半导体物理与器件全套教学课件.pptx

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半导体物理及器件绪论第1章固体晶格结构第2章量子力学初步第3章固体量子理论初步第4章平衡半导体第5章载流子输运现象第6章半导体中的非平衡过剩载流子第7章pn结第8章PN结二极管第9章金半接触和半导体异质结第10章MOSFET基础

（1）（MOS结构，CV特性）第10章MOSFET基础

（2）（MOSFET工作原理，频率，CMOS）第11章MOSFET概念深入第12章双极晶体管第13章结型场效应晶体管全套可编辑PPT课件半导体物理与器件，美DonaldA.Neamen著，电子工业出版社参考书半导体物理学，刘恩科著，国防工业出版社半导体器件基础，美BettyLiseAnderson著，清华大学出版社参考资料是集成电路设计及微电子学的基础；物理知识使用较多，用数学工具分析物理概念；是如下课程集一身：

1、量子力学；2、固体物理学；3、半导体物理学；4、半导体器件物理；课程特点半导体材料半导体器件物理集成电路工艺集成电路设计和测试微电子学研究领域微电子学发展的特点向高集成度、低功耗、高性能高可靠性电路方向发展与其它学科互相渗透，形成新的学科领域：

光电集成MEMS生物芯片微电子学研究领域及其发展特点重要的专业基础课，内容广，概念多了解基础理论，物理概念和主要性质。

探讨半导体在热平衡态和非平衡态下所发生的物理过程、规律以及相关应用。

为从事光电子技术、半导体器件、传感器及应用、集成电路等方面的工作打下必备的基础。

讨论VLSI技术相关的半导体材料和器件中的基本物理问题，在基础物理和微电子专业技术之间建立桥梁。

特课程特点半导体物理在微电子学科中的位置学习要求1、重视基本概念的理解；2、物理过程及工作原理的理解，联系定量推导；3、从做题中巩固、理解物理意义。

课程安排及上课时间课程性质：

专业考试课。

学时安排：

总学时64学时，1-16周。

考核方法：

考试成绩70%+平时成绩30%（其中平时成绩包括作业和考勤）上课时间：

绪论半导体和集成电路绪论半导体和集成电路一、半导体器件的发展历史1.1874年,Braun,发现金属半导体接触时的电流传导非对称性；2.1907年,Piere发现了二极管的整流特性;3.1935年硒整流器和硅点接触二极管用作收音机的检波器,1942年,Bethe提出热离子发射理论;4.1947年,贝尔实验室的肖克莱、巴丁、布拉坦，第一个晶体管。

1947年第一个点接触型锗晶体管第一只晶体管的发明者及1956年诺贝尔物理学奖获得者肖克莱（WilliamShockley）巴丁（JohnBardeen）19081991布拉坦（WalterBrattain）1902198719101989肖克莱：

1910年2月生于英国，主要研究固体物理，提出著名PN结理论。

巴丁：

1908年5月生于美国，是贝尔研究所所长。

布拉坦：

1902年2月生于中国，实验物理学家。

第一只晶体管的发明者及1956年诺贝尔物理学奖获得者实验中的肖克莱、巴丁、布拉坦肖克莱专长于理论研究，巴丁是运用基础理论解决实际问题的大师，而布拉顿则是善于巧妙地进行各种实验的能手。

巴丁（巴顿），1972年和库珀、施里弗三人一起因发展超导理论而又一次获诺贝尔奖，史上唯一两次获得诺贝尔物理学奖。

1997atBellLaboratories二、集成电路（IC）技术发展历史1959年，第一个（混合）集成电路,得州仪器公司（TexasTnstruments）的JackKilby（2000年诺贝尔物理奖）,由锗单晶制作-1个BJT、3个电阻、1个电容；1959年，第一个单片集成电路,仙童半导体公司（FairChild）的RobertNoyce（2000年诺贝尔物理奖）,用平面技术在硅上实现了集成电路-6个器件的触发器；20世纪60年代中期，MOS晶体管集成电路。

第一个（混合）集成电路（IC）及其发明者杰克基尔比（JackKilby）（1923年11月8日2005年6月20日）2000年获得诺贝尔奖。

http:

/Noyce）1927年12月-1990年6月31959年7月，基于硅平面工艺，发明了硅集成电路。

仙童半导体公司的创始人。

详细请查阅：

http:

