学年广东省肇庆市实验中学广东省高要市新桥中学两校高二下学期期末考试数学理试题.docx
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学年广东省肇庆市实验中学广东省高要市新桥中学两校高二下学期期末考试数学理试题
新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期
高二年级期末考试
数学（理科）
命题人：
刘玲审核人：
高二备考组
说明：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
3.选择题选出答案后，用黑色2B铅笔在答题卡上涂黑，不能答在试卷上。
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
5.考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，只交回答题卷以及选择题答题卡。
参考公式：
线性回归方程
中系数计算公式：
，
，其中
，
表示样本均值.
列联表随机变量
.
与k对应值表：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若z=4+3i，则=（ ）
A、1B、﹣1C、D、
（2）盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是（）
A、B、C、D、
（3）定积分的值为 （ ）
A、B、C、D、
（4）函数y=3x2-2lnx的单调增区间为（ ）
A、B、
C、D、
（5）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
A、假设至少有一个钝角B、假设至少有两个钝角
C、假设没有一个钝角D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角
（6）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）=（ ）
A、+PB、1﹣P C、﹣PD、1﹣2P
（7）设a,b为实数，若复数，则（ ）
A、a=1,b=3B、a=3,b=1C、a=,b=D、a=,b=
（8）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ）
A、12B、24C、36D、72
（9）已知随机变量X的概率分布列如表所示：
且X的数学期望EX=6，则（ ）
X
5
6
7
8
p
0.4
a
b
0.1
A、a=0.3，b=0.2B、a=0.2，b=0.3
C、a=0.4，b=0.1D、a=0.1，b=0.4
（10）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得k2≈3.918．
附表：
P（k2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ）
A、95%B、5%C、97.5% D、2.5%
（11）在的展开式中，x4的系数为（ ）
A、﹣120B、120C、-15D、15
（12）设函数y=f（x）的定义域为R+，若对于给定的正数K，定义函数，则当函数时，定积分的值为（ ）
A、2ln2+2B、2ln2-1C、2ln2D、2ln2+1
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）用数学归纳法证明：
，在验证n＝1时，左边计算所得的项为________
（14）10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________ 种．
（15）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为_______
（16）如图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间（-2，1）内是增函数；②在区间（1，3）内是减函数；
③在x=2时，取得极大值；④在x=3时，取得极小值。
其中正确的是________．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.
（17）（本小题12分）
如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD.
（Ⅰ）若PO=2AO，求直线AP与平面ABCD夹角的余弦值.
（Ⅱ）证明BD⊥平面PAC．
（18）（本小题12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（Ⅰ）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？
（19）（本小题12分）
某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题．重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”，现随机调查了年级50人，他们的测试成绩的频数分别如表：
（Ⅰ）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？
说明你的理由．
分数低于90分人数
分数不低于90分人数
合计
过关人数
不过关人数
合计
（Ⅱ）在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
（20）（本小题12分）
已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
（21）（本小题12分）
已知函数f（x）=alnx+bx2﹣（b+a）x．
（Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：
对任意的x1，x2∈[α，β]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题10分）
极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．
（23）（本小题10分）
已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式有解，求实数a的取值范围．
新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期
高二年级期末考试
（理科数学）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
C
B
C
D
C
A
B
C
D
二、填空题
（13）_________1+a+a2_____________（14）__________77____________
（15）___________-7____________（16）_________③_____________
17（12分）
（Ⅰ）PO⊥平面ABCD，AC平面ABCD，PO⊥AC
在RtAOP中，PO=2AO，AP=
直线AP与平面ABCD夹角的余弦值为
（Ⅱ）PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
PO⊥BD；
AC、BD是正方形ABCD的对角线，
AC⊥BD；
PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC=O，且PO平面PAC，AC平面PAC，
BD⊥平面PAC．
18（12分）
（1）对照数据，计算得
=86，=66.5，
=4.5，
=3.5，
∴回归方程的系数为b=
=0.7，a=0.35，
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35
（2）由
（1）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），
∴估计生产100吨甲产品的生产能耗为70.35吨．
19（12分）
（I）依题意得，a=12，b=18，c=14，d=6，
填写列联表如下；
分数低于9（0分）人数
分数高于9（0分）人数
合计
过关人数
12
14
26
不过关人数
18
6
24
合计
30
20
50
计算观测值K2=
对照数表知，有95%的把握认为期末数学成绩不低于90（分）与测试“过关”有关；
（II）在期末分数段[105，120）的5人中，有3人测试“过关”，
随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为X的可能取值为1、2、3，
则P（X=1）=
=
，P（X=2）=
=
=，P（X=3）=
=
，
所以，X的分布列为：
X
1
2
3
P
X的数学期望为E（X）=1×
+2×
+3×
=
=1.8．
20（12分）
解：
（Ⅰ）因为
所以
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）
当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）,f（x）的单调减区间是（1，3）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0
所以f（x）的极大值为f
（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21
因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f
（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）
所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f
（1）
因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）
21（12分）
（Ⅰ）当a=1，b=0时，f（x）=lnx﹣x（x＞0），导数f′（x）=
-1，
当x＞1时，f′（x）＜0，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴x=1时，函数取极大值，也为最大值，且为﹣1；
（Ⅱ）证明：
当b=1时，f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x，
导数f′（x）=
+x﹣（1+a）=
（x＞0），
∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a，（1＜a≤e），
∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减，
当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增，
∵任意的x1,x2∈[α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数，
∴f
（1）最大且为﹣（1+a），f（a）最小且为alna+a2﹣（1+a）a，
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f
（1）﹣f（a）=﹣（1+a）﹣alna﹣a2+（1+a）a=（a2﹣1）﹣alna，
令g（x）=（x2﹣1）﹣xlnx（1＜x≤e）
则g′（x）=x﹣1﹣lnx，g′
（1）=0，g′（e）=e﹣1﹣1＞0，
∴g（x）在（1，e]上递增，
故g（x）≤
（e2﹣1）﹣elne=
，即
（a2﹣1）﹣alna≤
，而
＜1，
∴|f（x1）﹣f（x2）|＜1．
22.（10分）
（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．
（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．
解得t1=8，t2=．
∴弦长|AB|=|t1﹣t2|=8+=
23（10分）
（Ⅰ）当a=3时，关于x的不等式即|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3，
故有
①，或
②，或
③．
解①求得﹣3≤x＜
，解②求得
≤x≤1，解③求得1＜x≤3．
综上可得，不等式的解集为[﹣3，3]．
（Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值．
由f（x）=
，可得函数f（x）的最小值为f（）=﹣，
故a≥﹣．
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