EAD．

【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．

【专题】证明题．

【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解．

【解答】证明：

∵矩形ABCD中，AB∥CD，（2分）

∴∠BAF=∠AED．（4分）

∵BF⊥AE，

∴∠AFB=90°．

∴∠AFB=∠D=90°．（5分）

∴△ABF∽△EAD．（6分）

【点评】考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．