/半导体材料半导体：

半导体的电阻率（10-3cm109cm）介于导体和绝缘体之间，半导体的性质容易受到外界的光照、热、磁、电及微量杂质的含量的变化而改变性质。

材料导体半导体绝缘体电阻率（cm）10-310-3109109什么是半导体按不同的标准，有不同的分类方式。

按固体的导电能力区分，可以区分为导体、半导体和绝缘体半导体体系半导体材料体系半导体材料的研究历程：

第一代：

硅（Si）、锗（Ge）第二代：

砷化镓（GaAs）、磷化铟（InP）第三代：

氮化镓（GaN）、碳化硅（SiC）、金刚石1.1半导体材料元素半导体，如硅（Si）、锗（Ge）化合物半导体，如砷化镓（GaAs）、磷化镓（GaP）、碳化硅（SiC）、氮化镓（GaN）磷化铟（InP）三元素化合物:

AlxGa1-xAS体材料、薄膜材料、微结构材料、人工设计材料半导体材料分类：

半导体材料分类1.2固体类型长期以来将固体分为：

晶体和非晶体。

晶体：

具有一定外形和固定熔点，更重要的是晶体内部原子（或离子）在较大范围（至少微米数量级）是按一定方式有规则排列而成（称为长程有序）（如Si，Ge，GaAs）。

非晶体：

没有规则的外形和固定的熔点，内部结构上不存在长程有序，但在较小范围内（几个原子间距）仍存在结构上的有序排列（称为短程有序）。

单晶：

整个晶体主要由原子或离子的一种排列方式贯穿始终,常用的半导体材料锗（Ge）、硅（Si）、砷化镓（GaAs）都是单晶。

多晶：

由许多小晶粒杂乱的堆积而成,如各种金属材料和电子陶瓷材料。

（晶界分离）。

晶体-分为单晶和多晶非晶、多晶和单晶示意图1.3空间晶格晶格：

晶体原子的周期性排列称为晶格。

格点：

组成晶体的原子（或离子）的重心位置称为格点。

点阵：

格点的整体称为点阵。

在点阵的每个阵点上附有一群原子，这样一个原子群称为基元，基元在空间重复就形成晶体结构。

点阵+基元=晶体结构1.3.1原胞和晶胞原胞：

晶格的最小周期单元,只反映晶格周期性,不反映对称性,一个原胞平均只包含一个格点。

晶胞：

晶体结构的基本单元，能够充分反映整个晶体的结构特点，既反映周期性又反映了各种对称性，整块晶体就是晶胞周期平移而成。

原胞对于任何给定的晶体，可以用来形成其晶体结构的最小单元注：

（a）原胞无需是唯一的（b）原胞无需是基本的1.3.2基本的晶体结构晶格常数：

在立方晶系中，通常取三个互相垂直的坐标轴,称为晶轴，通常通常取立方体的边长a作为长度单位，称为晶格常数。

基矢：

在立方方晶系中，通常取三个相互垂直的边作为三个坐标轴晶轴；通常取立方体边长a作业长度单位晶格常数。

P7例1.1简立方sc体心立方bcc面心立方fcc1.3.3晶面和密勒指数晶面：

晶格中所有格点可以看作是全部包含在一系列相互平行等间距的平面系上,这样的平面系叫晶面族。

晶面的表示:

（1）通常取某一晶面与三个晶轴垂直的截距的倒数的互质整数，即：

1/r:

1/s:

1:

t=h:

k:

l,称h,k,l为晶面指数或密勒指数，记为（hkl），称为（hkl）平面；

（2）任何平等的平面都是彼此等效的。

（3）若晶面与某晶轴平行，截距,对应的Miller指数为0，负号写在对应指数上方。

原子的面密度：

P9例1.3

（1）平面截距：

3，2，1

（2）平面截距的倒数：

1/3，1/2，1（3）倒数乘以最小公分母：

2，3，6平面用（236）标记，这些整数称为密勒指数。

晶面的表示例:

