三角形中得高中线角平分线第一讲.docx
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三角形中得高中线角平分线第一讲
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名师堂学校优学小班讲义第七讲年级:
八年级授课时间:
11月8日
[教学目标]:
通过复习使学生掌握本内容的重难点及知识结构,各知识点的运用。
[重点难点]:
综合运用三角形全等、角平分线、线段的垂直平分线、等腰、等边三角形的知识证明线段相等、角相等。
[教学过程]:
一.三角形中的三种重要线段
三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段.
(1)三角形的角平分线:
三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
注意:
①三角形的角平分线是一条线段,可以度量,而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线.
②三角形有三条角平分线且相交于一点,这一点一定在三角形的内部.
③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同,可以用量角器画,也可通过尺规作图来画.
(2)三角形的中线:
在一个三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
注意:
①三角形有三条中线,且它们相交三角形内部一点.这一点叫三角形的重心,它到顶点的距离是它到边的距离的二倍。
②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可.
(3)三角形的高线:
从三角形一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线,简称三角形的高.
注意:
①三角形的三条高是线段
②画三角形的高时,只需要向对边或对边的延长线作垂线,连结顶点与垂足的线段就是该边上的高.
二、三角形三边关系定理
①三角形两边之和大于第三边,故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有:
a+b>c,b+c>a,c+a>b.
②三角形两边之差小于第三边,故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有:
a>b-c,b>a-c,c>b-a.
注意:
判定这三条线段能否构成一个三角形,只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可。
注意:
由已知两边找第三边的范围(已知的两边之差﹤未知边﹤已知的两边之和)
三、三角形的稳定性
三角形的三边确定了,那么它的形状、大小都确定了,三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性.
四、三角形的内角
结论1:
三角形的内角和为180°.表示:
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°
结论2:
在直角三角形中,两个锐角互余.
五、三角形的外角
六、多边形
①多边形的对角线
条对角线②n边形的内角和为(n-2)×180°
③多边形的外角和为360°
1、一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°,这个多边形的边数是()
A.5 B.6 C.7 D.8
2、一个多边形有14条对角线,那么这个多边形有( )条边
A.6 B.7 C.8 D.9
3、能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是( )
A.角平分线 B.中线 C.高 D.A、B、C都可以
4、一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形,那么它是( )
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
5、已知
的三边长
,化简
的结果是( )
A.
B.
C.
D.
6、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形
7、一些大小、形状完全相同的三角形_______密铺地板,正五边形________密铺地板.(填“能”或“不能”)
8、一个四边形的四个内角中最多有_______个钝角,最多有_____个锐角?
9.如图6要把直钢
(1)弯成120°的钢角
(2),直钢
(1)所截成的缺口是_____度.
图6图7图8图9
10.某体育馆用大小相同的长方形地板镶嵌地面,第1次铺2块(如图7所示),第2次把第1次铺的完全包围起来(如图8所示),第3次把第2次铺的完全包围在起来(如图9所示),…,依此方法,第n次铺完后,所使用的地板块数为_____.(用含n的式子表示)〖方法3〗、介绍求等差数列的通项思想。
根据图形得到一列数2、10、18、26、……,这一个列数,从第二项起,每一项与它前面紧邻的一项的差,都等于一个常数8。
第2个数=第一个数+(2-1)个8
第3个数=第一个数+(3-1)个8
第4个数=第一个数+(4-1)个8
11、如图10,草原上有4口油井,位于四边形ABCD的4个顶点,现在要建立一个维修站H,试问H建在何处,才能使它到4口油井的距离之和AH+HB+HC+HD为最小,说明理由.
12、
(1)如图①所示,∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系?
为什么?
(2)如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时,则∠A与∠
+∠
之间有一种数量关系始终保持不变,请写出这个规律?
并说明理由?
13如图所示,小张从家(图中A处)出发,向南偏东40°的方向走到学校(图中B处),再从学校出发,向北偏西75°的方向走到小明家(图中C处),试问∠ABC为多少度?
说明你的理由.
14如图所示,在△ABC中,BD,CD是内角平分线,BP,CP是∠ABC,∠ACB的外角平分线.分别交于D,P.
(1)若∠A=30°,求∠BDC,∠BPC.
(2)不论∠A为多少时,探索∠D+∠P的值是变化还是不变化?
为什么?
