届高三数学北师大版通用理总复习讲义 11 集合的概念与运算.docx
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届高三数学北师大版通用理总复习讲义11集合的概念与运算
§1.1 集合的概念与运算
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N+(或N*)
Z
Q
R
2.集合间的关系
(1)子集:
对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:
若A⊆B,且A≠B,则AB(或BA).
(3)空集:
空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即∅⊆A,∅B(B≠∅).
(4)若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个.
(5)集合相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)A={x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(2){1,2,3}={3,2,1}.( √ )
(3)∅={0}.( × )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
(5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ )
(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则∁UP={2}.( √ )
2.(2013·北京)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B等于( )
A.{0}B.{-1,0}
C.{0,1}D.{-1,0,1}
答案 B
解析 ∵-1,0∈B,1∉B,∴A∩B={-1,0}.
3.(2013·山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3
C.5D.9
答案 C
解析 x-y∈
.
4.(2013·课标全国Ⅱ)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N等于
( )
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}
答案 A
解析 化简集合M得M={x|-15.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________.
答案
解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},
因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,
则这个整数为2,
所以有f
(2)≤0且f(3)>0,
即
所以
即
≤a<
.
题型一 集合的基本概念
例1
(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.10
(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
,则b-a=________.
思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义,明确元素的特征,抓住集合的“三性”.
答案
(1)D
(2)2
解析
(1)由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,
当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;
当y=2时,x可取3,4,5,有3个;
当y=3时,x可取4,5,有2个;
当y=4时,x可取5,有1个.
故共有1+2+3+4=10(个),选D.
(2)因为{1,a+b,a}=
,a≠0,
所以a+b=0,得
=-1,
所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.3
(2)若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a=________.
答案
(1)C
(2)0或
解析
(1)集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图像,可得图像有两个交点,即A∩B的元素个数为2.
(2)∵集合A的子集只有两个,∴A中只有一个元素.
当a=0时,x=
符合要求.
当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×2=0,∴a=
.
故a=0或
.
题型二 集合间的基本关系
例2
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.1B.2C.3D.4
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集,可按含元素的个数依次写出;B⊆A不要忽略B=∅的情形.
答案
(1)D
(2)(-∞,4]
解析
(1)用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C的个数.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
,解得2综上,m的取值范围为m≤4.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,
否则会造成漏解;
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间
端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.
(1)设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( )
A.6个B.5个C.4个D.3个
(2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.
答案
(1)A
(2)4
解析
(1)集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),集合{2}的所有子集共有2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个).
(2)由log2x≤2,得0即A={x|0而B=(-∞,a),
由于A⊆B,如图所示,则a>4,即c=4.
题型三 集合的基本运算
例3
(1)(2013·湖北)已知全集为R,集合A=
,B=
,则A∩(∁RB)等于( )
A.{x|x≤0}
B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0≤x<2或x>4}
D.{x|0(2)(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简,然后结合数轴或Venn图计算.
答案
(1)C
(2)-1 1
解析
(1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}
∴A∩(∁RB)={x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}
={x|0≤x<2或x>4}.
(2)先求出集合A,再根据集合的交集的特点求解.
A={x|-5B={x|(x-m)(x-2)<0},所以m=-1,n=1.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
(1)设集合A=
,B={x∈Z|x-2>0},则A∩B=( )
A.{x|2C.{2,3}D.{x|-1≤x<2}
(2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________.
答案
(1)B
(2)1或2
解析
(1)A={x|-1≤x≤3},B={x∈Z|x>2},
∴A∩B={x∈Z|2(2)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.
∴m=1或2.
题型四 集合中的新定义问题
例4
在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:
①2014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中,正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
思维启迪 解答本题要充分理解[k]的意义,然后对选项逐一验证.
答案 C
解析 因为2014=402×5+4,
又因为[4]={5n+4|n∈Z},
所以2014∈[4],故①正确;
因为-3=5×(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确;
因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4,所以③正确;
若a,b属于同一“类”,则有a=5n1+k,b=5n2+k,
所以a-b=5(n1-n2)∈[0],
反过来,如果a-b∈[0],
也可以得到a,b属于同一“类”,故④正确.
故有3个结论正确.
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
设U为全集,对集合X,Y,定义运算“”,满足XY=(∁UX)∪Y,则对于任意集合X,Y,Z,X(YZ)等于( )
A.(X∪Y)∪(∁UZ)
B.(X∩Y)∪(∁UZ)
C.[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z
D.(∁UX)∪(∁UY)∪Z
答案 D
解析 因为XY=(∁UX)∪Y,所以YZ=(∁UY)∪Z,
所以X(YZ)=(∁UX)∪(YZ)=(∁UX)∪(∁UY)∪Z,故选D.
遗忘空集致误
典例:
(5分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值组成的集合为__________.
易错分析 从集合的关系看,S⊆P,则S=∅或S≠∅,易遗忘S=∅的情况.