（100）（110）（111）同类晶面：

记为hkl如100表示：

1.3.3晶面和密勒指数简立方晶体的三种晶面晶体结构-晶向（100）（110）（111）注：

在立方晶系中，晶列指数和晶面指数相同的晶向和晶面之间是互相垂直的。

如100（100）,111（111）晶向：

通过晶体中原子中心的不同方向的原子列hklOR=l1a+l2b+l3c取l1:

l2:

l3=m:

n:

p,m,n,p为互质整数称m、n、p为晶列指数,记作mnp,表示某个晶向。

同类晶向记为如表示-等6个同类晶向表示-等12面对角线晶向表示-等8个体角线晶向R晶体结构-晶向1.3.4金刚石结构金刚石结构1.3.4金刚石结构1、金刚石结构（金刚石结构晶胞）是由4个共价四面体组成的，上一个正立方体在其八个顶角上和六个面心上各有一个原子，在立方体的内部有四个原子，分别位于四条空间对角线上且与最近邻的顶角原子距离为1/4对角线长度。

所谓金刚石结构即两个面心立方沿空间对角线方向即方向相互平移1/4对角线长度套构而成。

原子密度：

Ge、Si是金刚石构。

2、铅（闪）锌矿结构：

由两种不同原子组成的面心立方，沿空间对线方向平移1/4对角线长度套构而成。

GaAs是铅锌矿结构。

其中每个镓原子有四个最近邻的砷原子，每个砷原子有四个近邻的镓原子。

GaAs中镓原子密度为？

1.3.4金刚石结构1.4原子价键

（1）离子键与离子晶体：

（NaCl库仑力）周期表中，族元素，负电性最小，容易失去电子，如Na；族元素，负电性最大，容易得到电子，如Cl。

Na+与Cl-，依靠库仑力结合为NaCl晶体；称依靠正负电荷间的库仑力所形成的结合力为离子键。

离子键形成的晶体为离子晶体。

1.4原子价键

（2）共价键与共价晶体：

（H2共用电子对）Si、Ge某元素半导体由同一种原子构成，无负电性差，而是由一对自旋相反的配位价电子结合，其电子云在电子间相互重叠具有较高密度，则带正电的原子实和带负电的电子相互吸引将原子结合形成共价晶体。

共价晶体的特征:

（a）方向性；（b）饱和性。

（3）金属键：

族元素对价电子的束缚能力较弱，在结合成晶体时，原先属于各个原子的价电子不再束缚于某一个原子而为所有原子所共用，价电子可以在整个晶体运动，称为“电子气”，带负电的电子气和带正电的原子实之间的为库仑力所形成的结合称为金属键。

（4）范德华键最弱的化学键1.4原子价键1.5晶体中的缺陷和杂质1.固体中的缺陷晶格振动点缺陷（空位于填系）线缺陷线缺陷1.5.2固体中的杂质晶体中的杂质：

晶体中可能出现外来原子，即除半导体材料元素之外的其它元素。

杂质的存在方式：

替位式（替位杂质）（填隙杂质）间隙式1.5晶体中的缺陷和杂质掺杂：

为了改变导电性而向半导体材料中加入杂质的技术称为掺杂。

掺杂的方法：

（1）扩散（高温扩散1000度）；

（2）离子注入（50keV损伤与退火）退火：

退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。

1.5晶体中的缺陷和杂质1.6半导体材料的生长

（1）在熔融体中生长Czochralski方法（CZ法或直接单晶法）1.6半导体材料的生长2外延生长法外延生长:

在单晶衬底的表面上生长一层薄单晶工艺。

按外延层与衬底材料的不同：

同质外延，异质外延外延生长方法：

（a）化学气相深积（CVD）（b）液相外延（LPE）（c）分子束外延（MBE）1.7小结常用半导体材料晶格结构、晶胞、原胞硅的金刚石结构晶面、晶向的描述（密勒指数）半导体中的缺陷原子体密度，原子面密度的计算作业19页1.11.5（b）1.16（c）第二章量子力学初步1.量子力学的基本原理2.薛定谔波动方程3.薛定谔波动方程的应用4.原子波动理论的延伸5.小结第二章量子力学初步从普通物理四大力学物理学是实验科学物理学的理论体系-基础课宏观和低速领域牛顿力学和麦克斯韦方程组-经典物理微观和高速领域相对论和量子力学-近代物理量子力学的波理论是半导体物理学理论基础。

第二章量子力学初步2.1量子力学的基本原理三个基本原理能量量子化原理波粒二相性原理不确定原理（测不准原理）2.1量子力学基本原理2.1.1能量量子化原理光电效应-理论与实验的矛盾2.1量子力学基本原理-能量量子化光电效应理论与实验的矛盾1900年普郎克提出热辐射量子化的概念（从加热表发出的热辐射是不连续的假设，即量子。