知识框架:
知识点1:
轴对称图形与对称轴
①一个图形沿某一条直线对折,直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
②两个图形沿某一条直线折叠,这两个图形能完全重合,就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴。
③常见的轴对称图形:
线段(两条对称轴),角,长方形,正方形,等腰三角形,等边三角形,等腰梯形,圆,扇形。
知识点2:
简单的轴对称图形(角、线段、等腰三角形)
1、角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、线段垂直平分线:
①概念:
垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
简称:
中垂线。
②性质:
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
知识点3、等腰三角形
1、等腰三角形:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等;(简称:
等边对等角)
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),
(3)等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
轴对称图形
(1)定义:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,
这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴
轴对称
知识框架
①两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形),则对应线段
(对折后重合的线段)相等;对应角(对折后重合的角)相等
②对称轴垂直平分连接对应点的线段
定义:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫
做这条线段的垂直平分线
性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等
(2)性质
(3)垂直平分线
定义:
有两条边相等的三角形.叫做等腰三角形
等腰三角形
(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)
性质
知识点4、等边三角形
1、定义:
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质:
(1)具有等腰三角形的所有性质。
(2)等边三角形的各边都相等,各个角也都相等,并且每个角都等于60°。
推论:
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
1、下列说法中,正确的个数是( )
(1)轴对称图形只有一条对称轴,
(2)轴对称图形的对称轴是一条线段,(3)两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形,(4)全等的两个图形一定成轴对称,(5)轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言。
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2已知等腰三角形顶角等于一个底角的两倍,那么这个底角为()
A、300B、450C、600D、900
3等腰三角形的周长是13,其中一边长是3,则该等腰三角形的底边长是()
A、7B、3C、7或3D、5
4.等腰三角形ABC的底边BC=8cm,且
=2Cm,则腰AC的长为()
A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm
5已知等腰三角形的两边a,b,满足
+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为()
A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10
将一张长方形纸按如图的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为()
A、50°B、90°C、100°D、110°
6.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°,则这个三角形的顶角为.
7如果等腰三角形的两个角的比是2∶5,那么底角的度数为.
8在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD=8cm,∠C=600,则梯形ABCD的周长为______。
9、如图,己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=10cm,∠A=49º,求△BCE的周长和∠EBC的度数.
10如图14-106所示,在△ABC中,D在BC上,若AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数.
11如图14-114所示,在△ABC中,点E在AC上,点N在BC上,在AB上找一点F,使△ENF的周长最小,试说明理由.
12“西气东输”是造福子孙后代的创世工程,现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B(如图),准备建一个燃气控制中心站P,使中心站到两条公路距离相等,并且到两个城镇等距离,请你画出中心站的位置。
(保留画图痕迹,不写画法)
13已知直线
及其两侧两点A、B,如图.
(1)在直线
上求一点P,使PA=PB;
(2)在直线
上求一点Q,使
平分∠AQB.
14已知
ABC中∠BAC=140°,AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F,你能求出∠EAF的度数吗?
全等三角形
一、知识点:
本章主要内容:
全等三角形的性质;三角形全等的判定;角的平分线的性质.
本章重点:
探究三角形全等的条件和角的平分线的性质.
难点:
三角形全等的判定方法及应用;角的平分线的性质及应用.
基础知识梳理
教材知识全扫描
特别提醒:
“有两个角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗?
由于没有“对应”二字,结论不一定正确,这是因为:
假设这条边是两角的夹边,则根据角边角可知正确;假设一个三角形的一边是两角的夹边,而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边,则两个三角形不一定全等.
3.角平分线的性质:
⑴角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角两边的距离相等。
⑵角平分线的判定:
教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
⑶三角形三个内角平分线的性质:
三角形三条内角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等。
4.证明线段相等的方法:
(1)中点定义;
(2)等式的性质;
(3)全等三角形的对应边相等;
(4)借助中间线段(即要证a=b,只需证a=c,c=b即可)。
随着知识深化,今后还有其它方法。
二、考点过手练习:
1、下列命题正确的是()
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
B.一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角(此角为钝角)对应相等的两个三角形全等
D.有两条边对应相等的两个直角三角形全等
2、如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°则∠BED的度数是()
A.70°B.85°C.65°D.以上都不对
3、已知:
如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF.则不正确的等式是()
A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF
4、下列条件中,能判定△ABC≌△DEF的是()
A.AB=DE,BC=ED,∠A=∠DB.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF
C.∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EFD.∠B=∠E,∠A=∠D,AB=DE
5、AD是△ABC中BC边上的中线,若AB=4,AC=6,则AD的取值范围是()
A.AD>1B.AD<5C.1<AD<5D.2<AD<10
6、已知如图,E.F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:
AC与BD互相平分.
7、如图,∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过A.C作BD的垂线,垂足分别为E.F,求证:
EF=CF-AE.
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且
求∠ABC+∠ADC的度数。
已知:
如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰直角三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?
证明你的结论。
如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。
求证:
AB=AC+CD.
在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G.
求证:
BD=CG.
如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=
,AC=
,求AE、BE的长.