解析 P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P;
当a≠0时,方程ax+1=0的解集为x=-
,
为满足S⊆P可使-
=-3或-
=2,
即a=
或a=-
.故所求集合为
.
答案
温馨提醒
(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.
(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如a=0时,S=∅;二是易忽略对字母的讨论.如-
可以为-3或2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.
方法与技巧
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
失误与防范
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
5.要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
一、选择题
1.(2013·重庆)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,3,4}B.{3,4}
C.{3}D.{4}
答案 D
解析 因为A∪B={1,2,3},全集U={1,2,3,4},所以∁U(A∪B)={4},故选D.
2.下列集合中表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={2,3},N={3,2}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={2,3},N={(2,3)}
答案 B
解析 选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M有两个元素,而集合N只含有一个元素,故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合.
3.已知全集S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁SA={3},则实数a等于( )
A.0或2B.0
C.1或2D.2
答案 D
解析 由题意,知
则a=2.
4.设集合M={m∈Z|m≤-3或m≥2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则(∁ZM)∩N等于( )
A.{0,1}B.{-1,0,1}
C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}
答案 B
解析 由已知,得∁ZM={-2,-1,0,1},
N={-1,0,1,2,3},所以(∁ZM)∩N={-1,0,1}.
5.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
答案 B
解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}.
∴M∩N的子集共有22=4个.
6.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1A.ABB.BA
C.A=BD.A∩B=∅
答案 B
解析 因为A={x|x2-x-2<0},
所以A={x|-1又B={x|-17.(2013·辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( )
A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]
答案 D
解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}.
8.
设全集U为整数集,集合A={x∈N|y=
},B={x∈Z|-
1A.3B.4C.7D.8
答案 C
解析 因为A={x∈N|y=
}={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6},
由题意,知题图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3},
所以其真子集有:
∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.
二、填空题
9.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=__________.
答案 -1或2
解析 由a2-a+1=3,得a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,由于集合中不能有相同元素,所以舍去.故a=-1或2.
10.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=__________.
答案 {(0,1),(-1,2)}
解析 A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.
11.(2013·天津改编)已知集合A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则A∩B=________.
答案 {x|-2≤x≤1}
解析 易知A={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-2≤x≤1}.
12.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a答案 (-∞,-1]
解析 因为C∩A=C,所以C⊆A.
①当C=∅时,满足C⊆A,此时-a≥a+3,得a≤-
;
②当C≠∅时,要使C⊆A,则
解得-
B组 专项能力提升
(时间:
15分钟)
1.若集合A={x|x2-9x<0,x∈N+},B={y|
∈N+},则A∩B中元素个数为( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
答案 D
解析 ∵A={x|x2-9x<0,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8},B={y|
∈N+}={1,2,4},所以A∩B={1,2,4},含有3个元素,选D.
2.已知集合M={x|
≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N等于( )
A.∅B.{x|x≥1}
C.{x|x>1}D.{x|x≥1或x<0}
答案 C
解析 由
≥0,得
∴x>1或x≤0,
∴M={x|x>1或x≤0},N={y|y≥1},
M∩N={x|x>1}.
3.已知U={x∈Z|y=ln
},M={x∈Z||x-4|≤1},N={x∈N|
∈Z},则集合{4,5}等于( )
A.M∩NB.M∩(∁UN)
C.N∩(∁UM)D.(∁UM)∪(∁UN)
答案 B
解析 集合U为函数y=ln
的定义域内的整数集,
由
-1>0,即
>0,解得0又x∈Z,所以x可取1,2,3,4,5,6,7,8,
故U={1,2,3,4,5,6,7,8}.
集合M为满足不等式|x-4|≤1的整数集,
解|x-4|≤1,得3≤x≤5,
又x∈Z,
所以x可取3,4,5,故M={3,4,5}.
集合N是使
为整数的自然数集合,
显然当x=1时,
=6;
当x=2时,
=3;
当x=3时,
=2;
当x=6时,
=1.
所以N={1,2,3,6}.
显然M⊆U,N⊆U.
而4∈M,4∈U,4∉N,5∈M,5∈U,5∉N,
所以4∈M,4∈∁UN,5∈M,5∈∁UN,
即{4,5}=M∩(∁UN).
4.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=
,x>2},则∁UP=________.
答案
解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},
P={y|y=
,x>2}={y|0},
∴∁UP={y|y≥
}=
.
5.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析
A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,
c),
因为A⊆B,画出数轴,如右图所示,得c≥1.
6.已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范围是________.
答案 (1,+∞)
解析 由于集合B中的元素是指数函数y=bx的图像向上平移一个单位长度后得到的函数图像上的所有点,要使集合A∩B只有一个真子集,那么y=bx+1(b>0,b≠1)与y=a的图像只能有一个交点,所以实数a的取值范围是(1,+∞).
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