）hv（普郎克常数h=6.625x10-34J-s）1905年爱因斯坦提出光量子概念（光子）解释了光电效应（光波也是由分立的粒子组成的假设，即光量子。

）光电子的最大动能：

入射光子能量功函数：

电子逸出表面吸收的最小能量2.1量子力学基本原理-能量量子化量子：

热辐射的粒子形式（普朗克能量量子化）光子：

电磁能量的粒子形式（爱因斯坦光电效应）2.1量子力学基本原理-2.1.2波粒二相性1924年德布罗意提出物质波假说波具有粒子性，粒子也具有波动性波粒二相性原理。

光子动量：

粒子的波长：

h为普郎克常数，P为粒子动量。

为物质波的德布罗意波长。

波粒二相性原理是利用波理论描述晶体中的电子的运动和状态的基础。

P23例2.2电子的波动性实验电磁波频谱2.1量子力学的（三个）基本原理3.不确定原理（测不准原理）1927年德国核物理学家沃纳-海森堡（Heisenberg）提出不确定原理主要观点：

1对于同一粒子不可能同时确定其坐标和动量。

若动量的不确定程度为p，坐标的不确定程度为x，则不确定关系为=h/2为修正普朗克常数。

2对于同一粒子不可能同时确定其能量和具有此能量的时间点。

若给定能量不确定程度为E，而具有此能量的时间的不确定量为t，则不确定关系为：

注：

当同时测量坐标与动量或同时测量能量与时间时，会出现一定程度的偏差。

无法确定一个电子的准确坐标，因而可以确定某个坐标位置可能发现电子的概率。

2.2薛定谔波动方程http:

/波动方程一维非相对论的薛定谔方程：

其中，（x,t）为波函数，V（x）为与时间无关的势函数，m为粒子的质量，j为虚常数。

波函数（x,t）描述的是系统的状态.分离变量：

则有：

常数常数2.2薛定谔波动方程波动方程得：

正弦波的指数形式角频率=/而=E/认为分离常数=E（粒子总能量）薛定谔波动方程可写为：

2.2.2波函数的物理意义-几率波整个波函数是与坐标有关（与时间无关）的函数和与时间有关的函数的乘积：

2.2薛定谔波动方程与时间性无关的概率密度函数即：

归一化条件要使能量E和势函数V（x）在任何位置均为有限值，则：

1、波函数（x）必须有限、单值和连续。

2、波函数（x）的一阶导数必须有限、单值和连续。

2.2薛定谔波动方程2.2.3边界条件2.3薛定谔波动方程的应用2.3.1自由空间中的电子在没有外力作用下的粒子，势函数V（x）为常量，且EV（x），设V（x）=0说明自由空间中的粒子运动表现为行波。

沿方向+x运动的粒子：

K为波数=2/,为波长。

是一个与坐标无关的常数，说明自由粒子在空间任意位置出现的概率相等。

行波与驻波：

形象的说就是一个行走一个停留（当然不是真正的停留）行波：

就是波从波源向外传播；驻波：

波在一个空间中来回反射，由于来回的距离等于1/4波长的奇数倍，于是反射回来的波与后面传来的波发生干涉，形成稳定的干涉场，各处的振幅稳定不变。

振幅为零的地方叫波节，振幅最大的地方叫波腹。

如果发生在一根绳子上我们就会看到一个稳定的象莲藕一样的图像，似乎波停止“了传播，所以叫驻波（驻留）。

2.3薛定谔波动方程的应用2.3薛定谔波动方程的应用2.3.2无限深势阱（变为驻波方程）与时间无关的波动方程为：

由于E有限，所以区域I和III中：

区域II与时间无关的波动方程为：

2.3薛定谔波动方程的应用边界条件：

能量E当Ka=n时成立，且n为正整数，称为量子数。

归一化边界条件:

波的表达式:

（驻波）此为驻波的表达式，驻波代表束缚态粒子，而行波代表自由粒子。

2.3薛定谔波动方程的应用能量量子化波函数:

粒子的能量是不连续的，其能量是各个分立的能量确定值，称为能级，其值由主量子数n决定。

例2.32.3薛定谔波动方程的应用无限深势阱（前级能量）随着能量的增加，在任意给定坐标值处发现粒子的概率会渐趋一致2.3.3阶跃势函数定义反射系数：

R=反射流/入射流。

在区域，EV0的粒子流入射到势垒上将全部反射回来；但EV0时，区域中找到粒子的概率不为零；在区由于0,说明入射粒子有一定的概率会穿过势垒到达区域。

假设EV02.3薛定谔波动方程的应用2.3薛定谔波动方程的应用入射粒子能量小于势垒时也有一定概率穿过势垒（与经典力学不同）假设EV02.3.3阶跃势函数2.3薛定谔波动方程的应用穿透距离大约为两个硅晶格2.3.4矩形势垒分别在三个区域中求解与时间无关的薛定谔方程2.3薛定谔波动方程的应用假设EV02.3薛定谔波动方程的应用矩形势垒（隧道效应）当粒子撞击势垒时，存在有限的概率穿过势垒。

这种现象称为隧道效应。

2.2薛定谔波动方程2.3.4矩形势垒2.4原子波动理论的延伸2.4.1单电子原子在单电子原子中，电子与质子间库仑力形成的势函数：

三维与时间无关的薛定谔波动方程：

在球坐标系中，波动方程还可写为：

分离变量法求解：

n-主量子数，n=1,2,3,L-角量子数，L=n-1,n-2,，0m磁量子数，|m|=L,L-1,L-2,0s自旋量子数，s=1/2,-1/2每一组量子数对应一个量子态的电子2.4原子波动理论的延伸2.4.1单电子原子电子的能量为：

n为主量子数，式中能量为负表示电子被束缚在核的周围。

n取值为整数，说明总能量只能取分立值，能量的量子化。

，最小的能量状态，n=1,L=0,m=0,此时波函数：

氢原子能级图2.4原子波动理论的延伸径向概率密度函数：

指电子出现在离核某个距离的概率。

2.4.2元素周期表根据电子自旋和泡利不相容原理：

nlms四个量子数可以推出元素周期表（框架）（每层可以容纳2n2个电子）2.4原子波动理论的延伸2.4.2周期表电子自旋:

电子具有量子化的本征角动量，它的值为两个可能值中的一个，由量子数s确定，s=1/2或-1/2.泡利不相容原理:

在任意系统中，不可能有两个电子处于同一个量子态，对于原子，不可能有两个电子具有相同的量子数组.n-主量子数，n=1,2,3,L-角量子数，L=n-1,n-2,，0m磁量子数,|m|=L,L-1,L-2,0s自旋量子数，s=1/2,-1/2硅原子电子状态：

n=1,L=0,m=0,s=1/2或-1/2n=2,L=0,m=0,s=1/2或-1/2L=1,m=0,s=1/2或-1/2L=1,m=1,s=1/2或-1/2L=1,m=-1,s=1/2或-1/2n=3,L=0,m=0,s=1/2或-1/2,2个状态,填2个电子L=1,6个状态,填2个电子，4个空状态8个状态，填8个电子2个状态，填2个电子核外电子排布原理一最低能量原理nlms四个量子数http:

/MNOPQ

（2）角量子数l:

确定原子轨道的形状并在多电子原子中和主量子数一起决定电子的能级。

l=0，1，2，3，4，5，6n-1相应的能级：

spdfgl=0球形对称l=1原子轨道呈哑铃形分布l=2其原子轨道呈花瓣形分布（3）磁量子数m:

决定原子轨道在空间的取向的个数。

m=0，1，2L共（2L+1）个（4）自旋量子数：

只决定电子运动状态与薛定谔方程无关。

s=1/22.4.2周期表1.不同原子中电子数量不同，电子按电子态填充状态是一样的，最终只是最外层出现未填满的状态;2.原子的特性（化学活泼程度）取决于未填满的那一层，也就是最外层的价电子数；3.内层电子全部填满，所以是稳定的。

2.4原子波动理论的延伸本章小结2.5小结量子力学的基本原理能量量子化、波粒二象性、不确定原理薛定谔波动方程概率密度束缚态粒子的能量是量子化的第三章固体量子理论初步第三章固体量子理论初步1.允带与禁带2.固体中电的传导3.三维扩展4.状态密度函数5.统计力学6.小结原子的能级（孤立原子中电子的状态能级）电子壳层KLMN不同支壳层电子1s；2s，2p；3s，2p，3d；共有化运动3.1允带与禁带3.1允带与禁带电子的共有化运动原子中的电子分布在内外许多电子壳层上，每一支壳层对应确定的能量，当原子间互相接近形成晶体时，不同原子的内外各电子层之间有一定的交叠，相邻原子最外壳层交叠最最多，内壳层交叠较少;当原子组成晶体后，由于电子壳层间的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，它可以由一个原子转移到相邻的原子上去因而电子将可以在整个晶体中运动，这种运动称为电子的共有化运动3.1允带与禁带原子的能级的分裂孤立原子的能级4个原子能级的分裂原子的能级的分裂原子能级分裂为能带3.1允带与禁带3.1.1能带的形成晶体由原子组成相互靠拢形成孤立能级展宽成为能带当大量氢原子聚在一起,当原子间距的缩小到r0（晶体中平衡状态的原子间距）,由泡利不相容原理,任何两个电子不会具有相同的量子数,因此,一个能级分裂为一个能带，以保证每个电子占据独立的量子态.能级分裂两个近距离氢原子的概率密度函数独立氢原子的概率密度函数r0平衡时的距离3.1允带与禁带3.1.1能带的形成注意：

在平衡状态原子间距处，存在能量的允带，而允带中的能量仍然是分立的，在晶体中，允带中分立的能量状态数与晶体中的原子数相等，由于各能量状态差距是极小的，通常认为允带处于准连续的能量分布。

电子能带结构由它们所在势场决定，因而与给成晶体的原子结构和晶体结构有关，与晶体中的原子数无关；当晶体中原子数增加时，只增加每个能带中的电子态数，使能带中子能级的密集程度增加，对能带结构，如允带和禁带的带度及相对位置并无影响。

长跑比赛3.1允带与禁带3.1.1能带的形成外层先分裂允带和禁带对于多电子原子形成晶体,当原子间距为r0时,各不同能级分裂形成不同的能带,彼此间被禁带隔开。

最外层电子的能级首先转化为能带,内层相对晚一些。

3.1允带与禁带3.1.1能带的形成实际晶体中能带的分裂（以硅晶体为例）：

独立硅原子的示意图，3s和3p态分裂为允带和禁带1.随原子间距的减小，3s和3p态互相作用发生交叠。

2.在平衡状态原子间距位置产生能带分裂，其中四个量子态处于较低能带，另外四个量子态处于较高能带。

3.较底能带（价带）的所有状态都是满的，较高能带（导带）的所有状态都是空的。

4.价带顶和导带低之间的带隙能量Eg为禁带宽度。

允带禁带能带的基本概念能带（energyband）包括允带和禁带。

允带（allowedband）：

允许电子能量存在的能量范围。

禁带（forbiddenband）：

不允许电子存在的能量范围。

允带又分为空带、满带、导带、价带。

空带（emptyband）：

不被电子占据的允带。

满带（filledband）：

允带中的能量状态（能级）均被电子占据。

图1-2金刚石结构价电子能带图（绝对零度）导带（conductionband）：

有电子能够参与导电的能带，但半导体材料价电子形成的高能级能带通常称为导带。

价带（valenceband）:

由价电子形成的能带，但半导体材料价电子形成的低能级能带通常称为价带。

导带底Ec:

导带电子的最低能量价带顶Ev:

价带电子的最高能量禁带宽度Eg:

Eg=Ec-Ev一定温度下半导体的能带示意图3.1允带与禁带3.1.2克龙尼克-潘纳模型独立的单原子势函数近距原子交叠的势函数一维单晶的最终势函数3.1.2克龙尼克-潘纳模型克龙尼克潘纳模型的一维周期性势函数布洛赫定理:

所有周期性变化的势能函数的单电子波函数形式一定为其中k为运动常量,u（x）是以（a+b）为周期的函数3.1允带与禁带薛定谔方程及其解的形式布洛赫波函数3.1允带与禁带3.1允带与禁带3.1.2克龙尼克潘纳模型得到对自由粒子有：

3.1允带与禁带3.1.3k空间能带图自由粒子的E-k关系P为粒子的动量，p与k为线形关系由粒子性有又由德布罗意关系因此由此可得到图3.7所示的E-k关系。

随波矢k的连续变化自由电子能量是连续的。

3.1允带与禁带3.1.3K空间能带图3.1允带与禁带3.1.3K空间能带图3.1允带与禁带3.1.3简约布里渊区E0kE0简约布里渊区允带禁带允带禁带允带3.1允带与禁带3.1.3简约布里渊区3.1允带与禁带3.1.3简约布里渊区

（2）E（k）=E（k+2n/a），即E（k）是k的周期性函数，周期为2/a。

因此在考虑能带结构